Matematik/Matematik B/Algebra

Algebra

Polynom

Ett polynom är ett uttryck i vilket variabler och konstanter kombineras genom addition, subtraktion och multiplikation. Detta kan ses som variabel- och konstanttermer, där en variabelterm är produkten av ett tal (koefficienten) och variabeln upphöjd till ett positivt heltal, som kombineras med addition och subtraktion. Polynomets högsta exponent anger dess gradtal.

Ett polynom med endast en term kallas ibland för ett monom, två termer för ett binom och tre termer för ett trinom, därefter vanligtvis endast för polynom.

Många olika situationer kan uttryckas med hjälp av ett polynom, i form av en funktion. Till exempel kan volymen V cm³ av en öppen låda, som tillverkats genom att klippa bort en kvadrat med sidan x cm från varje hörn av ett pappersark med måtten 50 x 60 cm och sedan vika upp sidorna, beräknas med polynomfunktionen $V=x(50-2x)(60-2x)$ eller förenklat $V=4x^{3}-220x^{2}+3000x$. Det är efter förenklingen lätt att se att polynomets gradtal är 3, eftersom $4x^{3}$ är den variabelterm med högst exponent, samtidigt som man kan se att koefficienterna är 4, -220 och 3000.

Addition och subtraktion av polynom

För reella tal gäller:

Kommutativa lagarna:

Ordningen mellan termer i en addition kan kastas om: $\ a+b=b+a$.
Ordningen mellan faktorer i en multiplikation kan kastas om: $a\cdot b=b\cdot a$.

Associativa lagarna:

Additioner får utföras i vilken ordning man vill: $\ (a+b)+c=a+(b+c)$.
Multiplikationer får utföras i vilken ordning man vill: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.

Distributiva lagen:

Multiplikation av ett tal med ett av fler termer uttryck görs enligt följande: $\ a(b+c)=ab+ac$.

Multiplikation och division av polynom

Då man multiplicerar ett polynom med ett annat, multiplicerar man varje term i det ena polynomet med varje term i det andra polynomet:

$\ (a+b+c)(d-e-f)=a(d-e-f)+b(d-e-f)+c(d-e-f)=ad-ae-af+bd-be-bf+cd-ce-cf$

Konjugat- och kvadreringsreglerna

Låt $a,b\in \mathbb {R}$ (alltså, om a & b tillhör mängden de reella talen) så gäller följande regler:

Första kvadreringsregeln:

$\ (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

"Kvadraten av summan hos två tal är lika med summan av kvadraten av det första talet, dubbla produkten av talen och kvadraten av det andra talet."

Andra kvadreringsregeln:

$\ (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

"Kvadraten av differensen hos två tal är lika med kvadraten av första talet subtraherat med dubbla produkten av talen och slutligen adderat med kvadraten av det andra talet."

Lägg även märke till att

$\ (a-b)^{2}=(b-a)^{2}$

Konjugatregeln:

$\ (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

"Produkten av summan hos två tal och differensen av dessa är lika med differensen hos de två talens respektive kvadrater."

Härledningar

$\ (a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=a^{2}+ab+ba+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
$\ (a-b)^{2}=(a-b)(a-b)=a^{2}-ab-ba+(-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
$\ (a+b)(a-b)=a^{2}-ab+ba-b^{2}=a^{2}-b^{2}$

(Se exempelvis Matematik A:Algebra för ytterligare förklaring av vad $\in \mathbb {R}$ står för.)

Faktorisering

Faktorisering innebär att man delar upp ett uttryck, ofta bestående av flera termer, i faktorer, för att förenkla, eller förtydliga en aspekt av uttrycket.

T.ex: För att faktorisera uttrycket $\ 3x-9$ så kan man bryta ut $\ 3$ vilket ger $\ 3(x-3)$.
För att faktorisera uttrycket $\ x^{2}+5x$, kan man bryta ut $\ x$ vilket ger $\ x(x+5)$.

En ofta användbar metod är att använda konjugat- och/eller kvadreringsreglerna:

$\ a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)(a+b)=(a+b)^{2}$

$\ a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)(a-b)=(a-b)^{2}$

$\ a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

Andra förenklingar är att utnyttja kända samband:

$\ a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$

$\ 2a^{3}+2b^{3}=2(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

Det är inte alltid lätt att se vad som går att bryta ut ur ett uttryck. I första hand ska man leta en gemensam konstant (ett heltal), i andra hand en gemensam variabel ($\ x$,$\ y$,$\ z$,$\ t$...), i tredje hand titta efter att bryta ut enligt konjugat- eller kvadringsreglerna, och i sista hand ett förstagrads-uttryck ($\ x+1$, $\ x-5$ eller liknande). Det finns även mer avancerade faktoriseringer, men i Matematik B är dessa typer av faktoriseringar tillräckliga.

Hittar man en faktorisering leds man ofta vidare till en ny faktorisering av en eller flera faktorer. Faktorer som är att anses som icke faktoriserbara är primtal och förstagradsuttryck.

Övning 1
Faktorisera talet $\ 2a^{2}-2b^{2}$

Lösning