Matematik/Matematik E/Komplexa tal

Matematik A | Algebra | Funktioner | Geometri | Statistik
Matematik B | Algebra | Geometri | Funktioner | Sannolikhetslära | Statistik
Matematik C | Repetition A & B | Algebra | Funktioner | Derivata | Talföljder och summor
Matematik D | Trigonometri | Trigonometri och derivata | Derivata och integraler
Matematik E | Komplexa tal | Derivata och integraler | Differentialekvationer
Facit | Formelsamling/Matematik/Komplexa tal | Matematikportalen






Komplexa talRedigera

Vissa ekvationer har inte någon lösning om man endast använder sig av reella tal. Ett exempel är ekvationen  . Denna ekvation saknar reella lösningar, eftersom   aldrig kan bli ett negativt tal. För att kunna lösa ekvationer av detta slag krävs det därför att man inför en ny typ av tal som baseras på roten ur -1. Genom att lösa den ovanstående ekvationen får man följande lösning:  . Eftersom roten ur negativa tal inte ger reella tal, måste man införa en defintion av i som:  . Det innebär att man kan ta kvadratroten ur -1 och få ett tal, i, som resultat.

Man måste även ibland använda komplexa tal för att få fram reella lösningar; när man löser tredjegradsekvationer med den allmänna formeln, så är man ibland tvungen att använda komplexa tal i mitten av beräkningen, och det var så de komplexa talen först blev allmänt accepterat bland matematiker.


Ovanstående "definition" är egentligen populärvetenskaplig. Komplexa tal definieras formellt som ett talpar med egenskaperna:

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

(a,b)*(c,d)=(ac-bd,bc+ad)

där a,b,c,d är reella tal.

Användandet av bokstaven i införs via ett alternativt skrivätt (a,b)=a+ib

Från definitionen kan man då istället bevisa att i*i = (0,1)*(0,1) = (-1,0) = -1

Det komplexa talplanetRedigera