Matematik/Matematik B/Funktioner

Funktioner

Funktionsbegreppet

Formellt sett är en funktion, oftast skriven som $\ y=f(x)$, en regel som för varje $x$ har ett värde $y$ definierat av regeln för $\ f(x)$. $\ f(x)$ kan till exempel vara en rät linje $\ y=f(x)=kx+m$.

I matematik B är x antingen hela tallinjen (alla reella tal) eller en del av den. De tal som $x$ kan anta kallas funktionens definitionsmängd. De värden $y$ som $f(x)$ kan anta för definitionsmängden av $x$, kallas värdemängd.

Linjära funktioner

En linjär funktion är en rak linje i ett koordinatsystem, som inte är parallell med y-axeln.

Alla linjära funktioner kan plottas i ett koordinatsystem. Dessa raka linjer kan kallas "den räta linjens funktion" och kan generellt beskrivas med formeln:

$y=kx+m$, där k och m är konstanter, unika attribut för att beskriva linjen.

k är ett mått på lutningen på linjen, och m där linjen skär y-axeln.

x är den oberoende variabeln och beskrivs av den horisontella axeln koordinatsystemet. y den beroende variabeln som sätts av på den vertikala axeln. y får sitt värde beroende på x.

När man ritar ut en graf, låter x-värdet successivt öka som en tallinje. Därefter beräknar man och prickar ut alla y-värden (som då är höjden) för varje x.

Lutningen på kurvan, k, definieras av förändringen av värdet - y - när x ökar med 1.

Linjära ekvationssystem

För vissa matematiska problem finns det fler än en obekant och som uppfyller flera olika villkor. Villkoren kan skrivas som ekvationer och de obekanta som okända variabler, $x$ och $y$. Problemen kan skrivas upp som ett ekvations-system.

Ett ekvationssystem kan tex bestå av ekvationerna (1) och (2) nedan:

$\left\{{\begin{matrix}5x+y=8&{\mbox{ (1) }}\\4x+2y=10&{\mbox{ (2) }}\end{matrix}}\right.$

och genom att använda båda ekvationerna tillsammans, får man ut distinkta värden på x och y. Det är möjligt att tolka de båda ekvationerna som två varianter av räta linjens ekvation - de beskriver räta linjer i ett koordinatsystem. De distinkta värdena på x och y kan läsas av i den punkt (för x och y) där dessa linjer möts.

Ekvationen kan också lösas genom att manipulera uttrycken i ekvationssystemet.

Substitutionsmetoden

En vanlig lösningsmetod går ut på att lösa ut en okänd variabel ur en ekvation, och ersätta (substituera) uttrycket som motsvarar den variabeln i den andra ekvationen. Därefter kan den andra ekvationen lösas för den andra variabeln. Värdet på den variabeln sätts sedan in i uttrycket som löste ut den första variabeln, och på så sätt fås värdet av den första variabeln.

Lös ut $y$ ur (1) genom att subtrahera $5x$ på båda sidorna om likhetstecknet.

$\ 5x+y-5x=8-5x$

$\ y=8-5x\qquad (3)$

Sätt in uttrycket för $y$ i uttryck (2):

$\ 4x+2(8-5x)=10$

Nu består detta uttryck av en ekvation med en obekant, $x$ som kan lösas på sedvanligt sätt.

Förenkla uttrycket genom att utveckla parentesen

$\ 4x+16-10x=10$,

addera $x$-termerna

$\ -6x+16=10$,

och subtrahera båda sidor av likhetstecknet med 16

$\ -6x+16-16=10-16$.

$\ -6x=-6$.

Multiplicera båda sidor av likhetstecknet för att få bort minustecknet framför $x$-termen.

$\ 6x=6$,

och dividera båda sidorna med 6:

$\ x=1$,

Sätt nu in $x=1$ i ekvation (3) ovan.

$\ y=8-5\cdot 1=3$.

Lösningen för ekvations-systemet är alltså:

$\left\{{\begin{matrix}x=1\\y=3\end{matrix}}\right.$

Genom en sådan här manipulation av båda ekvationerna i systemet, kan man hitta ett värde på x och ett på y som uppfyller båda ekvationerna i ekvationssystemet.

Andragradsfunktioner

En andragradsfunktion är en funktion som innehåller en term med $x^{2}$ och eventuellt termer med $x$ och konstant-term.

En andragradsekvation fås av att sätta en andragradsfunktion till värdet 0 eller lika med en annan funktion av högst andra graden.

Det finns högst två (reella) lösningar på en andragradsekvation. Exempel:
Om $x^{2}-4=0$ så är x antingen -2 eller 2 lösningar.
$x^{2}+2x+1=0$ har bara en lösning, x = -1.
$x^{2}+1=0$ saknar (reella) lösningar.

PQ-formeln

Rötterna till andragradsekvationen på formen:

$\ x^{2}+px+q=0$

ges av:

$x=-p/2\pm {\sqrt {(p/2)^{2}-q}}$

då gäller

$\ x_{1}+x_{2}=-p$

$\ x_{1}\cdot x_{2}=q$

Exempel:

Vi vill lösa andragradsekvationen $\ 2x^{2}-8x+10$

För att använda PQ formeln måste den skrivas i formen $\ x^{2}+px+q=0$

$\ 2x^{2}-8x-10=0$

$\ (2x^{2}-8x-10)/2=0$

$\ x^{2}-4x-5=0$

$x=-(-4/2)\pm {\sqrt {(-4/2)^{2}-(-5)}}$

$\ x=2\pm {\sqrt {(4+5)}}$

$\ x=2\pm {\sqrt {9}}$

$\ x_{1}=2+3=5$

$\ x_{2}=2-3=-1$

Härledning:

$\ -p=x_{1}+x_{2}=5+(-1)=4$

$\ q=x_{1}\cdot x_{2}=5\cdot (-1)=-5$

Ex. 2

$\ x(x+3)=0$

Skriver om ekvationen i formen $\ x^{2}+px+q=0$

$\ x^{2}+3x+0=0$

$\ x=-(3/2)\pm {\sqrt {(3/2)^{2}-0}}$

$\ x=-1.5\pm {\sqrt {1.5^{2}}}$

$\ x_{1}=0$

$\ x_{2}=-3$

Såna här enkla tal kan man hitta nollställena genom att prova vilka värden som blir noll och det blir det om någon sida av multiplikationen är = 0.

[http://www.wolframalpha.com/input/?i=2x^2+-+8x+-+10+%3D+0 ]