Matematik/Roliga matematiska samband

Denna bok är bara påbörjad och saknar fortfarande mycket. Det är öppet för vem som helst att bidra till denna bok, liksom alla andra böcker. Om du märker att något saknas eller är felaktigt, tveka inte att lägga till eller redigera. Du kan träna lite i sandlådan innan du gör mer avancerade ändringar.

0.9999... = 1

Tro det eller ej men talet 0.999.. med ett oändligt antal decimaler är faktiskt lika med 1 och det är lätt att bevisa.

Multiplicera med 10

0.9999... x 10 = 9.999....

Ta bort 1/10 av produkten

9.999... - 0.9999... = 9

Nu är det bara multiplicerat med 9 och vi delar med 9 och får 1

9 / 9 = 1

Ett alternativt bevis ges av observationen

$0.99\ldots =\sum _{k=1}^{\infty }9\cdot 10^{-k}$, vilket är en geometrisk serie med värde $1$.

Ett annat ges genom att inse att ett tal n dividerat med nior av samma antal som siffrorna i talet n, alltid ger en nolla följt av ett decimaltecken och en upprepning av talet n. Ett exempel skulle alltså vara 4556/9999 som ger 0,45564556... Vi vet även att ett tal dividerat med sig självt är lika med ett. Hur kan vi använda oss utav detta? Jo, vi väljer istället talet nio, som ju enligt det första sambandet tycks ge 0,9999... men enligt det lika giltiga andra sambandet även 1.

Vi kan därmed konstatera att talet 0,99999... = 1

1 = -1

$1={\sqrt {1}}={\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}={\sqrt {-1}}^{2}=-1$

Den tredje likheten är inte sann; ${\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}{\sqrt {b}}$ bara om både a och b är positiva tal. Men paradoxen stämmer ändå på grund av att ${\sqrt {-1}}=i,i^{2}=-1$

Men kvadratroten är inte definierad för negativa tal. Så det stämmer ändå inte.

Omvandla oändliga decimaltal till bråk

Om man har ett decimaltal som upprepar sig, t.ex. 0,123123123123... så kan man omvandla det till ett bråk.

Multiplicera med 1000. ${\frac {123,123123123123...}{1000}}$ (bort med decimalerna så är det ett bråktal)

Ta bort en 1000-del. ${\frac {123,123123123123...-0,123123123123...}{999}}$ = ${\frac {123}{999}}$ Går att förkorta med 3. ${\frac {123/3}{999/3}}$ = ${\frac {41}{333}}$

Ett enklare tal, 0,3333333....

Multiplicera med 10. ${\frac {3,3333333...}{10}}$

Ta bort en 10-del. ${\frac {3,3333333...-0,3333333...}{9}}$ = ${\frac {3}{9}}={\frac {1}{3}}$

Ett till tal, 0,428571428571....

Multiplicera med 1000000. ${\frac {428571,428571...}{1000000}}$

Ta bort en 1000000-del. ${\frac {428571,428571...-0,428571428571...}{999999}}$ = ${\frac {428571}{999999}}$ Går att förkorta med 142857. ${\frac {428571/142857}{999999/142857}}$ = ${\frac {3}{7}}$

Några roliga multiplikationsexempel

11x11 = 121

111x111 = 12321

1111x1111 = 1234321

11111x11111 = 123454321