Topologi/Separationsvillkor och Hausdorffrum

Om två olika punkter a och b i ett topologiskt rum (X,$\scriptstyle {\mathcal {T}}$) är med i exakt samma öppna mängder, d. v. s. om

$\{U\in {\mathcal {T}}:a\in U\}=\{U\in {\mathcal {T}}:b\in U\},$

så finns det inte något "topologiskt" sätt att skilja på de två punkterna: Antingen båda eller ingendera ingår exempelvis i en given sluten mängd, eller i höljet av en given mängd, eller i det inre av samma mängd. Det blir därför topologiskt sett rätt ointressant att behandla dessa punkter som "separata", åtskilda.
Å andra sidan kan denna situation aldrig förekomma om exempelvis topologin ges av en metrik på X. Om a och b är två olika punkter i ett metriskt rum, så är ju deras avstånd något positivt tal d; och den öppna bollen med radie 0,5d runt den ena punkten är då en öppen mängd, som innehåller denna punkt men ej den andra.

Av bland annat dessa skäl anses det intressant att studera vilka ytterligare egenskaper man kan härleda om en topologi, om man vet att den uppfyller något separationsvillkor. De vanligaste av dessa brukar benämnas T0, T1 o. s. v., där numreringen är ordnad så, att topologier som uppfyller ett separationsvilkor med ett högre nummer också uppfyller dem med lägre nummer. I den här boken kommer vi att beakta följande sådana villkor.

Definitioner: En topologi $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ på en mängd X sägs uppfylla respektive nedan listat separationsvillkor, om det för varje a ∈ X, varje b ∈ X$\scriptstyle \setminus${a} , varje B ∈ $\scriptstyle {\mathcal {S}}$ med B ∩ {a} = ∅ och varje A ∈ $\scriptstyle {\mathcal {S}}$ med A ∩ B = ∅ gäller att
T0: Det finns en mängd U ∈ $\scriptstyle {\mathcal {T}}$, sådan att U ∩ {a,b} innehåller precis ett element;
T1: Det finns två mängder U,V ∈ $\scriptstyle {\mathcal {T}}$, sådana att U ∩ {a,b} = {a}, men V ∩ {a,b} = {b};
T2: Det finns två disjunkta mängder U,V ∈ $\scriptstyle {\mathcal {T}}$, sådana att U ∩ {a,b} = {a}, men V ∩ {a,b} = {b};

• Följande två villkor får jag granska noggrannare. I T4 torde vi också skola kräva att U och V har disjunkta höljen. Kräver vi något liknande även i T3?

T3: Dels gäller T0, och dels gäller att det finns två disjunkta mängder U,V ∈ $\scriptstyle {\mathcal {T}}$, sådana att a ∈ U och B ⊆ V; respektive.
T4: Dels gäller T1, och dels gäller att det finns två disjunkta mängder U,V ∈ $\scriptstyle {\mathcal {T}}$, sådana att A ⊆ U och B ⊆ V.

• Lägg ev. även in: Separationsaxiom: T3½: T1+(∃ kont. fkn f t. enhetsintervallet med f(a)=0 och f(B)=1).

Lemma. Ett topologiskt rum X uppfyller T1 om och endast om varje delmängd med endast ett element är sluten.
Bevis: Antag först att X uppfyller T1, och att a är ett godtyckligt element i X. Vi behöver då visa att {a} ∈ $\scriptstyle {\mathcal {S}}$, vilket är detsamma som att visa att X $\setminus${a} är öppen. Enligt T1 (och urvalsaxiomet) kan vi för varje b ∈ X $\setminus${a} välja en öppen mängd V_b, sådan att V_b ∩ {a,b} = {b}. Följdaktligen är unionen

$\bigcup \limits _{b\in X\setminus \{a\}}V_{b}=X\setminus \{a\}$

också öppen, vilket var vad som skulle visas.
Antag nu i stället omvänt att varje delmängd av X som innehåller endast ett element är sluten. För två godtyckliga skilda punkter a och b i X uppfyller då de öppna mängderna U := X $\setminus${b} och V := X $\setminus${a} det som krävs i T1.♦

Proposition. För ett givet topologiskt rum X gäller att

$\mathbf {T4} \;\Rightarrow \;\mathbf {T3} \;\Rightarrow \;\mathbf {T2} \;\Rightarrow \;\mathbf {T1} \;\Rightarrow \;\mathbf {T0} \,.$

Bevis: Att T1 ⇒ T0 och T2 ⇒ T1 följer direkt av definitionerna.
T3 ⇒ T2: Antag att T3 gäller för X. Som ett första delresultat skall vi då visa att varje ettpunktsdelmängd av X är sluten. Antag nämligen motsatsen, alltså att det funnes två olika punkter a och b i X, sådana att b låge i det slutna höljet av mängden {a}. Eftersom T3 definitionsmässigt medför T0, funnes också en öppen mängd U', som innehölle precis en av punkterna a och b. Denna enda punkt kunde inte vara b, för då vore {{{1}}} en sluten mängd som innehölle hela {a} men inte b, vilket strede mot att b låge i det slutna höljet. Alltså måste i stället den slutna mängden B innehålla b men inte a. Då funnes emellertid enligt T3 två disjunkta öppna mängder U och V, sådana att a ∈ U och B ⊆ V; och $\scriptstyle \complement V$ vore en sluten mängd som innehölle a men inte b, en motsägelse.
Av detta motsägelsebevis följer alltså att verkligen varje ettpunktsdelmängd av X är sluten. För att nu visa T2 behöver vi visa att för två godtyckliga olika punkter a och b finns två disjunkta öppna mängder U och V med a ∈ U och b ∈ V. Eftersom B := {b} då är en sluten mängd som inte innehåller a, följer existensen av U och V omedelbart från T3 tillämpat för detta a och detta B.
T4 ⇒ T3: Antag att T4 gäller för X. Enligt antagandet gäller T1, vilket ju medför att även T0 gäller. För att visa testen av T3 betraktar vi en godtycklig punkt a, och en godtycklig sluten mängd B som ej innehåller a. Enligt lemmat är {{{1}}}}} en sluten mängd, och den är disjunkt med B. Följaktligen finns enligt T4 två dislunkta öppna mängder U och V, sådana att A ⊆ U och B ⊆ V. Eftersom då också a ∈ U, separerar de två öppna mängderna också A och B på det sätt som krävs i T3.♦

• Fundera på att förenkla beviset av T3 ⇒ T2!

Hausdorffrum

Ett topologiskt rum (X,$\scriptstyle {\mathcal {T}}$) säges vara ett Hausdorffrum om $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ uppfyller T2.

• Uppdatera nedanstående:

Rummet i det första exemplet ovan är ett Hausdorffrum: låt $x,y\in ]0,1[:x\neq y$. Välj $U=]x-\varepsilon ,x+\varepsilon [$, $V=]y-\varepsilon ,y+\varepsilon [$, där $\varepsilon <|x|,|1-x|,|y|,|1-y|,{|x-y| \over 2}$. Samtliga av dessa tal är positiva, så $\varepsilon$ kan väljas som ett positivt tal. $U\cap V=\emptyset$. Rummet i det andra exemplet ovan är inte ett Hausdorffrum; exempelvis existerar inte några separerande öppna mängder till $x=4$ och $y=256$.

Övning. Visa att en topologi uppfyller T1 om och endast om varje ändlig delmängd av rummet är sluten.

Övning. Avgör om Z med den dyadiska topologin är ett hausdorffrum eller inte.

Metriska rum

Metriska rum är både mycket viktiga exempel på topologiska rum, och samtidigt rum med många trevliga egenskaper. Vi kommer bland annat att se att de alltid uppfyller T4, och alltså speciellt är Hausdorffrum.

• Bevisidé: Varje punkt utanför A har ett positivt avstånd till A; speciellt gäller detta punkterna i B. Sätt nu U till unionen över x ∈ A av de öppna bollarna med resp. centrum i x och radie halva avståndet mellan x och B, och definiera V på motsvarande sätt. En punkt p i A ∩ B låge i en sådan boll för något x i A och för något y i B, vilket framtvunge d(x,y) > d(x,p) + d(y,p), en motsägelse mot (D3).

Föregående: Metriska rum

Upp: Topologi

Nästa: Produktrum och Tichonovs sats