Topologi/Kompakthet

Kompakta mängder

Låt X vara ett topologiskt rum (med topologin $\scriptstyle {\mathcal {T}}$), och låt A vara en delmängd och $\scriptstyle {\mathcal {F}}$ = (F_i)_i∈I vara en familj av delmängder av X. Vi säger då att $\scriptstyle {\mathcal {F}}$' täcker M, om varje punkt i M också ligger i något F_i, d. v. s. om

$M\subseteq \cup {\mathcal {F}}=\bigcup \limits _{i\in I}F_{i}\,.$

I så fall är $\scriptstyle {\mathcal {F}}$ = (F_i en övertäckning av M. Denna övertäckning är öppen, om alla F_i är öppna, och ändlig, om indexmängden I är ändlig. En delövertäckning $\scriptstyle {\mathcal {F}}$ = (F_i' av $\scriptstyle {\mathcal {F}}$ = (F_i är helt enkelt en delfamilj, alltså en restriktion av $\scriptstyle {\mathcal {F}}$ = (F_i till någon delmängd I' av I, som själv täcker M.

Definition: Delmängden M av det topologiska rummet X är kompakt, om varje öppen övertäckning av M innehåller en ändlig delövertäckning.
Kommentar: Vissa författare använder termen kvasikompakt för mängder som uppfyller detta övertäckningsvillkor, och reserverar termen kompakt för dem som uppfyller både övertäckningsvillkoret och separationsvillkoret T2, så att alltså man också kräver att den inducerade topologin på M är Hausdorff. (Detta definieras i kapitlet Separationsvillkor och Hausdorffrum.) I de sammanhang där denna skillnad görs brukar intresset ändå vara inriktat på just Hausdorffrum, så att det inte spelar så stor roll om man visar en egenskap för alla mängder som uppfyller övertäckningsvillkoret, eller bara för dem som dessutom är Hausdorff. Eftersom vi i denna bok också tar upp egenskaper och tillämpningar som inte förutsätter villkoret T2, väljer vi den terminologi som lämpar sig bättre i den allmänna topologin.

Ändlighetsvillkor för basala övertäckningar

Vi påminner om, att om dessutom en bas $\scriptstyle {\mathcal {B}}$ för topologin $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ är specificerad, så är alla element i $\scriptstyle {\mathcal {B}}$ öppna mängder. I denna situation kallas en M-övertäckning (eller annan familj) basa, om alla dess element tillhör $\scriptstyle {\mathcal {B}}$. Basala övertäckningar av en kompakt delmängd M måste då alltså innehålla ändliga delövertäckningar, precis som alla andra öppna övertäckningar av M. Litet mindre trivialt är att omvändningen ocksågäller. Vi får följande sats:

Sats 1. Om (X,$\scriptstyle {\mathcal {T}}$) är ett topologiskt rum, $\scriptstyle {\mathcal {B}}$ är en bas för topologin $\scriptstyle {\mathcal {T}}$, och M är en delmängd av X, så är M kompakt om och endast om varje basal övertäckning av A omfattar en ändlig delövertäckning.
Bevis. "Endast om"-delen visade vi ovan. Det är därför tillräckligt att anta att varje basal övertäckning av A har en ändlig övertäckning, och att visa att då en godtycklig öppen övertäckning $\scriptstyle {\mathcal {F}}$ = (F_i)_i∈I av M måste omfatta en ändlig delövertäckning.

För varje i ∈ I gäller att F_i ∈ $\scriptstyle {\mathcal {T}}$, som har basen $\scriptstyle {\mathcal {B}}$. Därför måste det definitionsmässigt för detta i finnas en basal familj $\scriptstyle {\mathcal {G}}$_i = (G_i,j)_J∈Ji , sådan att

$\cup {\mathcal {G}}_{i}=F_{i}\,.$

Om vi sätter

$J:=\bigcup \limits _{i\in I}\{i\}\times J_{i}\,.$

får vi att (G_i,j)_(i,j)∈J  är en basal övertäckning av M, som enligt antagandet måste innehålla en ändlig delövertäckning (G_{i1, j1} , ..., G_{in, jn} ). Eftersom G_{ik, jk} ⊆ F_ik för k = 1,...n, är då också (F_i1 , ..., F_in) en övertäckning av M, och en ändlig delfamilj av $\scriptstyle {\mathcal {F}}$.♦

Proposition. Unionen av ett ändligt antal kompakta mängder är en kompakt mängd. Speciellt är varje ändlig delmängd av ett topologiskt rum kompakt.
Bevis: Om unionen K = K₁ ... K_n av de kompakta K_i har en öppen övertäckning, så täcker denna också K_i , och innehåller därför en ändlig delövertäckning av K_i , för i = 1,..., n. Sammantaget bildar dessa en ändlig övertäckning av K.
Vidare inser man omedelbart, att eftersom "ett" är ett ändligt antal, så innehåller varje övertäckning av mängden {x} för någon punkt x ∈ X en ändlig delövertäckning; varav specialiseringen direkt följer.♦

Subbaskriteriet

Nästa resultat ser ut som om det vore en rätt beskedlig skärpning av sats 1; men i själva verket är det en betydligt djupare sats, som på ett fundamentalt sett förutsätter urvalsaxiomet för att den skall vara sann.

Sats 2. Låt (X,$\scriptstyle {\mathcal {T}}$) vara ett topologiskt rum, M en delmängd till X, och $\scriptstyle {\mathcal {H}}$ en subbas till $\scriptstyle {\mathcal {T}}$. Då är M kompakt om och endast om varje subbasal övertäckning av M innehåller en ändlig delövertäckning.

Bevis: "Endast om"-delen är trivial, på samma sätt som i beviset av sats 1. Vi antar därför i stället att det finns en basal övertäckning utan ändlig delövertäckning, med avseende på $\scriptstyle {\mathcal {T}}$-basen $\scriptstyle {\mathcal {B}}$ genererad av $\scriptstyle {\mathcal {H}}$. Vi skall visa att det då också måste finnas (minst) en subbasal övertäckning av M, som saknar ändlig delövertäckning.

I själva verket kommer vi att visa ett litet mer precist resultat, nämligen att om $\scriptstyle {\mathcal {F}}$ är en basal övertäckning av M utan ändlig delövertäckning, så existerar ett urval av ett subbaselement för varje element i $\scriptstyle {\mathcal {F}}$, sådant att subbaselementet omfattar motsvarande baselement (vilket automatiskt gör detta urval till en övertäckning av M), men att inte denna specifika subbasala övertäckning innehåller en ändlig delövertäckning.

Vi börjar med att "göra om" mängden $\scriptstyle {\mathcal {F}}$ till en "självindexerad" familj

${\mathcal {G}}:=(B)_{B\in {\mathcal {F}}}\,.$

Vidare väljer vi för varje B i $\scriptstyle {\mathcal {F}}$ ett minimalt sätt att "presentera" B som en skärning av element i $\scriptstyle {\mathcal {H}}$. Detta betyder, att vi väljer något positivt heltal n_B och subbaselement H_B,1, ..., H_B,nB , sådana att

$(1)\quad B=H_{B,1}\cap \ldots \cap H_{B,n_{B}}\,,$

men att B inte är skärningen av färre än n_B element ur $\scriptstyle {\mathcal {H}}$.

• Lägg ev. in som övning efteråt: Varför är säkert n_B positivt?

Detta medför speciellt att

$(2)\quad B\in {\mathcal {H}}\iff n_{B}=1\iff B=H_{B,1}\iff B\in \{H_{B,1},\ldots ,H_{B,n_{B}}\},$

och att

$(3)\quad 1\leq i<j\leq n_{B}\Rightarrow H_{B,i}\not \subseteq H_{B,j}\land H_{B,j}\not \subseteq H_{B,i}\,.$

Sätt M_B := {B, H_B,1 , ..., H_B,nB}, så att M_B bara innehåller ett element om n_B = 1, men n_B+1 element annars. Sätt också

$Q:=\prod _{B\in {\mathcal {F}}}M_{B}\,.$

Varje element $\scriptstyle {\mathcal {L}}$ = (L_B)_{$\scriptscriptstyle {\mathcal {F}}$} ∈ Q är en basal övertäckning av M, eftersom B ⊆ L_B för varje B, och redan $\scriptstyle {\mathcal {G}}$ täcker M. $\scriptstyle {\mathcal {L}}$ kan ses som en ersättning för $\scriptstyle {\mathcal {G}}$, genom att vissa poster i $\scriptstyle {\mathcal {G}}$ (som är baselement men inte subbaselement) ersatts av större element, som tillhör $\scriptstyle {\mathcal {H}}$. Vi kan uppfatta ett annat element $\scriptstyle {\mathcal {K}}$ = (K_B)_{$\scriptscriptstyle {\mathcal {F}}$} ∈ Q som större än $\scriptstyle {\mathcal {L}}$, om vi fått $\scriptstyle {\mathcal {K}}$ ur $\scriptstyle {\mathcal {L}}$ genom att ersätta ytterligare några baselement med subbaselement. Detta ger en partialordning på Q. Denna kan också definieras mer formellt genom

$(4)\quad {\mathcal {L}}\leq {\mathcal {K}}\iff \forall B(L_{B}\subseteq K_{B}).$

Observera att $\scriptstyle {\mathcal {L}}$ är ett maximalt element i Q om och blott om ingen mer substitution kan göras, d. v. s. om och blott om $\scriptstyle {\mathcal {L}}$ är en subbasal övertäckning av M.

Vi gör nu två viktiga "lokala" definitioner, som kommer att gälla i hela det återstående beviset. En familj $\scriptstyle {\mathcal {L}}$ ∈ Q kallas tam, om den innehåller en ändlig delfamilj, och vild annars. Med hjälp av detta begrepp kan det påstående vi skall visa omformuleras som påståendet

(5) Om $\scriptstyle {\mathcal {G}}$ är vild, så innehåller Q något vilt maximalt element.

Vi skall visa (5) genom att tillämpa Zorns lemma på delmängden

$P:=\{{\mathcal {L}}\in Q:L{\text{ är vild}}\},$

för att visa att

(6) P innehåller maximala element,

och sedan använda hjälpresultatet

Lemma. Maximala element i P är också maximala i Q.

Bevis av lemmat: Låt $\scriptstyle {\mathcal {L}}$ = (L_B)_{B ∈ $\scriptscriptstyle {\mathcal {F}}$} vara ett godtyckligt maximalt element i P. Vi skall visa att $\scriptstyle {\mathcal {L}}$ då också måste vara ett maximalt element i Q, d. v. s. att $\scriptstyle {\mathcal {L}}$ också måste vara en subbasal familj, med hjälp av ett motsägelsebevis.

Antag alltså i stället att $\scriptstyle {\mathcal {L}}$ inte vore maximalt i Q! Då funnes (minst) ett B ∈ $\scriptstyle {\mathcal {F}}$, sådant att n_B ≥ 2 och att

$L_{B}=B\notin \{H_{B,1},\ldots ,H_{B,n_{B}}\},$

där B enligt (2) inte vore ett subbaselement. Läte vi då (för j = 1, ..., n_B) $\scriptstyle {\mathcal {L}}_{j}$ vara det Q element man finge genom att byta ut B mot H_B,j på plats B, men lämna kvar alla andra poster från $\scriptstyle {\mathcal {L}}$, så vore varje sådant $\scriptstyle {\mathcal {L}}_{j}$ ett Q element strikt större än det P-maximala elementet $\scriptstyle {\mathcal {L}}$, och vore alltså inte ett P-element, utan tamt. Med andra ord innehölle $\scriptstyle {\mathcal {L}}_{j}$ en ändlig M-delövertäckning $\scriptstyle {\mathcal {L}}'_{j}$. Speciellt vore

${\mathcal {L}}''_{j}:=L'_{j}\setminus \{H_{B,j}\}$

en ändlig övertäckning av M $\setminus$ H_B,j, och en delfamilj till $\scriptstyle {\mathcal {L}}$. Då vore emellertid

${\mathcal {L}}''_{1}\cup \ldots \cup {\mathcal {L}}''_{n_{B}}\cup \{B\}$

också en ändlig delfamilj till $\scriptstyle {\mathcal {L}}$, men också en övertäckning av M. Den vilda familjen $\scriptstyle {\mathcal {L}}$ vore alltså tam; den sökta motsägelsen.♦

Bevis av (6): För att kunna tillämpa Zorns lemma behöver vi visa att varje kedja i P har en övre begränsning. Kedjan ∅ har den övre begränsningen $\scriptstyle {\mathcal {G}}$ ∈ P. Låt nu K = ($\scriptstyle {\mathcal {K}}$_i)_{i ∈ I} vara en icketom kedja i P, där

${\mathcal {K}}_{i}=(K_{i,B})_{B\in {\mathcal {F}}}$

för varje i i I. Sätt $\scriptstyle {\mathcal {L}}$ = (L_B)_{$\scriptscriptstyle {\mathcal {F}}$} := (∪_{i ∈ I} K_i,B)_{B ∈ $\scriptscriptstyle {\mathcal {F}}$} . Eftersom K är en kedja, är {K_i,B}_I ⊆ M_B en kedja under mängdinklusion för varje B ∈ $\scriptstyle {\mathcal {F}}$, och enligt (1) och (3) består denna kedja av högst två element (vilka i så fall är B och något H_B,mB ). Speciellt gäller att L_B = ∪{K_i,B}_I &isin M_B för varje B, så att

$(7)\quad \scriptstyle L\in Q,$

och att $\scriptstyle {\mathcal {L}}$ verkligen är större än eller lika med varje element i kedjan K. För att visa (6) räcker det därför att visa att $\scriptstyle {\mathcal {L}}$ också ligger i P, d. v. s., att $\scriptstyle {\mathcal {L}}$ är vild. Vi gör detta med ett motsägelsebevis.

Antag alltså i stället att $\scriptstyle {\mathcal {L}}$ vore tam! Då funnes en ändlig delmängd $\scriptstyle {\mathcal {F}}'$ av $\scriptstyle {\mathcal {F}}$, sådan att delfamiljen $\scriptstyle {\mathcal {L}}'$ := (L_B)_{B ∈ $\scriptscriptstyle {\mathcal {F}}'$} av $\scriptstyle {\mathcal {L}}$ täckte M. För varje B ∈ $\scriptstyle {\mathcal {F}}'$ funnes också ett i_B ∈ I, sådant att L_B = K_iB ,B . Eftersom {K_iB}_{B \isin; $\scriptscriptstyle {\mathcal {F}}'$} då vore en ändlig delkedja av K, innehölle den ett största element $\scriptstyle {\mathcal {K}}'$. Detta element låge i P och vore alltså vilt, men innehölle också den ändliga M-övertäckande delfamiljen $\scriptstyle {\mathcal {L}}'$, och vore alltså amtidigt tamt; den sökta motsägelsen.♦

Därmed är även satsen bevisad.♦

• Jag har för många M i det här beviset. Byt ut!

Kompakta rum

Varje mängd är ju en delmängd av sig själv. Därför kan vi direkt tillämpa definitionen för specialfallet M = X:
Definition: Ett topologiskt rum X är kompakt, om X är en kompakt delmängd av sig själv.
Observation: Delmängden M av det topologiska rummet X är kompakt om och blott om M med den inducerade topologin är ett kompakt delrum av X.
Bevisskiss: Mot en M-övertäckning (F_i)_I av öppna mängder i X svarar en M-övertäckning (F_i∩M)_I av öppna mängder i M, och vice versa. Samma restriktioner till delindexmängder I' är respektive är inte delövertäckningar i båda fallen.♦

Sats 3.För ett topologiskt rum X är följande utsagor ekvivalenta:
(a) X är kompakt;
(b) varje familj av slutna mängder med tomt snitt innehåller en ändlig delfamilj med tomt snitt;
(c) för varje kedja av icketomma slutna delmängder av X gäller att deras snitt är icketomt; och
(d) för varje kedja av öppna äkta delmängder av X gäller att deras union är en äkta delmängd av X.

• Detta tycks vara den första TFAE-satsen i boken, så en observation om dess logiska innebörd bör kanske tillfogas.

Vi visar alltså först följande: Om rummet X är kompakt, så gäller för varje kedja av icketomma slutna delmängder att deras snitt är icketomt. Bevis: Komplementen till en kedja av slutna delmängder med tomt snitt är en täckande kedja av öppna delmängder. Eftersom rummet är kompakt måste en sådan kedja innehålla en täckande ändlig delkedja, vars största element måste vara hela X. Det betyder att den ursprungliga (slutna) kedjan då måste innehålla tomma mängden som ett element.♦

• Även omvändningen gäller! Bevisskiss, som dock använder välordningssatsen: Givet övertäckning (F_i)_i∈I, välordna I, och bilda kedjorna (U_i)_I och (V_i)_I genom
  $U_{i}:=\bigcup _{j\leq i}F_{j}{\text{ resp. }}V_{i}:=\bigcup _{j<i}F_{j}\,.$
  För varje sluten mängd S finns ett minsta i = i(S) i I sådant att S ⊆ U_i. Om ock S ≠ ∅, så är däremot ej S innehållen i V_i, ty eljest vore $(U_{j}\cup \complement S)_{j<i}$ en kedja av öppna mängder med union X men inget element X. Sätt rekursivt S1 := X, i_n := i(S_n), G_n := F_in, $A_{n}:=\bigcup _{m=1}^{n}G_{m}\,,$ och, om S_n ≠ ∅, S_n+1 := S_n-G_n. S1 S2 ... är (strikt) avtagande, och antingen slutar kedjan med ett S_n = ∅, eller vore
  $S:=\bigcap _{n=1}^{\infty }S_{n}\neq \emptyset .$
  Det senare gåve dock att (A_n ∪ U_i(S)) vore en öppen kedja med union X och alltså något A_n ∪ U_i(S) = X, med motsägelsen S ⊆ U_i(S); så i stället gäller det förra alternativet, så (G1,...,G_n) är en ändlig delövertäckning.
• Lägg till slutna ekvivalensen för kompakthet. Visa som tillämpning att Spec A är kompakt för varje kommutativ unitär ring A. Bevisidé: Att $\bigcup _{i\in I}V(E_{i})=V(\cup _{i}E_{i})$ är tom betyder precis att 1 ligger i idealet genererat av unionen alla E_i; följdaktligen också i idealet genererat i unionen av de ändligt många E_i som bidrar till en framställning av 1 som en lineärkombination av element ur den stora unionen.

Sats 4. Rummet X är kompakt om och endast om varje sluten delmängd av X är kompakt.
Bevis. "Om"-delen är självklar, eftersom X självt är slutet. För "endast om"-delen antar vi att X är kompakt, att M ∈ $\scriptstyle {\mathcal {S}}$, och att $\scriptstyle {\mathcal {F}}$ är en öppen övertäckning av M. Om vi utvidgar $\scriptstyle {\mathcal {F}}$ till en familj $\scriptstyle {\mathcal {F}}$' genom att lägga till den öppna mängden $\complement M$, så får vi en övertäckning av hela X. Eftersom X är kompakt, innehåller $\scriptstyle {\mathcal {F}}$' en ändlig delövertäckning $\scriptstyle {\mathcal {F}}$'' av X. Den sökta ändliga $\scriptstyle {\mathcal {F}}$-delövertäckningen av M är då

${\mathcal {F}}''\setminus \{\complement M\}.$ ♦

Sats 5. Om f : X → Y är en kontinuerlig avbildning mellan två topologiska rum, där definitionsrummet X är kompakt, så är värdemängden f(X) en kompakt delmängd av målrummet Y.
Bevis: Om (U_i)_I är en öppen övertäckning av värdemängden f(X), så är (f ^-1(U_i))_I en övertäckning av X. Eftersom X är kompakt finns då en ändlig delövertäckning (f ^-1(U_i))_J av denna X-övertäckning, där alltså J är en ändlig delmängd av I. Då är också (U_i)_J en ändlig övertäckning av f(X).♦

Föregående: Topologiska rum

Upp: Topologi

Nästa: Metriska rum