Matematik/Matematik C/Repetition av Matematik A och Matematik B

Matematik C:Repetition av Matematik A och Matematik B

Det här är det första kapitlet i kursen Matematik C. Kapitlet är en genomgång av matematiken i kurserna A och B.

Algebra

Algebra är den delen av matematiken som sysselsätter sig med omskrivning av aritmetiska uttryck och ekvationer. Vi tittar närmare på vad detta betyder:

Ett algebraiskt uttryck är en matematisk formel som innehåller siffror och bokstäver men inget likhetstecken. Uttrycket består av termer som åtskiljs av additions- och subtraktionstecken. En term består av siffror och bokstäver som åtskiljs av multiplikations- och divisionstecken och av potensernas exponenter.
En ekvation är en matematisk formel som innehåller matematiska uttryck och ett likhetstecken. Ekvationen 0=0 innehåller ingen information alls. Hos alla andra ekvationer har däremot likhetstecknet en betydelse, vanligen informationen att någon form av omskrivning har gjorts.
Ekvationer och uttryck består av symboler som representerar olika siffervärden. De värden som inte förändras kallas för konstanter. De värden som kan ändras kallas för variabler. Variabler brukar representeras av små bokstäver, t.ex. x, y och z, och konstanter antingen med sina siffervärden eller med stora bokstäver, t.ex. A, B och C.
Aritmetik är läran om att använda de vanliga räknesätten addition, subtraktion, multiplikation och potens på konstanter och variabler.
Algebran, till sist, berättar hur och i vilken ordning dessa räknesätt ska användas när man ändrar ett uttryck eller en ekvation t.ex. för att göra det enklare.

I detta kapitel presenteras några av de vanligaste algebraiska omskrivningsreglerna:

Prioriteringsregler

Parentesregler

parentesregler
$\ a+(-b)=a-b$
$\ a\cdot b=ab$
$\ a-(-b)=a+b$
$\ a\cdot (-b)=a(-b)=-ab$
$\ (-a)\cdot (-b)=(-a)(-b)=ab$

Prioriteringsordningen ovan kan frångås genom att man sätter in parenteser i uttrycket. Den vanligaste orsaken till att man använder parentser är när man vill tydliggöra till vilken symbol ett minustecken hör samt då man vill utföra en multiplikation på flera termer samtidigt.

En bra tumregel är att hellre sätta in för många än för få parenteser.

Exempel

$\ a=b\cdot (-c)=-bc$
$\ a(b+c)=ab+ac$	Distributiva lagen
$\ (a+b)\cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd$	Utvidgade distributiva lagen

Se även konjugering och kvadratkomplettring nedan.

Övningar

...

Prioriteringsregler
1. Beräkning av potenser
2. Multiplikation och division
3. Addition och subtraktion

Ett uttryck är alltså en viss uppställning av symboler, siffrorna och variablerna, som satts i en viss relation till varandra genom de räkneoperationer, addition, multiplikation etc, som ingår i uttrycket. Innan man möblerar om i en sådan uppställning bör man vara medveten om vad räkneoperationerna innebär.

När man utför en addition skapar man en mängd, dvs man grupperar flera saker. En multiplikation är ett förenklat skrivsätt för en serie additioner: $3\cdot 5=3+3+3+3+3$ och en potens är en serie multiplikationer: $3^{5}=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$ . På motsvarande sätt innebär en substraktion att man delar upp en mängd och en division är en serie sådana uppdelningar.

Med detta i bakhuvudet inser man lätt att om man först utför additioner och därefter multiplikationer så påverkar additionerna multiplikationerna. Och, omvänt, om man först utför multiplikationerna så påverkar detta inte efterkommande additioner.

Man ska alltså utföra räkneoperationerna i den ordning som anges i tabellen intill.

Exempel

5+3^{3}/9=5+3\cdot 3\cdot 3/9=5+27/9=5+3=8

...

Övningar

...

Bråk

Regler för bråkräkning
${\frac {-a}{b}}=-{\frac {a}{b}}$	$b\neq 0$
${\frac {-a}{-b}}={\frac {a}{b}}$	$b\neq 0$
$a\cdot {\frac {b}{c}}=a{\frac {b}{c}}={\frac {ab}{c}}$	$c\neq 0$
${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$	$b\neq 0,d\neq 0$
${\frac {a}{b}}{\Big /}{\frac {c}{d}}={\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\frac {a}{b}}{\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}$	$b\neq 0,c\neq 0,d\neq 0$
${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bd}}+{\frac {bc}{bd}}={\frac {ad+bc}{bd}}$	$b\neq 0,d\neq 0$

Ett bråk är en division mellan uttryck som innehåller heltal men inte decimaltal. I uttrycket $a \over b$ kallas a för täljare och b nämnare.
För att addera eller subtrahera två bråktal måste man genom att utföra samma multiplikation i både täljare och nämnare skriva om ett eller bägge bråktalen så att bägge får samma nämnare. Man ska försöka hitta den minsta gemensamma nämnaren (mgn):

Förlängning	Multiplicera både nämnare och täljare med samma tal	${\frac {1}{7}}={\frac {1\cdot 5}{7\cdot 5}}={\frac {5}{35}}$
Förkortning	Dela upp täljare och/eller nämnare i flera gemensamma faktorer	${\frac {49}{21}}={\frac {7\cdot 7}{3\cdot 7}}={\frac {7}{3}}$

Exempel
addition

{\frac {1}{4}}+{\frac {5}{6}}={\frac {1\cdot 3}{4\cdot 3}}+{\frac {5\cdot 2}{6\cdot 2}}={\frac {3}{12}}+{\frac {10}{12}}={\frac {3+10}{12}}={\frac {13}{12}}=1{\frac {1}{12}}

subtraktion

1{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2}}={\frac {4}{3}}-{\frac {1}{2}}={\frac {4\cdot 2}{3\cdot 2}}-{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 3}}={\frac {8}{6}}-{\frac {3}{6}}={\frac {8-3}{6}}={\frac {5}{6}}

multiplikation

{\frac {2}{5}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {2\cdot 1}{5\cdot 2}}={\frac {2}{10}}={\frac {1}{5}}

division (korsvis multiplikation)

{\frac {4}{5}}{\Big /}{\frac {2}{4}}={\frac {4\cdot 4}{5\cdot 2}}={\frac {16}{10}}={\frac {8}{5}}=1{\frac {3}{5}}

för att hitta en gemensam nämnare kan man helt enkelt multiplicera nämnarna med varandra

{\frac {2}{3}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {4}{7}}={\frac {2\cdot 2\cdot 7-1\cdot 3\cdot 7+4\cdot 3\cdot 2}{3\cdot 2\cdot 7}}={\frac {28-21+24}{42}}={\frac {31}{42}}

Övningar

Pelle har ett halvt äpple. Han skär bort en fjärdedel av det halva äpplet och ger till Lisa. Hur stor del av ett äpple har Lisa?
...

Potenser

Potensregler
$a^{n}=a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a$	n stycken a
$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$
$(a^{m})^{n}=a^{mn}$
$a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}$
${\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}$
$\left({\frac {a}{b}}\right)^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}}$
$(ab)^{m}=a^{m}\cdot b^{m}$
$a=a^{1}$
$a^{0}=1$	$a\neq 0$
$1^{n}=1$
$a^{-1}={\frac {1}{a}}$	$a\neq 0$
$a^{1/2}={\sqrt {a}}$
$a^{m/n}=(a^{m})^{1/n}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$	$m,n>0$

Om vi låter n vara ett naturligt tal, dvs ett positivt heltal, gäller följande:

$a^{n}=a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\cdot ...\cdot a_{n}$ betyder att a ska multipliceras med sig själv n gånger. Hela uttrycket kallas för en potens med a som bas och n som exponent. Uttrycket kallas ibland för den n:te potensen av a. Om a är ett minustal så blir summan positiv om potensen är ett jämt tal, negativ om den är udda.
$a^{1/n}={\sqrt[{n}]{a}}$ , dvs det tal som multiplicerat med sig själv n gånger blir talet a. Rötter är med andra ord egentligen onödiga, det räcker med att använda potenser.
$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$ , dvs det tal tal man får om man dividerar med a n gånger.

Man får passa sig lite för talet 0 när man räknar med potenser. För alla positiva heltal n gäller $0^{n}=0$ och $n^{0}=1$ däremot är inte $0^{0}$ definierat, dvs det är förbjudet precis som ${\frac {n}{0}}$ .

Exempel

...

Övningar

Beräkna $4^{-2}-2^{4}$
Beräkna $(9^{1/2})^{3}$
Beräkna $-2^{3}+-2^{4}$

Kvadratkomplettering och konjugatuttryck

Några regler
$\ (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$	Första kvadreringsregeln
$\ (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$	Andra kvadreringsregeln
$\ (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$	Konjugatregeln

...

Exempel

...

Övningar

...

Vinklar

Grundläggande begrepp och satser för vinklar
Figur	Beskrivning	Skrivsätt
	En triangel har hörnen A, B och C. Man säger att vinkeln BAC har sin spets i hörnet A. Då ingen risk för missförstånd föreligger säger man bara vinkeln A.	$BAC=x=\angle A$ $\angle BCD=y$
	En spetsig vinkel är mindre än $90^{\circ }$ .	$v<90^{\circ }$
	En rät vinkel är $90^{\circ }$ .	$v=90^{\circ }$
	En trubbig vinkel är större än $90^{\circ }$ och mindre än $180^{\circ }$ .	$90^{\circ }<v<180^{\circ }$
	En rak vinkel är $180^{\circ }$ .	$v=180^{\circ }$
Bild saknas	Vertikalvinklar är lika stora	$u=v$
	När en linje skär två parallella linjer är vertikalvinklar lika stora.	$u=v$
	När en linje skär två parallella linjer är alternatvinklar lika stora.	$u=v$
	Vinkelsumman i en triangel är alltid $180^{\circ }$ .	$a+b+c=180^{\circ }$
Bild saknas	Yttervinkeln är lika med summan av motstående inre vinklar.	$y=a+b$
	Basvinklarna i en likbenttriangel är lika stora.	α = β
Bild saknas	Två vinklar som tillsammans är $90^{\circ }$ kallas komplementvinklar.	$a+b=90^{\circ }$
Bild saknas	Två vinklar som tillsammans är $180^{\circ }$ kallas supplementvinklar.	$a+b=180^{\circ }$
	En bisektris är en linje som delar en vinkel i två lika stora vinklar.	-