Matematik/Matematik E/Komplexa tal

Komplexa tal

Vissa ekvationer har inte någon lösning om man endast använder sig av reella tal. Ett exempel är ekvationen $x^{2}+1=0$. Denna ekvation saknar reella lösningar, eftersom $x^{2}$ aldrig kan bli ett negativt tal. För att kunna lösa ekvationer av detta slag krävs det därför att man inför en ny typ av tal som baseras på roten ur -1. Ska man lösa den ovanstående ekvationen blir första steget detta: $x^{2}=-1\Leftrightarrow |x|={\sqrt {-1}}$. Eftersom roten ur negativa tal inte ger reella tal, måste man införa en defintion av $i$ som: $(i)^{2}=-1$. Det innebär att man kan ta kvadratroten ur -1 och få ett tal, $i$, som resultat. Det finns alltså två lösningar till ekvationen ovan: $|x|=i\Leftrightarrow x=i\lor x=-i$. Alla andragradsekvationer har två lösningar när vi inte begränsar oss till reella lösningar.

Man måste även ibland använda komplexa tal för att få fram reella lösningar; när man löser tredjegradsekvationer med den allmänna formeln, så är man ibland tvungen att använda komplexa tal i mitten av beräkningen, och det var så de komplexa talen först blev allmänt accepterat bland matematiker.

Ovanstående "definition" är egentligen populärvetenskaplig. Komplexa tal definieras formellt som ett talpar med egenskaperna:

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

(a,b)*(c,d)=(ac-bd,bc+ad)

där a,b,c,d är reella tal.

Användandet av bokstaven i införs via ett alternativt skrivätt (a,b)=a+ib

Från definitionen kan man då istället bevisa att i*i = (0,1)*(0,1) = (-1,0) = -1