Matematik/Wikibooks Matematik/Algebra/Exponenter

Potenser

Potensregler
$a^{n}=a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a$	n stycken a
$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$
$(a^{m})^{n}=a^{mn}$
$a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}$
${\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}$
$\left({\frac {a}{b}}\right)^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}}$	$b\neq 0$
$(ab)^{m}=a^{m}\cdot b^{m}$
$a=a^{1}$
$a^{0}=1$	$a\neq 0$
$1^{n}=1$
$a^{-1}={\frac {1}{a}}$ eftersom $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$	$a\neq 0$
$a^{1/2}={\sqrt {a}}$
$a^{m/n}=(a^{m})^{1/n}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$	$n>0$
För att lösa ut exponenten n i uttrycket $a^{n}=b$
en av logaritmlagarna	log an = n log a
ta logaritmen på bägge sidor om =	log an = log b
skriv om enligt logaritmlagen	n log a = log b
lös ut n	n = log b / log a

Om vi låter n vara ett positivt heltal, gäller följande:

1. $a^{n}=a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a$ (n kopior av a) betyder att a ska multipliceras med sig själv n gånger. Hela uttrycket kallas för en potens med a som bas och n som exponent. Uttrycket kallas ibland för den n:te potensen av a. Om a är ett negativt tal ("ett minustal") så blir summan positiv om potensen är ett jämt tal, negativ om den är udda.
   

Varning: Eftersom gånger räknas före minus, om man inte sätter ut parenteser, så måste man omge ett utskrivet negativt tal med parenteser innan man tar potenser av det. Om exempelvis a = -3, så är

$a^{2}=(-3)^{2}=(-3)\cdot (-3)=9$,

eftersom man tar hela -3 upphöjt till 2, och eftersom minus gånger minus till 2. Däremot är

$-3^{2}=-(3\cdot 3)=-9$,

enligt grundregeln "gånger går före minus".

1. Om a > 0, så är $a^{1/n}={\sqrt[{n}]{a}}$, dvs det positiva tal som multiplicerat med sig själv n gånger blir talet a. Rötter kan med andra ord skrivas som potenser.
   

Om dessutom n är ett udda tal, så kan man också låta a vara negativt. I det fallet är också a^1/n negativt.

1. $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$, dvs det tal tal man får om man dividerar med a n gånger.

Man får passa sig lite för talet 0 när man räknar med potenser. För alla positiva heltal n gäller $0^{n}=o^{1/n}=0$ och $n^{0}=1$; däremot är inte $0^{0}$ definierat, dvs det är förbjudet precis som ${\frac {n}{0}}$.

Övningar

1. Beräkna $4^{-2}-2^{4}$
2. Beräkna $(9^{1/2})^{3}$
3. Beräkna $-2^{3}+(-2)^{4}$
4. Ränta på ränta är en funktion som ökar exponentiellt. Om du sätter in 1000kr på en bank med årsränta på 6% hur många år tar det innan du är uppe i 5000kr?
   Tips: slutsumman = insatt belopp $\cdot$ (1+räntan)^år

Lösningar