Matematik/Matematik C/Derivata
Derivata
Definition och typisk tillämpning
redigeraDerivata är definitionsmässigt förändringstakt. Exempelvis kallas en förändring i hastighet acceleration, och om man känner till en funktion som ger ett objekts hastighet som funktion av tiden kan man få en funktion som ger objektets acceleration som funktion av tiden genom att derivera hastighetsfunktionen med avseende på tiden.
Den kanske vanligaste tillämpningen av derivata är att räkna ut för vilket värde en funktion når sitt maximum. Derivatan av en funktion kan sägas beskriva kurvans lutning, och på samma sätt som ett berg sluttar uppför mot toppen och nedför efter toppen men är i princip platt precis på toppen har många funktioner positiv derivata för värden omedelbart "innan" sitt maximum och negativ derivata omedelbart efter maximum men derivatan noll precis på toppen. Genom att derivera funktionen och räkna ut för vilka värden den har värdet noll kan man då se vilka punkter som är tänkbara maxima.
För vissa funktioner har derivatan värdet noll även i andra punkter än maximum, så man bör verifiera att det man hittat faktiskt är maximum. För att kunna använda denna metod måste funktionen och dess derivata vara kontinuerliga (det vill säga att kurvan saknar skarpa "stup" eller vassa hörn), eller så måste man skilt kontrollera diskontinuitetspunkterna.
Definition
redigeraDerivata brukar definieras som
,
alternativt .
och kan även beräknas med
Där är funktionens gränsvärde i punkten 0. Gränsvärdet i 0 får man helt enkelt när man låter h krypa så nära noll utan att h antar det värdet.
Exempel
redigera
Andra beteckningar
redigeraDet finns, något förvirrande, flera sätt att beteckna derivatan för en funktion på. Om är en funktion är alla de följande ganska vanliga sätt att skriva derivatan på:
De betyder alla samma sak, men dyker upp i olika tillämpningar.
I fysik är det vanligt att man uttrycker saker (t.ex. position) som funktioner av tiden . Om t.ex. positionen på en linje, är en funktion av tiden skriver man det som . Då brukar derivatan betecknas .
Deriveringsregler
redigera
Tips:
tal utan x-term tas bort
om x saknar exponent (exponenten 1) försvinner x
Exempel:
Linjära funktioner
redigeraEn linjär funktion definieras av en ekvation av typen:
eller
Grafen till en linjär funktion är alltid en rät linje
-värdet(riktningskoefficenten) för en linje som passerar punkterna och får man med hjälp av formeln:
ändring i / ändring i
eller med symbolen för förändring - Δ:
Δ / Δ
Den räta linjens ekvation kan skrivas i flera olika former:
Den räta linjens ekvation | ||
---|---|---|
k-form | Linje med lutningen k genom punkten | |
Enpunktsform | Linje med lutningen k genom punkten | |
Allmän form | Alla linjer och bara linjer har en ekvation av denna form | |
Specialfall | ||
Vertikal linje | Parallell med -axeln | |
Horisontell linje | Parallell med -axeln |
-variabeln är den oberoende och den beroende. får sitt värde, beroende på vad har för värde. När man ritar ut en graf, låter -linjen successivt öka som en tallinje. Därefter prickar man ut alla värden (som då är höjden).
Potensfunktioner
redigeraPolynomfunktioner
redigeraMonom (enkla polynom)
redigeraEtt monom [1], dvs ett polynom med bara en term i, ser ut som , där är en godtycklig konstant (monomets koefficient), och ett (positivt) heltal. Talet kallas monomets gradtal. Självklart är även exponenten för variabeln .
Exempelvis är , , och monom, men inte (eftersom innehåller mer än en term).
För att derivera ett monom "flyttar man ner" exponenten och multiplicerar med koefficienten, och sänker monomets gradtal med ett, dvs:
.
Allmänna polynom
redigeraOm är ett allmänt polynom av grad kan det skrivas som summan av flera monom:
Där åtminstone någon av .
Att derivera detta är precis som ovan bara att sänka gradtalet på variablerna, och multiplicera med exponenten, dvs:
.
Detta kan se klurigt ut, men det följer ganska lätt av derivatans linjäritet, dvs att när man deriverar en summa flyttar man in derivatan på de individuella termerna. Det blir kanske lättare att se om vi utvecklar summan:
.
Exempel
redigeraExponentialfunktioner
redigeraFacit
redigeraSe även
redigeraDenna boksida är en s.k. stubb, alltså bara påbörjad. Hjälp Wikibooks genom att skriva mer! |