Topologi/Topologiska rum

Vi börjar direkt med den vanligaste formella definitionen av topologier på mängder. Vi väljer då att se egenskapen att en delmängd är öppen som en odefinierad grundegenskap, och definierar övriga viktiga begrepp i termer av öppna mängder.

Den vanliga definitionen

Definition: En topologi på en mängd X är en mängd $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ av delmängder till X sådan att följande axiom är uppfyllda:

• (Ö1) $\ \emptyset \in {\mathcal {T}}$,

• (Ö2) $\ X\in {\mathcal {T}}$,

• (Ö3)  Varje union av mängder ur $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ är ett element i $\scriptstyle {\mathcal {T}}$,

• (Ö4)  Varje ändligt snitt av mängder ur $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ är ett element i $\scriptstyle {\mathcal {T}}$.

Definition: En delmängd G av X säges vara öppen (i topologin $\scriptstyle {\mathcal {T}}$), om $G\in {\mathcal {T}}$.
Definition: Ett topologiskt rum är ett par $(X,{\mathcal {T}})$ av en mängd $X$ och en topologi $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ på X. X kallas den underliggande mängden till detta topologiska rum, och $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ kallas en topologi på X.

Konvention: Informellt kallas ofta X självt för ett topologiskt rum, och elementen i X för punkter i detta rum. Detta fungerar bra, så länge som man bara betraktar en viss given topologi på X. Man bör dock komma ihåg att det finns flera olika möjliga topologier på varje mängd som innehåller fler än ett element.

Observationer. Med de vanliga konventionerna för "tomma" unioner och snitt blir villkoren (Ö1) och (Ö2) formellt överflödiga, därför att de blir logiska konsekvenser av (Ö3) repektive (Ö4). Tar jag ut noll (vilket råkar vara ett ändligt antal) mängder, som är element i $\scriptstyle {\mathcal {T}}$, så är "deras" union respektive skärning ju ∅ respektive X.
Å andra sidan kan man, om man tar med villkoret (Ö2), ersätta (Ö4) med det formellt sett litet svagare och i praktiken litet mer lättkontrollerade villkoret

• (Ö4'): $(A,B\in {\mathcal {T}}\Rightarrow A\cap B\in {\mathcal {T}}).$

Om (Ö2) och (Ö4') gäller, och $\scriptstyle {\mathcal {T}}$' ⊆ $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ och är ändlig, så måste nämligen verkligen ∩$\scriptstyle {\mathcal {T}}$' ∈ $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ enligt (Ö2), om |$\scriptstyle {\mathcal {T}}$'| = 0; per definition, om |$\scriptstyle {\mathcal {T}}$'| = 1; och enligt (Ö4') och induktion med avseende på |$\scriptstyle {\mathcal {T}}$'| annars.

Exempel 1: Varje mängd X har en "svagaste" eller "grövsta" topologi $\scriptstyle \{\emptyset ,X\}$, den triviala topologin, och en "starkaste" eller "finaste" topologi $\scriptstyle \{A;A\subseteq X\}$, den diskreta topologin. I den triviala topologin är bara de två delmängder av X öppna, som måste vara det enligt de två första axiomen. I den diskreta topologin är däremot alla delmängder av X öppna.

Exempel 2. Låt $X=\mathbf {Z} +=\{1,2,3,\ldots \}$, och låt $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ bestå av alla delmängder $M\subset X$ som kan skrivas som $M=M_{\{p_{i}\}_{i}}=\{\prod _{i}p_{i}^{a_{i}}:a_{i}\in \mathbb {N} \}$, där $\{p_{i}\}_{i}$ är en (ändlig eller oändlig) uppräkning av primtal. Låt dessutom tomma mängden $\emptyset \in {\mathcal {T}}$. Exempelvis gäller $M_{2,3}=\{1,2,3,4,6,8,9,12,\ldots \}\in {\mathcal {T}}$. Då bildar $(X,{\mathcal {T}})$ ett topologiskt rum.

Exempel 3. Låt $X=]0,1[\subset \mathbf {R}$ och definiera $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ som alla unioner av delintervall till $X$ som saknar randpunkter. $(X,{\mathcal {T}})$ är ett topologiskt rum.

Baser

Exempel 3 förtjänar litet noggrannare analys. I exemplet beskrev vi en sorts "grundläggande" öppna mängder, nämligen de intervall som saknar randpunkter, alltså de som är öppna intervall i vanlig mening. Vi stannade dock inte där, därför att mängden av dessa intervall inte uppfyller alla de fyra axiomen för öppna mängder. Visserligen uppfylls (Ö2), och om vi lägger till tomma mängden, så uppfylls också (Ö1) och (Ö4); det senare, eftersom skärningen av två öppna intervall antingen är ett öppet intervall eller tom. Om a < b < c < d, så är ju exempelvis

${\mathopen {]}}a,c{\mathclose {[}}\cap {\mathopen {]}}b,d{\mathclose {[}}={\mathopen {]}}b,c{\mathclose {[}}{\text{ och }}{\mathopen {]}}a,d{\mathclose {[}}\cap {\mathopen {]}}b,c{\mathclose {[}}={\mathopen {]}}b,c{\mathclose {[}}\;,{\text{ men }}{\mathopen {]}}a,b{\mathclose {[}}\cap {\mathopen {]}}c,d{\mathclose {[}}=\emptyset \,.$

För att få (Ö3) uppfyllt måste vi dock också lägga till även alla unioner av sådana mängder, för att få en topologi. I denna situation säger vi att mängden av öppna delintervall av X utgör en bas för topologin ${\mathcal {T}}$. Helt allmänt har vi:
Definition: En delmängd ${\mathcal {B}}$ av en topologi ${\mathcal {T}}$ är en bas för ${\mathcal {T}}$, om varje element i ${\mathcal {T}}$ är en union av vissa av mängderna i ${\mathcal {B}}$, eller, med andra ord, om följande villkor uppfylls:

• (BÖ) $\ {\mathcal {T}}=\{\cup {\mathcal {B}}';{\mathcal {B}}'\subseteq {\mathcal {B}}\}\,.$

I praktiken var det dock inte så att vi först hade $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ och sedan hittade $\scriptstyle {\mathcal {B}}$, utan precis tvärtom. Därför är den relevanta frågan snarast

Vad krävs av en mängd delmängder av en mängd X, för att (BÖ) skall definiera en topologi på X?

Ett svar ges av nedanstående sats:

Sats 1. Låt X vara en godtycklig mängd, och låt $\scriptstyle {\mathcal {B}}$ vara en mängd av delmängder av X. Då är mängden $\{\cup {\mathcal {B}}';{\mathcal {B}}'\subseteq {\mathcal {B}}\}$ en topologi på X (och alltså ${\mathcal {B}}$ en bas för denna topologi), om och endast om följande villkor uppfylls:

• (B) $\ (\forall {\mathcal {B}}'\subseteq {\mathcal {B}};{\mathopen {|}}{\mathcal {B}}'{\mathclose {|}}<\infty )\;(\exists {\mathcal {B}}''\subseteq {\mathcal {B}};\cap {\mathcal {B}}'=\cup {\mathcal {B}}'')\,.$

"Översättning":

Villkoret (B) är formulerat kort och koncist ovan. För att sådana formuleringar skall vara till nytta behöver man dock kunna läsa ut och tolka vad som står. I det här fallet kan texten utläsas För varje ändlig delmängd $\scriptstyle {\mathcal {B}}$' av $\scriptstyle {\mathcal {B}}$ finns det någon delmängd $\scriptstyle {\mathcal {B}}$'' av $\scriptstyle {\mathcal {B}}$, sådan att skärningen av alla elementen i $\scriptstyle {\mathcal {B}}$' är samma mängd som unionen av alla elementen i $\scriptstyle {\mathcal {B}}$''. Som alltid när man rör sig med logiska kvantifikatorer är det viktigt att inse i vilken ordning kvantifieringarna kommer. Varje skärning av ändligt många element i $\scriptstyle {\mathcal {B}}$ måste alltså på något vis också vara en union av (ändligt eller oändligt) många element ur $\scriptstyle {\mathcal {B}}$; men om man har skärningar av olika uppsättningar element, så måste förmodligen också unionerna tas över olika uppsättningar element.

Bevis: Sätt ${\mathcal {T}}:=\{\cup {\mathcal {B}}';{\mathcal {B}}'\subseteq {\mathcal {B}}\}$. Vår uppgift är att visa att $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ är en topologi om och endast om villkoret (B) är uppfyllt.
Först av allt kan vi se att varje element A ∈ $\scriptstyle {\mathcal {B}}$ också tillhör $\scriptstyle {\mathcal {T}}$, eftersom {A} är en ändlig delmängd av $\scriptstyle {\mathcal {B}}$, och ∪{A} = A. Oavsett av om (B) uppfylls eller ej, och om $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ är eller inte är en topologi, är alltså åtminstone $\scriptstyle {\mathcal {B}}$ en delmängd av $\scriptstyle {\mathcal {T}}$.
Om nu faktiskt $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ är en topologi, så är därför alla element i $\scriptstyle {\mathcal {B}}$ öppna mängder. Är dessutom $\scriptstyle {\mathcal {B}}$' en ändlig delmängd av $\scriptstyle {\mathcal {B}}$, så måste på grund av villkoret (Ö4) också ∩$\scriptstyle {\mathcal {B}}$' vara en öppen mängd, d. v. s. ett element i $\scriptstyle {\mathcal {T}}$. På grund av definitionen av $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ måste detta element vara unionen av en uppsättning element i $\scriptstyle {\mathcal {B}}$. Existensen av en sådan uppsättning är just villkoret (B).
Vi har alltså visat att om $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ är en topologi, så gäller (B). Vi måste nu också visa omvändningen. Vi antar alltså att (B) gäller för $\scriptstyle {\mathcal {B}}$, och visar villkor för villkor att då också (Ö1), (Ö2), (Ö3) och (Ö4') gäller för $\scriptstyle {\mathcal {T}}$.
(Ö1): Tomma mängden ∅ är ju en delmängd av $\scriptstyle {\mathcal {B}}$, och den tomma unionen ∪∅ = ∅. ∅ är alltså ett element i $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ (enligt (BÖ) tillämpad för $\scriptstyle {\mathcal {B}}$' := ∅).
(Ö2): Eftersom ∅ är en ändlig delmängd av $\scriptstyle {\mathcal {B}}$, är X = ∩∅ ∈ $\scriptstyle {\mathcal {T}}$.
(Ö3): En godtycklig union av element ur $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ är ju en union av unioner av element ur $\scriptstyle {\mathcal {B}}$, och alltså själv en union av element ur $\scriptstyle {\mathcal {B}}$.
(Ö4'): Låt M och N vara två godtyckliga element i $\scriptstyle {\mathcal {T}}$. Vår uppgift är att visa att då nödvändigtvis även M∩N ∈ $\scriptstyle {\mathcal {T}}$.
Enligt definitionen av $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ måste det finnas två delmängder $\scriptstyle {\mathcal {B}}$' och $\scriptstyle {\mathcal {B}}$'' av $\scriptstyle {\mathcal {B}}$, sådana att M = ∪$\scriptstyle {\mathcal {B}}$' och N = ∪$\scriptstyle {\mathcal {B}}$''. Enligt de allmänna egenskaperna för mängder är då

$M\cap N=\bigcup \limits _{B'\in {\mathcal {B}}' \atop B''\in {\mathcal {B}}''}B'\cap B'',$

där ju dessutom varje sådan skärning B' ∩ B'' en union av element ur $\scriptstyle {\mathcal {B}}$. Alltså är M ∩ N själv en sådan union, vilket var vad som skulle visas.♦

Observation: Om $\scriptstyle {\mathcal {B}}$ är en bas för topologin $\scriptstyle {\mathcal {T}}$, så är vi garanterade att varje öppen mängd A på något sätt kan skrivas som en union av element ur $\scriptstyle {\mathcal {B}}$. Alla dessa element är ju själva öppna mängder (eftersom $\scriptstyle {\mathcal {B}}$ $\subseteq$ $\scriptstyle {\mathcal {T}}$), och dessutom delmängder av A. Lägger vi till fler baselement som är delmängder av A, så kommer vi aldrig att kunna få en union större än A. Därför har vi följande bekväma lemma:
Lemma: Om (X,$\scriptstyle {\mathcal {T}}$) är ett topologiskt rum, och $\scriptstyle {\mathcal {B}}$ en delmängd av $\scriptstyle {\mathcal {T}}$, så är $\scriptstyle {\mathcal {B}}$ en bas för $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ om och endast om följande implikation gäller:

• (BÖ') $\ A\in {\mathcal {T}}\Rightarrow \cup \{B\in {\mathcal {B}};B\subseteq A\}=A\,.$♦

Ibland kan det vara lättare att visa att en mängd uppfyller ett par litet starkare villkor, än att visa (B) direkt. Följande inses lätt:
Sats 2. Låt X vara en godtycklig mängd, och låt $\scriptstyle {\mathcal {B}}$ vara en mängd av delmängder av X, som uppfyller villkoren

• (B1) $\ A,B\in {\mathcal {B}}\Rightarrow A\cap B\in {\mathcal {B}}\cup \{\emptyset \}$, och

• (B2) $\ X=\cup {\mathcal {B}}\,.$

Då uppfyller $\scriptstyle {\mathcal {B}}$ även (B). Speciellt är alltså mängden $\{\cup {\mathcal {B}}';{\mathcal {B}}'\subseteq {\mathcal {B}}\}$ en topologi på X, och ${\mathcal {B}}$ är en bas för denna topologi.♦
Övning: Genomför beviset formellt!

Observera, att det var just (B1) och (B2) vi verifierade i det inledande exemplet med mängden av öppna intervall i R.

Exempel 4. Låt X = Z (mängden av alla heltal), och låt för varje n ∈ N och varje m ∈ \{0,1,...,2ⁿ-1 delmängden B_n,m definieras av

$B_{n,m}=\{m+k2^{n}:k\in \mathbf {Z} \}$.

Familjen ${\mathcal {B}}$ = {B_n,m}_n,m är en bas för en topologi på Z. Denna topologi kallas den dyadiska topologin på Z.

• Kompakthet samt framför allt Tichonovs sats blir lättare att formulera om man även har "slutna baser" som begrepp. (Ref. S.; R.B..)

Subbaser

Sats 3. Låt X vara en mängd, och $\scriptstyle {\mathcal {H}}$ en mängd av delmängder till X. Då är mängden $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ av unioner av ändliga snitt av element ur $\scriptstyle {\mathcal {H}}$ en topologi. Vidare är $\scriptstyle {\mathcal {H}}$ en delmängd av $\scriptstyle {\mathcal {T}}$, och $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ är skärningen av alla topologier på X, sådana att alla element i $\scriptstyle {\mathcal {H}}$ är öppna. Vidare är då

${\mathcal {B}}:=\{\bigcap {\mathcal {H}}':{\mathcal {H}}'\subseteq {\mathcal {H}}{\text{ och }}{\mathopen {|}}{\mathcal {H}}'{\mathclose {|}}<\infty \}$

en bas för $\scriptstyle {\mathcal {T}}$.

Anmärkning: Det finns två sätt att behandla övergången från $\scriptstyle {\mathcal {H}}$ till $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ på: Dels kan man uppfatta $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ "konstruktivt" eller "nedifrån", och dels kan $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ ses "existentiellt" eller "uppifrån". Man behöver bara använda den ena metoden för beviset. I det här fallet är vilken som av metoderna lätt att använda, och ger ett bevis av "inses lätt"-karaktär. Vi ger ändå bevis enligt båda metoderna denna gång, för att illustrera skillnaden mellan synsätten. De här två synsätten kommer nämligen att återkomma i andra sammanhang i denna bok.

Bevis 1 av sats 3: Observera, att med satsens definitioner av $\scriptstyle {\mathcal {B}}$ och $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ är $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ den mängd som fås ur $\scriptstyle {\mathcal {B}}$ medelst föreskriften (BÖ). För att visa att $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ är en topologi är det därför enligt sats 2 tillräckligt att visa att $\scriptstyle {\mathcal {B}}$ uppfyller (B1) och (B2).

Snittet av två snitt av ändligt många element ur $\scriptstyle {\mathcal {H}}$ vardera är självt ett snitt av ändligt många $\scriptstyle {\mathcal {H}}$-element, vilket visar (B1). Eftersom vidare ∅ ⊆ $\scriptstyle {\mathcal {H}}$, gäller definitionsmässigt X = ∩∅ ∈ $\scriptstyle {\mathcal {B}}$, och alltså gäller a fortiori ("desto starkare", "i än högre grad") (B2).

Vi har därmed visat att $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ är en topologi, och att $\scriptstyle {\mathcal {B}}$ är en bas för denna topologi. Det återstår att visa att varje A ∈ $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ också ligger i varje topologi $\scriptstyle {\mathcal {T}}$' ⊇ $\scriptstyle {\mathcal {H}}$. A är en union av element i $\scriptstyle {\mathcal {B}}$. Varje B ∈ $\scriptstyle {\mathcal {B}}$ är i sin tur en skärning av ändligt många element ur $\scriptstyle {\mathcal {H}}$, som är öppna i (X,$\scriptstyle {\mathcal {T}}$') enligt antagandet, och därför är varje sådant B också öppet däri enligt (Ö4). Alltså är A en union av öppna mängder i (X,$\scriptstyle {\mathcal {T}}$'), och alltså själv öppen däri enligt (Ö3). Vi har därmed visat att varje element i $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ också tillhör topologin $\scriptstyle {\mathcal {T}}$', vilket var vad som behövdes för att fullboda beviset.♦

Bevis 2 av sats 3:

• Inför ovan, och åberopa här, att en skärning av ett godtyckligt antal topologier på en mängd själv är en topologi. Möjligen göres detta först här, där man kan se en tillämpning av denna kanske litet abstrakta sats. 'Inför $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ som skärningen av alla topologier som omfattar $\scriptstyle {\mathcal {H}}$.
  Möjligen brytes argumenten i bevis 1 runt $\scriptstyle {\mathcal {T}}$' ut som ett eget lemma, innan bevisen startar.

Definitioner: Detta $\scriptstyle {\mathcal {H}}$ sägs generera denna topologi $\scriptstyle {\mathcal {T}}$, och $\scriptstyle {\mathcal {H}}$ sägs vara en subbas för $\scriptstyle {\mathcal {T}}$.

Anmärkning: Termen "subbas" (en sammansättning av sub- i betydelsen under samt bas) är ett inarbetat men litet olyckligt namn på detta begrepp, eftersom en subbas normalt inte är en bas; exempelvis "halvbas", "prebas", "pseudobas" eller "generatormängd" hade nog egentligen varit bättre.

Övning. Vilken topologi på X genereras av den tomma mängden?

Några andra grundläggande begrepp

I det här avsnittet inför vi några begrepp, som egentligen är lika grundläggande som begreppet "öppen mängd". Eftersom vi har valt att låta "öppen mängd" vara grundbegreppet i teorin, definierar vi de övriga med hjälp av de öppna mängderna (och allmänna mängdoperationer), och härleder deras grundläggande egenskaper från axiomen (Ö1) till (Ö4). Vi kommer dock att se, att vi lika gärna hade kunnat ta något av de andra begreppen som grundbegrepp, och sedan införa begreppet öppenhet med hjälp av det grundbegrepp vi hade valt. Vi kan i stället till exempel specificera vilka mängder som är slutna. I slutändan får vi ändå samma teori.

Det här har den praktiska konsekvensen att vi inte är bundna till att specificera just vilka mängder som är öppna, när vi vill definiera en topologi på en viss mängd.

De begrepp vi behandlar i avsnittet är följande:
Definition: En delmängd A av X säges vara sluten om dess komplement $\complement A\in {\mathcal {T}}$.
Definition: Höljet eller det slutna höljet till en delmängd A av X är ${\overline {A}}=\cap \{C\subseteq X;A\subseteq C{\text{ och }}\complement C\in {\mathcal {T}}\}$.
Definition: Det inre av en delmängd A av X är $A^{\circ }=\cup \{U\in {\mathcal {T}};U\subseteq A\}$.
Definition: En delmängd A av X är en omgivning till en punkt x ∈ X, om det finns en öppen mängd U ∈ ${\mathcal {T}}$, sådan att $x\in U\subseteq A$.

Slutna mängders egenskaper

Låt $\scriptstyle {\mathcal {S}}$ vara mängden av slutna mängder i X. Då har $\scriptstyle {\mathcal {S}}$ följande egenskaper:

• (S1) $\ X\in {\mathcal {S}}$.

• (S2) $\ \emptyset \in {\mathcal {S}}$.

• (S3)  Varje snitt av mängder ur ${\mathcal {S}}$ är ett element i ${\mathcal {S}}$.

• (S4)  Varje ändlig union av mängder ur ${\mathcal {S}}$ är ett element i ${\mathcal {S}}$,

Bevis: Varje villkor följer direkt från motsvarande villkor för öppna mängder, genom att man använder definitionen av sluten mängd samt egenskaperna för mängdkomplement. (Detta betyder att (S1) följer av (Ö1), (S2) följer av (Ö2), och så vidare.)
Exempelvis följer (S1) ur (Ö1), därför att $\emptyset \in {\mathcal {T}}$ enligt (Ö1), och $X=\complement \emptyset$. Alltså är X komplementet till en öppen mängd, vilket var definitionen på sluten mängd.
På liknande sätt använder man att $\emptyset =\complement X$ för (S2), att komplementet till snittet av ett antal mängder är unionen av dessa mängders komplement för (S3), och att komplementet till en ändlig union av mängder är snittet av dessa mängders komplement för (S4). ♦

Antag nu omvänt att en mängd X och en familj X-delmängder $\scriptstyle {\mathcal {S}}$ som uppfyller (S1), (S2), (S3) och (S4). Då utgör elementen i $\scriptstyle {\mathcal {S}}$ de slutna mängderna i en topologi $\scriptstyle {\mathcal {T}}$' på X. Åsätt nämligen $\scriptstyle {\mathcal {T}}$' genom

${\mathcal {T}}':=\{\complement A:A\in {\mathcal {S}}\}.$

Vi får då att (Ö1), ..., (Ö4) uppfylls för $\scriptstyle {\mathcal {T}}$', med samma slags resonemang som i det nyss avslutade beviset. Eftersom komplementet till komplementet till en mängd är den ursprungliga mängden. ät det vidare klart, att om $\scriptstyle {\mathcal {S}}$ från början definierats som de slutna mängderna i rummet (X,$\scriptstyle {\mathcal {T}}$), så är $\scriptstyle {\mathcal {T}}$' = $\scriptstyle {\mathcal {T}}$; så att vi får en bijektion mellan topologier på X å ena sidan, och mängder av X-delmängder som uppfyller (S1), ..., (S4) å den andra.

Vi skulle därför i princip lika gärna kunna ha valt att se slutenhet i stället för öppenhet som grundbegrepp i topologin, och definierat öppna mängder som komplement till slutna. Att vi valt att arbeta med öppna mängder beror på att i många tillämpningar ger detta litet enklare definitioner och kontroller av egenskaper än alternativet att arbeta med slutna mängder ger.

Det finns dock också åtskilliga tillämpningar, där det går på ett ut huruvida öppenhet eller slutenhet är grundbegrepp; och också viktiga exempel på att slutenhet är det naturligare begreppet.

Exempel från kommutativ algebra:

Ringspektra Låt A vara en kommutativ unitär ring (alltså en kommutativ ring "med etta"), skild från nollringen, och låt X vara mängden av alla primideal i A. På X definierar vi nu Zariskitopologin genom föreskriften att en delmängd V av X är sluten, om det finns en delmängd E ⊆ A, sådan att (ZS) $V=V(E)=\{{\mathfrak {p}}\in X:E\subseteq {\mathfrak {p}}\}.$ Det resulterande topologiska rummet kallas spektrum för ringen A, och betecknas Spec A. För att visa att verkligen vi får en topologi med denna föreskrift kan vi betrakta ${\mathcal {S}}:=\{V(E):E\subseteq A\},$ och visa att $\scriptstyle {\mathcal {S}}$ uppfyller (S1), ..., (S4). (S1), (S2) och (S3) följer omedelbart av $X=V(\{0\}){\text{ respektive }}\emptyset =V(\{1\});$ $\bigcap _{i\in I}V(E_{i})=V\left(\bigcup _{i\in I}E_{i}\right);$ men för att visa (S4) är det till hjälp att först visa två hjälpsatser, som också har intresse i sig själva. Vi formulerar delvis det första lemmat i termer av "slutna mängder", vilket förstås för ögonblicket bara betyder "element i $\scriptstyle {\mathcal {S}}$". Så snart vi har visat att (ZS) verkligen definierar de slutna mängderna i en topologi, ger dock lemmat en ny karakterisering av dessa slutna mängder. Lemma. Om A är en kommutativ unitär ring, E ⊆ A, och ${\mathfrak {a}}$ är idealet genererat av E, så är V(E) = V(${\mathfrak {a}}$). Speciellt är alltså en delmängd av Spec A sluten om och endast om den kan skrivas som V(${\mathfrak {a}}$) för något ideal ${\mathfrak {a}}$. Bevis: Idealet ${\mathfrak {a}}$ genererat av E kan betraktas "nedifrån" som mängden av alla A-linjärkombinationer av ändliga uppsättningar element i E; men ${\mathfrak {a}}$ kan också "betraktas uppifrån" som snittet av alla ideal som omfattar E. Det senare betraktelsesättet visar omedelbart att ${\mathfrak {a}}$ ⊆ ${\mathfrak {p}}$ för varje ${\mathfrak {p}}$ ∈ X med E ⊆ ${\mathfrak {p}}$. Med andra ord är verkligen $V({\mathfrak {a}})\supseteq V(E).$ Den omvända inklusionen följer trivialt av att E ⊆ ${\mathfrak {a}}$.♦ Det andra lemmat kräver följande grundläggande resultat från den kommutativa algebran: Om ${\mathfrak {a}}$, ${\mathfrak {b}}$ och ${\mathfrak {p}}$ är ideal i en kommutativ unitär ring A, sådana att ${\mathfrak {a}}$ ∩ ${\mathfrak {b}}$ ⊆ ${\mathfrak {p}}$ och att ${\mathfrak {p}}$ är primt, så gäller också att ${\mathfrak {a}}$ ⊆ ${\mathfrak {p}}$ eller ${\mathfrak {b}}$ ⊆ ${\mathfrak {p}}$. Härav följer direkt Lemma.Om ${\mathfrak {a}}$ och ${\mathfrak {b}}$ är ideal i en kommutativ unitär ring A, så är $V({\mathfrak {a}})\cup V({\mathfrak {b}})=V({\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}).$ Dessa två lemmata tillsammans ger omedelbart (S4).

Slutna höljens egenskaper

Informellt uttryckt består det slutna höljet ${\overline {A}}$ av en delmängd A ⊆ X av alla punkter i A och alla randpunkter till A. Genom att lägga till randpunkterna "sluter man till" A. Höljet är den minsta slutna delmängden av X som omfattar A.

Formellt sett definierar vi ju det slutna höljet som snittet av alla slutna delmängder av X som har A som delmängd. För varje delmängd A av X är därför också dess (slutna) hölje ${\overline {A}}$ en delmängd av X, och höljena uppfyller dessutom, för alla delmängder A och B av X, att

• (K1) $\ A\subseteq {\overline {A}}$;

• (K2) $\ {\overline {\emptyset }}=\emptyset$;

• (K3) $\ {\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}$; och

• (K4) $\ {\overline {\overline {A}}}\subseteq {\overline {A}}$.

Vidare gäller att

• (KS1) $\ {\overline {A}}\in {\mathcal {S}}\,,$ och att

• (KS2) $\ A\in {\mathcal {S}}\iff A={\overline {A}}\,.$

Bevis: Enligt definitionen är ${\overline {A}}$ snittet av alla X-delmängder som omfattar A som delmängd samt har öppna komplement, d. v. s. är slutna. Med andra ord är ${\overline {A}}=\cap {\mathcal {C}}$, där vi tillfälligt sätter ${\mathcal {C}}=\{C\in {\mathcal {S}};A\subseteq C\}$. Eftersom varje element i A också är ett element i varje $C'\in {\mathcal {C}}$, måste också varje element i A tillhöra $\cap {\mathcal {C}}$, vilket visar (K1). Vidare är ${\mathcal {C}}$ en mängd av slutna mängder, så att dess snitt ${\overline {A}}$ är en sluten mängd enligt (S3), vilket visar (KS1), och också ena implikationen i (KS2), nämligen att $A\in {\mathcal {S}}\Leftarrow A={\overline {A}}\,.$ För att visa även ⇒ räcker det att använda att om A är sluten så gäller ju $\ A\in {\mathcal {C}}$. Därmed är även (KS2) visad.

(K2) följer nu av att ${\overline {\emptyset }}$ är sluten enligt (S2), och alltså lika med sitt eget hölje enligt (KS1). Likaså följer (K4) direkt av (KS1) och av att tillämpa (KS2) på den slutna mängden ${\overline {A}}$. Således återstår det bara att visa (K3).

För att visa mängdlikheten (K3) är det nödvändigt och tillräckligt att visa mängdinklusion i båda riktningarna, alltså att

${\overline {A\cup B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$, och att

${\overline {A\cup B}}\supseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$.

Vi kan börja med att konstatera att både vänsterledet och högerledet i (K3) är slutna mängder, enligt (KS1) och (S4). (K1) tillämpad dels för A och dels för B ger att dessa mängders union är innehållen i unionen av deras höljen, d. v. s. att $A\cup B\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ Alltså är ${\overline {A}}\cup {\overline {B}}$ en av alla de slutna mängderna som omfattar $A\cup B$; och enligt definitionen är dessa slutna mängders skärning just $\ {\overline {A\cup B}}$. Eftersom snittet av en samling mängder är en delmängd av varje mängd i samlingen, följer ⊆, den första mängdinklusionen.

För att slutligen visa ⊇ i (K3), kan vi använda att den slutna mängden ${\overline {A\cup B}}\supseteq A\cup B\supseteq A$, så att ${\overline {A\cup B}}\supseteq {\overline {A}}$, och att på samma sätt

${\overline {A\cup B}}\supseteq B\Rightarrow {\overline {A\cup B}}\supseteq {\overline {B}}\,;$

så att ${\overline {A\cup B}}$ också måste omfatta unionen ${\overline {A}}\cup {\overline {B}}$. ♦

Vi kan ännu formellare se operationen att ta slutna höljen som en funktion från 2^X till 2^X, där funktionsvärdet av A är ${\overline {A}}$. Denna funktion kallas för höljesoperatorn (som hör till den givna topologin på X. Allmännare kallar vi varje funktion från 2^X till 2^X som uppfyller (K1), (K2), (K3) och (K4) en höljesoperator.

• (K1),...,(K4) ==> (Ö1),...,(Ö4). Pattersons namnförslag Kuratowskirum.

Det inres egenskaper

Eftersom komplement till öppna mängder är slutna och vice versa, och komplement till snitt är unioner och vice versa, och $A\subseteq B\iff \complement A\supseteq \complement B$, är också begreppen "hölje" och "det inre" komplementära. Mer precist gäller för varje delmängd A av X att

• (IK) $\ A^{\circ }=\complement ({\overline {\complement A}}){\text{ och }}{\overline {A}}=\complement {\bigl (}(\complement A)^{\circ }{\bigr )}\,.$

Från detta följer snabbt att det inre uppfyller följande lagar, som är "komplementen" till lagarna för höljen:

• (I1) $\ A\supseteq A^{\circ }$;

• (I2) $\ X^{\circ }=X$;

• (I3) $\ (A\cap B)^{\circ }=A^{\circ }\cap B^{\circ }$; och

• (I4) $\ (A^{\circ })^{\circ }\supseteq A^{\circ };$.

samt att

• (IÖ1) $\ A^{\circ }\in {\mathcal {T}}\,,$ och

• (IÖ2) $\ A\in {\mathcal {T}}\iff A=A^{\circ }\,.$

Varje lag följer av motsvarande lag för höljen samt av (IK).

• Omvändningen!

Omgivningars egenskaper

Låt x vara en godtycklig punkt (d. v. s. ett godtyckligt element) i X, och låt A och B beteckna delmängder till X. Då gäller följande:

• (O1) x har minst en omgivning, och tillhör var och en av sina omgivningar.

• (O2) Om A är en omgivning till x och A⊆B, så är också B en omgivning till x.

• (O3) Om både A och B är omgivningar till x, så är också A∩B en omgivning till x.

• (O4) Om A är en omgivning till x och B är mängden av alla punkter som A är en omgivning till, så är också B en omgivning till x.

• Förtydliga och bevisa ekvivalensen

Kontinuerliga avbildningar

En funktion eller avbildning f : (X,$\scriptstyle {\mathcal {T}}$) → (Y,$\scriptstyle {\mathcal {U}}$) mellan två topologiska rum (X,$\scriptstyle {\mathcal {T}}$) och (Y,$\scriptstyle {\mathcal {U}}$) är helt enkelt en funktion mellan de underliggande mängderna X och Y. Funktionen f är kontinuerlig, om f^-1(M) ∈ $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ för varje M ∈ $\scriptstyle {\mathcal {U}}$.
Lemma. Sammansättningar av kontinuerliga avbildningar är kontinuerliga.
En inverterbar avbildning f, sådan att både f och dess invers är kontinuerliga, kallas en homeomorfism eller homeomorfi. Två topologiska rum kallas homeomorfa om det finns en homeomorfism mellan dem.

Tillämpning inom kategoriteori:
Eftersom även identitetsavbildningar är kontinuerliga, bildar klassen av alla topologiska rum en kategori, där morfismerna består av de kontinuerliga avbildningarna. I denna kategori är isomorfierna precis homeomorfierna.

Inducerade topologier och delrum

Definition: Om (X,$\scriptstyle {\mathcal {T}}$) är ett topologiskt rum, och X' är en delmängd av X, så utgör

${\mathcal {T}}'=\{U\cap X':U\in {\mathcal {T}}\}$

en topologi på X', den inducerade topologin. Att $\scriptstyle {\mathcal {T}}$' är en topologi på X' "inses lätt".

Om att "inse något lätt".

'Kommentar: Att något "inses lätt" brukar betyda att detta följer rätt direkt av definitionerna, och att det är rätt lätt att se hur det följer, om man har en mångårig vana att arbeta med detta slags bevis. Om möjligen några läsare inte har denna mångåriga vana, kan det för dessa ta både rätt mycket kraft och rätt mycket tid att "lätt inse" det som påstås. Däremot skall man inte behöva ta till några "finurliga knep" för att få ihop beviset. När en något mindre van läsare träffar på uttryck som "det inses lätt att", "man ser lätt att", "detta är en trivial konsekvens av att" och liknande, så är det ofta nyttigt att stanna upp ett kortare eller längre tag, och verkligen övertyga sig om varför detta "lätta" påstående gäller. Inser man inte detta efter att ha tänkt en stund, kan man försöka skriva ned ett bevis, där man inte hoppar över annat än sådant man själv omedelbart kan argumentera för mentalt. Nedan följer ett explicit och "tämligen" fullständigt bevis för påståendet att detta $\scriptstyle {\mathcal {T}}$' måste vara en topologi på X', som det skulle kunna se ut. För att visa att $\scriptstyle {\mathcal {T}}$' är en topologi på X', behöver vi visa att de fyra villkoren (Ö1),..., (Ö4) uppfylls, om man tillämpar dem för X' och $\scriptstyle {\mathcal {T}}$' i stället för för X och $\scriptstyle {\mathcal {T}}$. För att göra detta kan vi dels använda att (Ö1),..., (Ö4) gäller för X och $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ (eftersom vi har antagit att $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ är en topologi på X), och dels att en delmängd U' ⊆ X' tillhör $\scriptstyle {\mathcal {T}}$' om och endast om det finns någon delmängd U av X, som är öppen i X, och uppfyller att U ∩ X' = U'. För att underlätta överblicken av logiken kan vi tillfälligt skriva villkoren (Ö1),..., (Ö4) som (Ö'1),..., (Ö'4), när de skall tillämpas för (X',$\scriptstyle {\mathcal {T}}$'). Gången blir nu att vi använder (Ö1) för att visa (Ö'1), (Ö2) för att visa (Ö'2), och så vidare. Bevis av (Ö'1): Eftersom $\emptyset =\emptyset \cap X',$ och ∅ ∈ $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ enligt (Ö1), så gäller mycket riktigt också att ∅ ∈ $\scriptstyle {\mathcal {T}}$'. (Sätter man U = ∅, så ser man att ∅ = U ∩ X' för ett U ∈ $\scriptstyle {\mathcal {T}}$, vilket ju precis är det villkor som elementen i $\scriptstyle {\mathcal {T}}$' skall uppfylla.) Bevis av (Ö'2): Eftersom $X'=X\cap X',$ och X ∈ $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ enligt (Ö2), så gäller mycket riktigt också att X' ∈ $\scriptstyle {\mathcal {T}}$'. (Sätter man U = X, så ser man att X' = U ∩ X' för ett U ∈ $\scriptstyle {\mathcal {T}}$, vilket ju precis är det villkor som elementen i $\scriptstyle {\mathcal {T}}$' skall uppfylla.) Bevis av (Ö'3): Låt I vara en godtycklig indexmängd, och låt för varje i ∈ I  Vi vara ett godtyckligt element i $\scriptstyle {\mathcal {T}}$'. Sätt $V=\cup \{V_{i}\}_{i\in I}=\bigcup \limits _{i\in I}V_{i}\,.$ Uppgiften är precis att visa att då även V måste ligga i $\scriptstyle {\mathcal {T}}$', d. v. s. att visa att det finns ett U i $\scriptstyle {\mathcal {T}}$, sådant att V = U ∩ X'. För varje i ∈ I kan vi enligt definitionen av $\scriptstyle {\mathcal {T}}$' hitta (minst) ett Ui i $\scriptstyle {\mathcal {T}}$, sådant att Vi = Ui ∩ X'. Sätt U till ∪{Ui}i∈I vilket tillhör $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ enligt (Ö3). Då är verkligen $V=\bigcup \limits _{i\in I}V_{i}=\bigcup \limits _{i\in I}(U_{i}\cap X')=\left(\bigcup \limits _{i\in I}U_{i}\right)\cap X'=U\cap X',$ varmed även (Ö'3) är visad. Bevis av (Ö'4): Låt V1 och V2 vara två godtyckliga element i $\scriptstyle {\mathcal {T}}$'. Sätt $V=V_{1}\cap V_{2}\,.$ Uppgiften är precis att visa att då även V måste ligga i $\scriptstyle {\mathcal {T}}$', d. v. s. att visa att det finns ett U i $\scriptstyle {\mathcal {T}}$, sådant att V = U ∩ X'. Enligt definitionen av $\scriptstyle {\mathcal {T}}$' finns det ett U1 och ett U2 i $\scriptstyle {\mathcal {T}}$, sådana att V1 = Ui ∩ X' och V2 = U2 ∩ X'. Sätt U = U1 ∪ U2, vilket tillhör $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ enligt (Ö4). Då är verkligen $V=V_{1}\cap V_{2}=(U_{1}\cap X')\cap (U_{2}\cap X')=(U_{1}\cap U_{2})\cap (X'\cap X')=U\cap X',$ varmed slutligen även (Ö'4) är visad. Övning. Observera att detta "tämligen fullständiga bevis" egentligen använder urvalsaxiomet på (minst) ett ställe, dock utan att tydligt åberopa det. Kan du se var? (Ledning: Förekommer det någonstans en familj av godtycklig storlek? Väljer man på något sätt ut någonting för varje index, på en gång?) Kan du komma på något sätt att modifiera beviset på den punkten, så att urvalsaxiomet åtminstone inte behöver användas just där?

Observation: En X'-delmängd M, som är öppen i den inducerade topologin på X', behöver i allmänhet inte alls vara öppen som delmängd av X. Om X'∉  $\scriptstyle {\mathcal {T}}$, så är M = X' självt ett sådant motexempel. Är däremot faktiskt X' öppen som delmängd av X, så inser man lätt att den inducerade topologin på X' faktiskt består av precis de öppna mängder i X, som också råkar vara delmängder av X'. Med andra ord gäller ekvivalensen

$X'\in {\mathcal {T}}\iff {\mathcal {T}}'=\{U\in {\mathcal {T}}:U\subseteq X'\}.$

Övning. Kontrollera i detalj att verkligen implikationerna i båda riktningarna gäller!

Föregående: Inledning

Upp: Topologi

Nästa: Kompakthet