Topologi/Produktrum och Tichonovs sats

Tichonovs sats säger kort uttryckt att en godtycklig produkt av kompakta topologiska rum själv är kompakt. Detta är en av de viktigaste satserna inom punktmängdstopologin. Satsens styrka ligger i innebörden av uttrycket "godtycklig produkt". Här betyder "godtycklig" att vi kan ta produkten av en precis hur stor familj som helst av kompakta rum. Familjens indexmängd kan vara ändlig eller oändlig, uppräknelig eller ickeuppräknelig. Vi kan exempelvis låta alla faktorerna i produkten vara små ändliga topologiska rum, men ändå få produkter av mycket stor storlek. "Produkt" betyder här "kartesisk produkt med svagast möjliga topologi som gör alla projektioner kontinuerliga".

För att förstå satsen behöver vi först förklara de begrepp den rör sig med ordentligt. Vi börjar med att införa produktrummen formellt.

Produktrum

Låt I vara en ändlig eller oändlig indexmängd, och antag att vi för varje i ∈ I har ett topologiskt rum (X_i, $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ _i). Vi kan bilda den kartesiska produkten

X:=\prod \limits _{i\in I}X_{i}\,.

Finns det i denna situation ett naturligt sätt att ge X en topologi $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ , som bestäms av familjen ( $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ _i)_I?

Svaret är, att det finns flera tänkbara kandidater till $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ . Det första man tänker på är kanske att låta $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ bestå av alla produkter av öppna delmängder av respektive X_i. Mer precist gäller ju att för varje familj

(U_{i})_{I}\in \prod \limits _{i\in I}{\mathcal {T}}_{i}

är ∏_I U_i en delmängd av X. Mängden av alla sådana delmängder av X utgör visserligen inte själv en topologi på X (annat än i mycket triviala fall), men den är en bas för en topologi. Denna topologi har den trevliga egenskapen att den gör varje projektion

\pi _{i}:X\longrightarrow X_{i}

till en kontinuerlig funktion. Urbilden till en öppen delmängd U_i av X_i är nämligen

\pi _{i}^{-1}(U_{i})=C_{i,U_{i}}:=\prod _{j\in I}M_{j}\,,

där M_i := U_i, men M_j := X_j för varje annat j i I. Men detta är (i allmänhet) inte den enda topologin på den kartesiska produkten med denna egenskap.

För att alla projektionerna skall vara kontinuerliga krävs ju precis att alla "elementära öppna cylindrar" C_{i,U_i} är öppna. Den svagaste topologin som uppfyller detta är den som genereras av mängden av alla elementära öppna cylindrar, alltså av

{\mathcal {C}}:=\bigcup \limits _{i\in I}\{C_{i,U}:U\in {\mathcal {T}}_{i}\}.

Denna topologi kallas den svaga produkttopologin, och är den man oftast använder på den kartesiska produkten av en given familj topologiska rum. Observera dock att $\scriptstyle {\mathcal {C}}$ (oftast) inte är en bas, utan bara en subbas för topologin. Man får som vanligt en bas genom att betrakta alla ändliga snitt av element ur $\scriptstyle {\mathcal {C}}$ , vad vi kan kalla de öppna cylindrarna. Vi låter alltså här en öppen cylinder vara en produktmängd ∏_IM_i, där M_i ∈ $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ _i för varje i ∈ I, och där dessutom, mer precist, M_i = X_i för alla utom ändligt många av dessa i. De öppna mängderna blir de godtyckligt stora unionerna av dessa cylindrar.

Vi kommer i fortsättningen alltid att använda den svaga produkttopologin på kartesiska produkter av topologiska mängder, om inte annat uttryckligen anges:
Definition. Produktrummet av en familj (X_i, $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ _i)_i∈I är det topologiska rum, vars underliggande mängd är den kartesiska produkten ∏_IX_i, och vars topologi genereras av mängden av alla elementära öppna cylindrar C_{i,U_i}, definierade som ovan.

Anmärkning. Vi kan se, att om indexmängden I är ändlig, så är det ingen skillnad på den svaga produkttopologin och den "starka" topologi vi beskrev ovan. För oändliga indexmängder kan däremot skillnaden vara mycket stor, som vi kommer att se av exempel 2 nedan.

Tillämpning inom kategoriteori:

Produktrummet (med den svaga produkttopologin) är, tillsammans med familjen (π_i)_I, också den kategoriteoretiska produkten av dessa topologier, i kategorin av topologiska rum med kontinuerliga funktioner som morfismer. Mer precist löser det det "universella problemet" för topologiska rum Y och familjer (f_i)_I av kontinuerliga avbildningar f_i: Y → X_i. Med andra ord existerar det för varje sådant rum Y och familj (f_i)_I en och endast en kontinuerlig funktion

g:Y\longrightarrow \prod _{I}X_{i}\,,

sådan att funktionssammansättningen π_i∘g = f_i för varje i i I.
Man inser lätt att den enda funktion som har dessa sammansättningar med projektionerna ges av

g(y):=\left(f_{i}(y)\right)_{i\in I}\,;

det enda som egentligen behöver verifieras är att verkligen G är kontinuerlig. För detta är det tillräckligt och nödvändigt att varje element i subbasen $\scriptstyle {\mathcal {C}}$ , alltså varje elementär cylinder C_{i,U_i}, har en öppen urbild med avsende på g. Eftersom g^-1(C_{i,U_i}) = f_i^-1(U_i), följer detta av att varje f_i är kontinuerlig.

Exempel 1: Som topologiskt rum är Rⁿ med topologin given av den euklidiska metriken precis produktrummet av n kopior av R.

Exempel 2: Betrakta "alfabetet" Σ := {0, 1}, ge detta den diskreta topologin, och betrakta produktrummet X = ∏_N Σ av uppräkneligt många kopior av Σ. Elementen i X kan uppfattas som godtyckliga oändliga "strängar" av nollor och ettor. Här är den "starka" topologin vi började med att titta på den starkast möjliga, d. v. s. den diskreta topologin på X. Den (svaga) produkttopologin vi har valt att arbeta med ger däremot betydligt "färre" öppna mängder; och med denna topologi är faktiskt X ett kompakt rum, som vi kommer att se senare i detta kapitel.

Kommentar rörande mängdlära:
Mer precist har X kardinaliteten 2^א₀, och den svaga produkttopologin på X samma kardinalitet. Däremot har den diskreta topologin kardinaliteten 2^{2^א₀}, vilket verkligen är "ett betydligt större (kardinal)tal".

Separationsvillkor i produktrum

Sats. Låt (X_i)_i∈I vara en familj av icketomma topologiska rum. Då uppfyller dess produktrum något av separationsvillkoren T0, T1, T2, (och kanske T3 och T4) om och endast om X_i uppfyller detta separationsvillkor för samtliga i ∈ I.

Bevis: Låt X vara produktrummet. Observera först, att om x = (x_i)_I och y = (y_i)_I är två godtyckliga olika punkter i X, så måste det också finnas ett index i ∈ I, sådant att x_i ≠ y_i. Om nu topologin på X_i uppfyller T0, så finns en öppen delmängd U_i av X_i, sådan att x_i ∈ U_i men y_i ∉ U_i, eller en öppen X_i-delmängd V_i, sådan att y_i ∈ V_i men x_i ∉ V_i. Om X_i uppfyller T1, så finns både U_i och V_i; och om denna topologi uppfyller T2, så kan U_i och V_i väljas så att de dessutom är disjunkta.

Låt nu U = C_{i,U_i} och V = C_{i,V_i} vara motsvarande elementära cylindrar. Då gäller att x ∈ U men y ∉ U om U_i existerar, samt att y ∈ V men x ∉ V om V_i existerar, samt att U och V är disjunkta precis om U_i och V_i är disjunkta. Eftersom x och y var godtyckliga, visar detta verkligen att T0 respektive T1 respektive T2 gäller för X, om respektive villkor gäller för alla X_i.

Lägg till en kommentar om "godtycklighet". Möjligen borde en del kommentarer av sådana slag ändras till länkar till ett nytt "läsa matematisk text"-dokument."
Omvänt, om x och y enl. ovan separeras av en eller två öppna mängder i X, så separeras de också basalt; och en basal mängd innehåller inte en punkt (resp. två baselement är disjunkta) omm motsvarande gäller i någon koordinat.
Undersök om det också är sant för T3 och T4! En hjälp här kan vara att vilketdera av dessa implicerar T1, så att vi redan kan sluta att berörda punkter är slutna.

... .

Observation. Ett produktrum är (som en följd av urvalsaxiomet) tomt om och endast om något av dess faktorrum är tomt. I detta fall uppfylls samtliga ovannämnda separationsvillkor automatiskt i produktrummet.

Tichonovs sats

Vi är nu redo att ta oss an en av de viktigaste satserna i den rent mängdteoretiska topologin, nämligen Tichonovs sats. Den är uppkallad efter den ryska matematikern Nikolai Andrejevitj Tichonov (w:ru:Тихонов,_Андрей_Николаевич). Som vanligt har hans namn transkriberats till det latinska alfabetet på olika sätt, vilket också har lett till att namnet på satsen ser litet olika ut i olika böcker. Den kan exempelvis heta Tikhonovs sats eller Tychanovs sats.

Sats. Låt (X_i, $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ _i)_i∈I vara en familj av icketomma topologiska rum, med produktrummet $X=\prod \limits _{i\in I}X_{i}\,,$ försett med den svaga produkttopologin $\scriptstyle {\mathcal {T}}$ . Då är X kompakt om och endast om X_i är kompakt för alla index i ∈ I.

Kommentarer och exempel. Många enkla tillämpningar av Tichonovs sats kan kännas rätt naturliga, och inte särskilt "djupa". Detta gäller särskilt när indexmängden I är liten, exempelvis för I = {1,2}$, och rummen X<sub>i välbekanta, exempelvis slutna enhetsintervall. Produkten av detta slutna intervall med sig självt, [0,1]×[0,1] = $\prod \limits _{i=1}^{2}[0,1]$ , är den slutna enhetskvadraten, som har hörnen (0,0), (0,1), (1,1) och (1,0). Det slutna enhetsintervallet är kompakt, och satsen säger att således också den slutna enhetskvadraten är kompakt. Detta kan man dock också visa direkt, med ungefär samma metoder som för enhetsintervallet.

Ett kanske mer överraskande exempel är rummet av alla (uppräkneligt) oändliga binära följder, som exempelvis Morseföljden (w:en:Thue–Morse_sequence) 01101001100101101001011001101001011010011.... = (m_i)_i∈N, om m₀ = 0, m₁ = 1, m₂ =&nbsp1;, m₃ = 0, m₄ =1 , m₅ = 0,... . Detta rum kan skrivas som $X=\prod \limits _{i\in {\bf {N}}}X_{i}\,,$ där X_i = {0,1} för varje naturligt tal i kan ges den diskreta topologin, och hela X ges den svaga produkttopologin.

Formulera Tichonovs sats. Ge wp-länk till Tichonov själv, helst på svwp.

Reducera Tichanovs sats till situationen att övertäckningarna är subbasala.

Följ m. e. m. Simmons bevis, men helst formulerade i termer av öppna mängder. Följande äldre önskemål kanske delvis alltjämt tillämpliga:

Ge ett snabbt bevis i fallet med indexmängd {1,2,3,4} (dock med tillräckligt utförlig förklaring av "den springande punkten": Övergången från punktvis till mängdvis övertäckning av en koordinat.

Generalisera till allmännare icke nödvändigtvis övertäckande öppna familjer. Omformulera i omvänd implikationsriktning (Föregånge möjligen närmast ovanstående?)

Specificera situationen: X vare produkten av(X_i)_I; $\scriptstyle {\mathcal {F}}$ = (F_j)_J en öppen familj, ej nödv.-vis övertäckande. "Vild" och "tam" referere blott till detta fixa val..

Föregående: Separationsvillkor och Hausdorffrum

Upp: Topologi

Nästa: Urysohns lemma