Matematik/Matematik C/Talföljder och summor

Talföljder och summor

Geometrisk summa

Sätt $S=1+p+p^{2}+\ldots +p^{k}$. Antag att $p\neq 1$. Det gäller att $S-pS=1-p^{k+1}\Rightarrow S={\frac {p^{k}-1}{p-1}}$. Om p = 1: $S=\underbrace {1+1+1+\ldots 1} _{k+1}=k+1$.

Teleskoperande summa

$\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {2}{k^{2}-1}}=\sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{k-1}}-{\frac {1}{k+1}}\right)=\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{4}}-{\frac {1}{6}}\right)+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}\right)+\ldots =1+{\frac {1}{2}}={\frac {3}{2}}$.

Notera att om $f(x+y)=f(x)+f(y)$, så gäller $\sum _{2}^{\infty }f\left({\frac {2}{k^{2}-1}}\right)=f(3/2)$.