Matematik/Matematik A/Algebra

Algebra

...introduktion...

Tal och räkning

När grekerna under antiken utförde beräkningar använde de passare och linjal. De kände varken till talet 0 eller kunde acceptera negativa tal. Något så dumt som att mäta en negativ sträcka tog de helt enkelt inte på allvar. Hos några stammar på Papua Nya Guinea har man räkneord för ett, två och tre. Alla mängder av objekt utöver detta kallar man bara "många". Hos folk som inte bedriver handel finns det helt enkelt ingen anledning att använda tal för särskilt många saker. Det har t.o.m. sagts att våra hjärnor inte kan hantera mer än sex-sju objekt åt gången. Därutöver måste vi använda någon form av räknesystem för att "hjälpa" hjärnan att hålla reda på saker och ting. Försök t.ex. avgöra om en geometrisk figur har nio eller tio sidor utan att räkna varje sida.

När vi idag räknar använder vi sedan flera hundra år ett s.k. positionssystem med talet tio som bas. Det innebär att siffrorna får olika innebörd beroende på var i ett tal det står. Ofta tar vi detta system för självklart eftersom vi lärt oss hantera det sedan barnsben. Idag tycker vi gärna att talet 0 känns självklart. Men många minns med vilket häpnad vi som barn en dag förstod hur stort talet hundra är. Om man jämför siffrornas placering på en räknare med de på en telefon förstår man också att vi väldigt ofta använder våra siffror utan att tänka på vad siffrorna står för. Vi använder helt enkelt siffror hela tiden i vår vardag utan att egentligen fundera så mycket på vad de egentligen betyder. Här ska vi istället börja från början.

$\mathbb {N}$

De naturliga talen når vi genom att använda addition.

De mest självklara talen är just de positiva heltalen: 1, 2, 3, ... etc. I matematiken kallas denna mängd tal just därför för de naturliga talen och har fått en egen symbol: N. Genom historien är också dessa tal de enda som många kulturer egentligen brytt sig om. Men om vi försöker använda dem märker vi snabbt att det uppstår problem. Så länge vi bara adderar dessa tal till varandra går det bra. Alla nya tal vi räknar fram blir positiva heltal. Men så fort vi börjar dra ifrån tal uppstår snabbt problem.

$\mathbb {N} +\mathbb {Z}$

Mängden av alla heltal når vi med subtraktion.

Subtraktion gör att vi måste börja använda negativa tal och talet 0. Även denna mängd tal har en egen symbol i matematiken, Z (som i det tyska ordet för tal: Zahl), och kallas för mängden av alla heltal. Så länge man bara adderar och subtraherar räcker denna mängd tal.

$\mathbb {N} +\mathbb {Z} +\mathbb {Q}$

De rationella talen når vi med division.

Nya problem uppstår då man t.ex. börjar bedriva handel och vill jämföra sex fiskar med fjorton frukter. Som du förstår uppfann man alltså divisionen. I.o.m. det "hittade man" talen mellan heltalen: de rationella talen Q (som i det engelska ordet för kvot: Quotient).

Som vi ska se senare i den här kursen kommer nya mängder med tal att läggas till dessa mängder. Och hela tiden beror det på att vi stöter på konstigheter när vi använder de tal vi redan intuitivt kan acceptera. De räknesätt vi använder gör alltså att vi måste acceptera nya typer av tal och varje ny mängd av tal innebär att vi måste tänka efter innan vi använder dem.

$\mathbb {N} +\mathbb {Z} +\mathbb {Q} +\mathbb {R}$

De irrationella talen är tal som "inte passar in".

T.ex. kan vi tänka oss alla talen vi redan nämnt i en serie längs med en linje så länge vi inte börjar räkna på ytor. När vi gör det börjar vi genast märka att "två gånger två kvadratmeter" genast leder till frågan "Hur lång är en vägg?" Kvadratroten ur ett tal blir ett nödvändigt verktyg att behärska. ${\sqrt {2}}$ är ett tal som inte går att uttrycka som en kvot av två heltal och vi blir alltså tvungna att även acceptera de irrationella talen. Tillsammans med alla de tidigare mängderna kallas dessa tal för de reella talen.

De olika talmängderna hänger alltså ihop med räkneoperationerna: addition, subtraktion, multiplikation, division och potens. De uppstod helt enkelt därför att vi började räkna en gång i tiden. Potenser och kvadratrötter innebär en serie multiplikationer och divisioner som i sin tur innebär en serie additioner och subtraktioner.

I algebra är ju en av de viktigaste uppgifterna att förenkla matematiska uttryck så långt som möjligt. Oftast innebär det att man försöker att bara använda sig av de naturliga talen och addition om det är möjligt. Man kan förstås inte trolla bort minustecken, men man kan ofta förenkla ett uttryck genom att flytta minustecknet så att det står för sig: Både $-{5 \over 3}$ och ${-5} \over {3}$ är kvoter och båda uttrycken representerar ett rationellt tal. Men det första skrivsättet innebär en division mellan två naturliga tal och är alltså enklare.

Primtal

Tabell: De första primtalen...

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97

101,103 osv osv..

När matematiska uttryck innehåller multliplikation och division kan man ofta förenkla dem genom att använda så låga naturliga tal som möjligt. Talet 21 t.ex. är ju en sammansättning av multiplikationen $3\cdot 7$. Talen 3 och 7 däremot kan inte sättas samman av två andra tal. Sådana tal, naturliga tal som bara är delbara med sig själva och 1, kallas primära tal eller primtal. Primtalen är enklare än de sammansatta talen. Man försöker därför att förenkla uttryck genom använda sig av primtal där så är möjligt.

Faktorisering

Delbarhetsregler
1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
Alla tal är delbara med 1.
2, 4, 6, 8, 10, 100, 102, 256, ...
Alla jämna tal är delbara med 2.
3, 9, 21, 81, 111, 432, 6483, ...
Alla tal vars siffersumma är delbart med tre är delbara med tre.
3, 9, 27, 81, 171, 432, 6993, ...
Alla tal vars siffersumma är delbar med 9 är delbara med 9.
4, 8, 12, 64, 132, 188, 2516, ...
Alla tal vars två sista siffror är delbara med fyra är delbara med fyra.
5, 10, 15, 95, 160, 335, 45780, ...
Alla tal som slutar på 0 eller 5 är delbara med fem.
6, 12, 18, 36, 78, 126, 7878, ...
Alla jämna tal som är delbara med tre är även delbara med sex.
...

När man utför operationerna addition och subtraktion kan man förtydliga operationen genom att skriva ${7-3=(4+3)-3=4}$. Genom att visa att ett tal är en sammansättning av två andra lägre tal förenklar man operationen. På samma sätt kan man förstås göra när man utför multiplikation och division. ${14 \over 21}$ kan ju förenklas till ${2 \over 3}$. Om man skriver ${{7\cdot 2} \over {7\cdot 3}}$ ser man lätt att sjuorna kan tas bort. Detta att visa att ett tal är en sammansättning av två andra lägre tal kallas för faktorisering. Ofta, men inte alltid, innebär en faktorisering en förenkling.

Bråk

Ett bråk (av det tyska ordet brok som betyder "bruten") är ett uttryck som återger förhållandet mellan två tal. Talet ovanför strecket kallas täljare och talet nedanför strecket kallas nämnare. Strecket kalls för bråkstreck. Alla rationella tal kan skrivas som bråk.
Ett bråk kan även sägas vara en division som ej är genomförd än. Genom att räkna med bråk så kan man ofta få exaktare svar eftersom många divisioner ger svar med många decimaler som måste avrundas för att kunna användas. ${1 \over 3}$ t.ex blir ju 0,33333... om man utför divisionen. Ska man sedan räkna vidare med svaret måste man avrunda det. Och ska man sedan multiplicera med 3 så blir inte svaret 1 vilket det blir om man räknar det som ett bråk.

Bild: Olika sätt att dela en träplanka.
	${1 \over 4}={{1\cdot 2} \over {4\cdot 2}}={2 \over 8}={{2\cdot 2} \over {8\cdot 2}}={4 \over 16}$

I exemplet ovan delas plankan upp i mindre och mindre bitar. För att få lika lång bit varje gång behöver man bara ta fler bitar. Att dela upp i mindre delar kallas förlängning. Att slå ihop till större delar kallas förkortning.

När man vill addera eller subtrahera två bråk måste nämnare vara densamma i båda bråken. Ofta behöver man förlänga eller förkorta bråken för att uppnå det.

Till exempel kan man addera ${1 \over 2}+{1 \over 2}={{1+1} \over 2}={2 \over 2}=1$ direkt eftersom nämnaren för de båda talen är densamma.

Men i fallet ${1 \over 2}+{1 \over 4}$ måste vi först förlänga den första termen. Genom att multiplicera täljare och nämnare med 2 blir nämnarna i båda termerna lika: ${1 \over 2}={{2\cdot 1} \over {2\cdot 2}}$ och alltså ${1 \over 2}+{1 \over 4}={2 \over 4}+{1 \over 4}={{2+1} \over 4}={3 \over 4}$.

...

Negativa tal

När räknesättet subtraktion införs, följer det att talmängden måste utvidgas med negativa tal. Om man subtraherar ett tal med ett större tal blir differensen negativ.

Exempel: Det är 3°C utomhus, när natten kommer sjunker temperaturen med 7°C. När det har sjunkit kommer det att vara -4°C.

Kommentar till exemplet: I sådan här enkla fall kan man använda uttryck som 4°C kallt, men det är mycket bökigare när man ska definiera riktningar på krafter etc.

Räkneordning

Prioritetsordningen för de ingående operationerna i ett tal är:

1. parenteser
2. multiplikation och division
3. addition och subtraktion

I räkneoperationen 2+3x5 utförs multiplikationen först, 3x5=15, sen 2+15 vilket ger 17.
Menar man att 2+3 ska räknas först skriver man (2+3)x5 vilket blir 25.

Ekvationer och uttryck

Ekvationer hjälper till att lösa problem av olika slag. Algebran är en viktig bit för fortsatta studier i Matematik och ekvationslösning är ett mycket användbart verktyg.

Uttryck

7x+2 är ett exempel på ett uttryck. Bokstaven x är en variabel och står för ett tal.

Om vi tilldelar x ett speciellt värde får vi uttryckets värde för det talet.

Om x=2 får uttrycket 7x+2 värdet 7*2+2=14+2=16.

Ekvationer

Viktigt att kunna är hur man löser ut en faktor i en ekvation.
Om man vet att $\ x=2y+5$ så är det enkelt att räkna ut x om man får ett värde på y men att räkna ut y om man får ett värde på x kan vara svårare.
Grundregeln är att man alltid gör lika på bägge sidor om likhetstecknet.
Först $\ -5$ på bägge sidor:
$\ x-5=2y+5-5$ ger $\ x-5=2y$
och sen dela vi bägge sidor med $\ 2$:
${\frac {x-5}{2}}={\frac {2y}{2}}$
och resultatet blir ${\frac {x-5}{2}}=y$

Ekvationslösning

Exempel 1

$\ 3x+7=33$

$\ 3x+7-7=33-7$

$\ 3x=26$

${\frac {3x}{3}}={\frac {26}{3}}$

$\ x=8{\frac {2}{3}}$

Exempel 2

Temperaturen, x°C, sjunker med 5°C och då blir det 10°C utomhus. Beräkna utgångstemperaturen! På vänster sida om likhetstecknet skriver man uttrycket. Hur hög temperaturen var från början och hur mycket den sjunker, detta ska vara lika med det som står på höger sida om likhetstecknet. På högersidan sätter vi sluttemperaturen.

$\ x-5=10$ (addera 5 till båda leden)

$\ x-5+5=10+5$

$\ x=15$ (eftersom -5 + 5 tar ut varandra)

Övningar

Övning 1

Om man vet att momsen är 25 % så blir summan (S) = priset(P) x 1.25. Alltså S = P x 1.25. Om du har betalat 100 kr vad var priset utan moms? Lösning

Övning 2

Formeln för gravitationskraften mellan två kroppar är: $F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$

där $m_{1}$ är massan (kg) för kropp 1, $m_{2}$ är massan (kg) för kropp 2 och $r$ är avståndet mellan kropparna.

Om du vet $F$, $G$, $m_{1}$ och $m_{2}$ och vill veta avståndet mellan kropparna måste du lösa ut $r$. Hur? Lösning

Procent

Betyder samma sak som hundradel. Procent har stora likheter med bråk, då vi talar om delar. Fast vi har bestämt oss för att det handlar om förhållandet 1/100, alltså hundradel. Procent kan vi använda för att räkna påslag och avdrag eller statistik där det ofta används.

Ex. 1

8% av 100 är 8.

8% är samma sak som 8 hundradelar: $8\%={\frac {8}{100}}=0,\!08$

8%, bråket 8/100 och decimaltalet 0,08 är alla samma sak. Alla har samma värde. Det är bara olika sätt att skriva ut värdet på.

Ex. 2

För att få reda på vad ett decimaltal är i procent multiplicerar man det med hundra.

Om vi ska räkna ut vad decimaltalet 1,2 är i procent räknar vi: $1,\!2*100=120\%$

För att få reda på vad ett procenttal är i decimaltal dividerar man det med hundra.

Om vi ska räkna ut vad procenttalet 65% är i decimaltal räknar vi: $65\%={\frac {65}{100}}=0,\!65$

Ex. 3

Emilia har 15 strumpor. Hennes strumpsamling ökar magiskt med 40%.

Hur mycket är 40% av 15?

$40\%={\frac {40}{100}}=0,4$ (40% är 0,4 i decimaltal)

$15*0,\!4=6$ (ökningen är med 6 strumpor).

$15+6=21$ (totalt har hon nu 21 stycken strumpor)

Ex. 4

Du surfar på internet och kommer till en butik som säljer CD på nätet. Priserna anges exklusive moms och för att du då som privatperson ska veta vad du ska betala måste du addera momsen på 25%. Du ska köpa en skiva som kostar 140 kr exkl. moms. Priset 140 kr är 100%. Vi vill veta vad 125% kostar (100% + 25%).

Vi kan lösa uppgiften på dessa sätt:

1. Ta ursprungliga priset 140 kr. Dela med 100 och sen multiplicera det med 125.

${\frac {140}{100}}=1,4$ (räknar ut vad varje hundradel är värd)

$1,\!4*125=175$ (räknar ut det nya värdet med 125 istället för 100)

2. Utnyttja decimaltalen och ta grundpriset 140 kr multiplicera med 1,25.

$125\%=1,\!25$ (125% är 1,25 i decimalform)

$140*1,\!25=175$

Kvadratrötter

Hur beräknar man sidan av en kvadrat om man har arean. Som rubriken antyder så tar man kvadratroten. Det som sökes är ett tal som multiplicerat med sig själv blir talet som man utgår ifrån. Märk väl att även fast $(-4)\cdot (-4)=16$, så är ${\sqrt {16}}=4$. Ifall man drar roten ur ett negativt tal blir resultat ett komplext tal. Exempelvis är ${\sqrt {-16}}=4i$. Detta diskuteras närmare i Matematik E.

Exempel Om man vill beräkna sidan av ett kvadratiskt rum som är $100$ $m^{2}$ (kvadratmeter),så vet man att något tal multiplicerat med sig själv blir 100.

${\displaystyle x\cdot x=x^{2}=100}$

$x={\sqrt {100}}$

${\displaystyle x=10}$

Här ses att sidan är 10 m (meter).

Se även

Formelsamling/Matematik/Algebra