När man räknar volymer är det precis som när man räknar med areor viktigt att man använder samma måttenhet på alla mått. Så om en låda är 50 cm hög, 7 dm djup och 1 meter lång måste man välja vilken enhet man vill använda och göra om alla andra enheter till den INNAN man räknar ut volymen.
Används dm3 när man räknar blir svaret i liter. Används cm3 när man räknar blir svaret i ml.
En liter har man bestämt att det är samma sak som en dm3. Därför kan det vara smidigt att använda just dm eftersom svaret då blir i liter. På samma sätt blir svaret i ml om man i stället använder cm när man räknar.
Enheten när man skriver ut volym har en liten upphöjd trea efter sig. Det är eftersom man har tagit enheten för lägnd och multiplicerat tre gånger. Då blir enheten upphöjd i tre. Mer om upphöjt i kan du läsa i potenskapitlet.
För att beräkna volymen av ett rätblock multiplicerar man bottenarean (B i formeln ovan) med höjden (h). Eftersom bottenarean är en rektangel på ett rätblock så kan man också räkna ut volymen genom att multiplicera alla sidorna med varandra (a, b och c).
30. Hos en glasmästare tar de betalt per volym glas man köper. Antag att du ska köpa glas till ett akvarium som har yttermåtten 60 cm x 30 cm x 30 cm. Glaset ska vara 1 cm tjockt.
a) Hur mycket glas går åt?
b) Om måtten är innermått, hur mycket glas går då åt?
Svar
a) 8,5 dm3
b) 9,6 dm3
31. En låda görs av en kartongbit som bilden visar. Kantbitarna är dubbelt så breda som höga. Kartongen är 1 m x 80 cm.
a) Beräkna lådans mått.
b) Beräkna lådans volym.
32. Ett rätblock har förhållandet mellan sina sidor som 2
3:4.
a) om volymen är 192 cm3, vad är då dess mått?
b) om arean är 468 cm2, vad är då dess mått?
Svar
a) 4 cm, 6 cm, 8 cm
b) 6 cm, 9 cm, 12 cm
33. En kub har utskärda hål likt den nedan. Kuben är 4 cm lång på alla sidor och hålet är 2 cm.
a) Beräkna Kubens volym.
b) Beräkna hur stor del av kuben utan utskärda hål som är kvar som ett bråk.
c) Bevisa att det blir samma bråk i c-uppgiften oavsett hur stor kuben är givet att hålet alltid är hälften så stort som hela sidan. (Använd 4x som lägnden på sidan)
34. Ett rätblock är lika högt som brett och dubbelt så långt som brett. Arean är 40 cm2. Beräkna volymen.
Mengers tvättsvamp skapas genom att man delar varje sida i tre delar så att den blir lik en rubiks kub. Sedan tar man bort den mittersta biten på varje sida och den biten i mitten av kuben. Sedan upprepar man detta med varje bit som är kvar så att det blir mindre och mindre bitar kvar.
a) Hur stor del av volymen från den ursprungliga kuben är kvar efter att man upprepat proceduren en gång?
b) Skriv ett uttryck med potens för hur stor del av kuben som är kvar efter man gjort proceduren n gånger. Tänk på att x0=1 och att x1 ska bli svaret på a-uppgiften.
c) Hur stor area har den ursprungliga kuben om den har sidlägnden 1?
d) Hur stor area har kuben efter man gjort proceduren en gång?
För att beräkna volymen av ett prisma multiplicerar man bottenarean (B i formeln ovan) med höjden (h). Denna formel gäller oavsett hur prismat är format så länge som den har samma form hela vägen från botten till toppen. Så ett prisma kan ha hur många sidor som hellst (inte bara tre som i figuren) och formeln fungerar ändå så länge man vet basarean. Samma formel gäller ju i specialfallet med ett rätblock också.
Arean på ett prisma kan man inte ställa upp en färdig formel för eftersom den beror på hur prismat ser ut. Vad man måste göra är att beräkna arean på varje sida och sedan addera alla de areorna.
7. Längs en väg ska ett dike grävas som är V-format. Diket ska vara 1,2 m brett och 80 cm djupt. Vägen är 400 meter lång. Hur mycket jord måste grävas bort?
8. En järnvägsräls ser ut som nedan
a) Beräkna dess genomskärningsarea
b) Beräkna dess volym
9. En verklig räl visas nedan
a) Skissa upp dess genomskärningsarea med "verkliga" mått
b) beräkna dess volym
10. Göta älv är Sveriges största flod med ett medelflöde på 570 m³/s. Om Göta älv på ett ställe är 100 m bred på 60 m av de 100 är den 8 m djup. En ungefärlig skiss av dess genomskärning visas. Hur fort rinner vattnet där? (Antag att vattnet rinner lika fort vid bottnen som vid ytan)
11. Prismat på bilden är 5 cm lång, 4 cm bred och 3 cm hög. I toppen är den hälften så bred som i botten. Beräkna volymen.
Samma formel för att räkna på prismor som gäller oavsett hur basytan är formad gäller faktiskt också även om höjden inte går rakt upp så länge som genomskärningsytan är likadan hela vägen. Jämför med ett paralellogram där man kan räkna med basen gånger höjden trots att parallellogramet inte går rakt upp. Samma sak gäller här.
Man kan också tänka att man skivar prismat i väldigt tunna skivor som man sedan lägger i en rak hög så att man får ett vanligt prisma. Den metoden kallas integration och kommer användas mycket mer i gymnasiets matematik.
För att beräkna volymen av en cylinder multiplicerar man bottenarean (B i formeln ovan) med höjden (h). Eftersom bottenarean är en cirkel på en cylinder så kan man också räkna ut volymen med den andra formeln där B är utbytt mot πr2.
Arean på sidan på en cylinder beräknas genom att man tänker sig att man rullar ut den. Då får man en rektangel med längden 2πr (omkretsen på cylindern) och höjden h.
Vill man ha arean inklusive botten och toppen får man lägga till de areorna som är vanliga cirklar:
16. Vid ett tunnelbygge genom ett berg sprängs ett hål med en diameter på 6 m som är 1,5 km lång. Hur många lastbilslass med sprängsten måste köras bort om varje lastbil kan lasta 20 m3?
Svar
Ungefär 2100 st.
17. Då vattnet i ledningarna på natten blivit ljummet över natten vill man spola ur det på morgonen för att man ska kunna få kallt vatten att dricka. Ledningen till kranen är 20 meter lång och har en diameter på 15 mm. En kran med fullt blås spolar ut en liter på 5 sekunder. Hur länge måste man spola innan det kommer kallt vatten?
Svar
18 sekunder.
I verkligheten tar det längre tid eftersom det rinner långsammare vid kanterna än i mitten av ledningarna.
18. Beräkna volymen på mellanringen i bilden där d1=7,4 mm, d2=14 mm och H=1,6 mm.
Svar
180 mm3
19. I en oljepipline flödar olja med en hastighet av 5 m/s. Röret har en diameter på 60 cm. Hur mycket olja rinner per sekund genom pipelinen?
Svar
1,4 m3
20. Av vilket material tror du en cylinder med måtten ⌀ (diameter) = 25 mm, h = 50 mm är gjord om den väger 66 gram? Kolla på http://sv.wikipedia.org/wiki/Densitet för att se en tabell med några vanliga densiteter.
Svar
Aluminium
21. Beräkna volym och area hos följande figur. Radien på den runda biten är precis halva avståndet till kanten. Tjockleken på biten är samma som radien. Antag att radien är r.
Svar
V =
22. En Honda transalp har två cylindrar med en diameter på 75 mm. Den totala motorvolymen är 583 cc (cubic centimeters = cm³). Hur lång slaglängd har cylindrarna?
Svar
66 mm
23. Beräkna volym och area hos följande figur (antag att radien är r)
Svar
V = 2πr3
A = 6πr2
Både area och volym är oförändrade om understa halvan vrids ett kvarts varv så att formen blir som en vanlig cylinder.
24. Beräkna följande figurs volym
hålet är precis lika stort som innermåtten som är 90 % av yttermåtten. Yttermåtten är en kub med sidan:
a) 4 cm
b) a
Svar
a) 5,1 cm3
b) (0,271-0,06075π)a3 ≈ 0,08a3
25. Om den större och den mindre skivan har samma densitet och den större väger 2 kg, Vad borde då den mindre väga?
Hur mycket rymmer en cylinder som görs av ett kvadratiskt papper som har sidan 20 cm om pappret rullas till ett rör?
En cylinder ska göras av ett A4-papper med måtten 20 cm x 30 cm genom att två delar klipps ut till topp och botten och en del rullas till sidan på cylindern. Sedan tejpas allt ihop. Vad är den maximala volymen man kan få?
Hur mycket skiljer volymen på ett rör som görs av ett papper som rullas på längden jämfört med om det rullas på bredden om det görs av ett papper med måtten
7. En elefantpall är formad som bilden visar. R = 5 dm, r = 3 dm, h = 3 dm.
a) Beräkna pallens sidoarea.
b) Beräkna pallens volym.
8. En trafikkon är 50 cm hög och har bottendiametern 20 cm. Innerdiametern är 18 cm och väggarna är lika tjocka hela vägen. Beräkna vad den väger. Den är gjord av gummi som har en densitet på ca 1 g/cm3.
9. Om man ska fylla en kon till hälften, hur högt i den ska man då fylla?
10. En bubbelpool är formad som en uppochnedvänd kon som är avkapad. Badkarets radie är 60 cm vid bottnen och 80 cm längst upp. Badkaret är 40 cm djupt. Beräkna hur många liter badkaret rymmer.
11. Beräkna figurernas volym (Bilderna är ifrån ett tyskt uppslagsverk från 1800-talet)
a)
b)
12. Beräkna volym och area hos följande figur
13. Ett prisma är format som bilden visar. Beräkna volymen. (a = 5 cm, b = 3 cm, c = 3 cm, v = 5 cm)
5. En burk är cylinderformad och har höjden och bredden 10 cm.
a) Beräkna burkens volym.
I den burken läggs ett klot som är lika brett och högt som burken så att klotet precis får plats.
b) Beräkna klotets volym.
c) Hur många procent av burkens volym är fyllt av klotet.
Svar
a) 790 cm3
b) 520 cm3
66 %
6. Vilken av följande himlakroppar har högst medeldensitet
Namn
Radie
Massa
Jorden
637 mil
6,0 · 1024 kg
Månen
174 mil
7,3 · 1022 kg
Solen
69600 mil
2,0 · 1030 kg
Svar
Jorden
Jorden: 5500 kg/m3
Månen: 3300 kg/m3
Solen: 1400 kg/m3
7. Hur mycket kan en varmluftsballong lyfta som har diametern 28 m. Densiteten på den varma luften i ballongen är 0,9 kg/m³ och densiteten på luften utanför är 1,2 kg/m³.
Svar
3,4 ton
8. I ett hagelskott används 32 gram bly som är formade som små kulor med diamtern 3 mm. Hur många kulor är det i varje skott? (Bly har en densitet på 11,34 g/cm³)
Svar
200 st
9. Vad väger en glaskula med diametern 1 cm? Glas har en densitet på 2,5 g/cm³.
Svar
1,3 gram
10. Vilken radie har ett klot som har volymen 33,5 cm³?
11. En varmluftsballong är klotformad. Om den behöver kunna lyfta 800 kg, vilken diameter måste den då ha? Kall luft har en densitet på 1,2 kg/m³. Varm luft har en densitet på ca 0,9 kg/m³.
Svar
9 meter
8,6 m plus lite marginal. 9 meter ger en lyftkraft på ca 900 kg
12. En cylinder omsluter exakt ett klot. Hur stor del av cylinderns volym upptas av klotet? Beräkna exakt.
Svar
2/3
13. Hur mycket större är ett havlklot än en kon om de har samma radie och konens höjd också är samma.
Svar
Dubbelt
14. Vad har störst volym, ett klot eller den form som blir där tre cylindrar genomskär varandra?
Svar
Den form som blir där tre cylindrar genomskär varandra.
15. Beräkna volymen av den kub där ett åttondels klot har skurits ut som visas på bilden.
Svar
16. På ett glasblåseri säljer de glas som är formade som ett halvklot som rymmer ca 20 cl. Nu vill de göra glas formade som koner med samma radie och som rymmer lika mycket. Hur höga bör de glasen vara?
Svar
4,4 cm
17. I ett hagelskott ska användas 32 gram bly som ska formas till 200 små kulor. Hur stora ska kulorna vara? (Bly har en densitet på 11,34 g/cm³)
Några olika packningssätt ger för oändligt stora lådor packningsgrader på (bäst), , och .
Detta är viktigt när man studerar kristaller. När man studerar hur mycket grus eller malm man kan packa i en lastbil används slumpmässig packning som brukar bli ca 64% men att räkna med det är mycket mer komplicerat.
19. Hur många gånger större är ett klots hela area än dess genomskärningsarea?
Svar
Fyra gånger större.
20. Hur hög ska en låda som precis rymmer ett klot vara för att ha samma volym som klotet? Klotet kommer alltså inte få plats på höjden i lådan.
Svar
πr/3
21. Beräkna volymen av en apelsinklyfta. (Kanske bättre som disskussionsuppgift?)
Svar
(4πr3/3)⋅(v/360)
22. Beräkna volym och area på följande lilla kula
Svar
V ≈ 0,11 cm3
A ≈ 1,1 cm2
23. Kulorna i bilden är 1, 2, 5, 10 och 20 mm i diameter. Hur många av de olika små måste man smälta ihop för att få tillräckligt för att göra en stor?
Svar
10 mm
8 st
5 mm
64 st
2 mm
1000 st
1 mm
8000 st
24. Kulan på bilden är 60 mm i diameter. Vad borde kräva mest putsmedel, att putsa den eller att putsa ena sidan på en 10 cm x 10 cm stor kvadrat av samma material?
Svar
Kulan kräver mest.
Kulans area: 110 cm2
Kvadratens area: 100 cm2
En julgranskula är 5 cm i diameter. Den är gjord av 4 cm3 plast. Hur tjocka är kulans väggar? Prova dig fram eller använd tredjeroten om du kan.