Matematik för årskurs 7-9/Funktioner och grafer/Funktioner

Introduktion...

Om funktioner

Inom matematiken är en funktion som en hemlig låda som man kan stoppa in ett tal i ena änden och få ut något i andra änden. Om man stoppar in samma sak två gånger måste funktionen också båda gångerna ge samma sak ut.

En funktion som adderar 4 till vad man än stoppar in kan man rita så här:

2 → → 6

1 → → 5

0 → → 4

Här är en funktion som dubblar alla tal:

3 → → 6

9 → → 18

0 → → 0

Denna funktionen dubblar först och adderar sedan ett:

2 → → 5

1 → → 3

4 → → 9

Sist en funktion som get ettor om man stoppar in ett udda tal och nollor om man stoppar in ett jämnt tal:

2 →

→ 0

1 →

→ 1

4 →

→ 0

Detta sätt att måla hemliga lådor blir snart ganska krångligt så man brukar istället skriva på något av dessa sätten:

Vilken hemliga låda	Sätt 1	Sätt 2
	f(x) = x + 4	y = x + 4
	f(x) = 2x	y = 2x
	f(x) = 2x + 1	y = 2x + 1
	f(x) = jämnt: 0, udda: 1	y = jämnt: 0, udda: 1

I sätt 1 står f'et för funktion och (x) står för att det är x som man stoppar in i funktionen. Sedan står det ett uttryck och om man då byter ut alla x där mot det man stoppar in blir uttrycket det som man får ut. Man kan lika gärna skriva vad som hellst mellan parenteserna i f(x), till exempel brukar man använda ett t om man håller på och räknar med tider. Då skriver man f(t) istället och i uttrycket ska det då stå t i stället för x. Detta sättet är bra om man har många funktioner eftersom man då kan kalla dem för f₁(x), f₂(x), f₃(x) och så vidare eller f(x), g(x), h(x) och så vidare.

I sätt 2 är y'et det man får ut och x'et det man stoppar in. Detta sätt är bra när man ska rita grafer eftersom man brukar kalla en axel för just y-axeln och en för x-axeln. Om funktionen då har x och y i sig blir det enklare att veta vilken som hör till vilken. om man har många funktioner kan man skriva dem y₁, y₂, y₃ och så vidare.

I mer avancerad matematik när man ibland stoppar in många saker på en gång brukar man använda det första sättet medan man i enklare matematik där man bara stoppar in en sak i taget ofta använder det andra sättet.

Övningsuppgifter

Uppgifter visa • diskussion • redigera
Grund-nivå E-nivå C-nivå A-nivå Fördjupning Ej nivåsatt 1. Försök klura ut vad det är för funktioner som är under de olika lådorna: a) 2 → → 6 3 → → 9 1 → → 3 b) 7 → → 10 1 → → 4 5 → → 8 c) 2 → → 2 4 → → 6 5 → → 8 d) 4 → → 6 2 → → 8 7 → → 3 2. Vad för utvärde har funktionen f(x) = 3x - 1 om: a) x = 2 b) x = 7 c) x = 0 3. Beräkna funktionen nedans värde för de olika x-värdena. $f(x)=x\cdot {x+1 \over x-1}$ a) 0 b) 2 c) -1 d) 1 4. Beräkna funktionen nedans värde för de olika x-värdena. $f(x)=(x+1)\cdot {x-1 \over x-2}$ a) 0 b) 1 c) -1 d) -2 5. Beräkna funktionen nedans värde för de olika x-värdena. $f(x)=x\cdot {x-1 \over {\sqrt {x+1}}}$ a) 0 b) 3 6. Vad måste man ha haft som x-värde i funktionen f(x) = 10 - 2x om: a) f(x) = 2 b) f(x) = 8 c) f(x) = 1 7. Vad är sant: a) En funktion kan ha samma värde för två olika x-värden. b) En funktion kan ha olika värden för alla olika x-värden. c) En funktion kan ha olika värden för samma x-värde. d) Två funktioner kan ha samma värde för olika x-värden. 8. Här följer några funktioner: f₁(x) = 2x f₂(x) = x² f₃(x) = x + 2 f₄(x) = 2 Vilken kan det vara om vi vet att f(0) = 0 och f(1) = 2? 9. Hitta på en funktion som uppfyller följande villkor: a) f(0) = 0 och f(2) = 1 b) f(1) = 0, f(2) = 1 och f(3) = 3

Läsa av diagram

Fler diagram att använda (fast många borde till statistikkapitlet):

Övningsuppgifter

Uppgifter visa • diskussion • redigera
Grund-nivå E-nivå C-nivå A-nivå Fördjupning Ej nivåsatt 1. Googla efter `5x-x^2`. a) Med vilket x-värde är funktionen störst? b) Vid vilka värden är funktionen lika med noll? 2. Googla efter `sin(x)`. a) Vad är sin(0)? b) Vad tror du denna funktionen kan användas till? 3. Googla efter `sqrt(x)`. sqrt är en förkortning för square root som är den vanliga roten ur. a) Vad är roten ur 4? b) Vad är roten ur 2? c) Varför finns den bara för positiva x-värden? Prova att googla efter `sqrt(4)`, `sqrt(2)` eller `sqrt(-4)`. 4. Skriv in `5x-x^2` i Wolfram alpha. a) När är funktionen lika med noll (Står under Roots)? b) När är funktionen som störst och hur stor är den då (Står under Global maximum)? 5. Grafen visar hur mycket elektroner en kondensator innehåller (laddningen) beroende på den elektriska spänningen över den. En kondensator är en elektrisk komponent som man kan ladda upp precis som ett uppladdningsbart batteri. a) Är förhållandet proportionellt? b) Vid vilken spänning är laddningen 3 nanocolumb? c) Hur mycket laddning är det om spänningen är 10 volt? 6. Grafen visar hur mycket kol-14 som finns i atmosfären vid olika tidpunkter. (flytta till statistikkapitlet) a) Ungefär när fanns det som mest? b) Varför fanns det så mycket just då? (Kol-14 bildas av radioaktivitet) 7. Grafen visar antalet invånare i den tyska staden Dresden. a) När bodde det som mest människor i Dresden? b) Kan man på grafen se när andra världskriget ägde rum? c) Vid industrialiseringen flyttade väldigt många människor in i städer. När skedde industrialiseringen i Dresden? d) Hur många bor det i Dersden nu? 8. Grafen visar antalet invånare i den tyska staden Duisburg. a) Hur många bodde i Duisburg på 1930-talet? b) Flyttar det just nu mer människor in i eller ut från Duisburg? c) Vid industrialiseringen flyttade väldigt många människor in i städer. När skedde industrialiseringen i Duisburg? d) När var första gången det bodde mer än en halv miljon människor i Duisburg? 9. Denna graf visar hur vattens densitet (y-axeln) beror på temperaturen (x-axeln). a) Vid vilken temperatur har vatten som högst densitet? b) Vid vilka temperaturer har vatten densiteten 0,99990 Mg m^-3? (Mg m^-3 = ton/m³) c) Vilken densitet har vatten vid 10°C?

Rita diagram

Övningsuppgifter

Uppgifter visa • diskussion • redigera
Grund-nivå E-nivå C-nivå A-nivå Fördjupning Ej nivåsatt Lägg gärna till uppgifter här om du inte vet vilken nivå du ska lägga i dem i!

Rita diagram med dator

Övningsuppgifter

Uppgifter visa • diskussion • redigera
Grund-nivå E-nivå C-nivå A-nivå Fördjupning Ej nivåsatt Lägg gärna till uppgifter här om du inte vet vilken nivå du ska lägga i dem i! 1. Mata in följande funktioner i Google: (länk: www.google.se) a) y=2x+3 eller f(x)=2x+3 eller 2x+3 b) 1/x c) 400+1.6x d) x+3, 2x-1 e) x^2+y f) (sqrt(cos(x))cos(200 x)+sqrt(abs(x))-0.7)(4-x*x)^0.01, sqrt(9-x^2), -sqrt(9-x^2) from -4.5 to 4.5 Tips: mer om hur du kan använda Google här: Matematik för årskurs 7-9/Resurser#Google 2. Mata in följande funktioner i Wolfram alpha: (länk: www.wolframalpha.com) a) y=2x+3 eller 2x+3 b) 1/x c) 400+1.6x d) x+3, 2x-1 e) x^2+y Tips: mer om hur du kan använda Wolfram alpha här: Matematik för årskurs 7-9/Resurser#Wolfram alpha 3. Något med Calc/Excel eller dylikt...

Länkar

Wikipedia:

Funktion