Matematik/Överslagsräkning/Lärarhandledning

Lärarhandledning för grundskolkurs i överslagsräkning

Det som följer är förslag till lektionsplaner för en tolvlektioners valbar kurs i grundskolan.

Lektion 1-2: Inledning

Lektionen klargör vad överslagsräkning är, visar på hur överslagsräknande relaterar till övriga avsnitt i kursen och att förklarar vilken central roll överslagsräkning har i allt vetenskapligt tänkande.

Läraren: Hela naturvetenskapskursen handlar om att ta reda på saker på egen hand. Ibland är det lätt att ta reda på saker: Det står i någon lärobok, man frågar sin kompis, man frågar läraren, man slår upp i Wikipedia. Ibland får man tänka och fundera själv. Ibland får man tänka och fundera riktigt mycket. Det är vad ni ska lära er i det här kursavsnittet. Ibland får man forska. Då lägger man ner mycket tid. Man ska först bestämma exakt vad man ska ta reda på. Sen ska man planera hur man ska göra och hur man ska fördela arbetet i gruppen.

Läraren frågar och fångar upp olika svar från eleverna:

Hur många elever finns det i det här huset?

Hur många människor finns det i skolbussen?

Hur många sittplatser finns det i mediateket?

Hur många böcker finns det i biblioteket?

Hur många potatisar äter invånarna i er kommun under ett år?

Läraren tar fasta på att en del svar ges med stor noggrannhet, andra avrundat, att det blir diskussion och oenighet både om detaljer och om storleksordning och att det även kommer svar som ”Det vet jag inte”. Läraren bejakar de svar som ges och visar på att mycket av den oenighet som finns rör detaljer. Man kan genomföra strukturerat överslagsräknande på några av frågorna redan nu eller lämna det till senare med kommentaren att de svar som getts verkar ganska rimliga. Läraren sammanfattar några principer: att man drar sig till minnes hur det brukar se ut, fyller i med gissningar om medelvärden, gör uppdelningar och använder multiplikation. Att man förenklar multiplikationerna genom att avrunda grovt.

Läraren: Några menar: ”Det kan man inte veta”. Vad menar ni när ni säger att man inte kan veta? Ni menar nog att man inte kan veta det exakta svaret. Det stämmer att man inte kan veta det exakt, men - var det egentligen någon som frågade efter det exakta antalet. När man frågar ”hur många” då menar man ofta ”ungefär hur många”. Och när några svarar ”30 elever i skolbussen”, då menar de knappast att de är säkra på att det inte är 29 eller 32. Det är så självklart att man inte behöver säga ”ungefär” hela tiden. Ingen kan säga att man ljuger om man säger 30 och det visar sig vara 32. Däremot kan det vara tvärtom: Om någon säger 32, då låter det som om den personen var mycket insatt och säker på sin sak, så om det sen visar sig att det var 30, då kan någon anse att 32 var fel. Det är skillnad mellan nolla på slutet och andra siffror. Nollor antyder ofta att detaljerna är osäkra.

I den här kursen kommer vi nästan aldrig att räkna precis. Vi räknar grovt. Det kallas överslagsräkning. Så räknar forskare ofta. Annars skulle de inte få reda på något nytt. De skulle bara gå omkring och säga ”Jag vet inte, det kan man inte veta”. Att räkna grovt betyder inte att man räknar slarvigt. Man måste hela tiden se till att det inte blir för grovt, att svaret inte blir meningslöst.

Gruppuppgift: Hur många barr finns det på ett av de där träden ni ser utanför fönstret? (Som ett undantagsfall visar läraren upp något konkret att utgå ifrån, en barrträdskvist, så att eleverna kan komma fram och undersöka den om de tycker det är svårt att direkt uppskatta antalet barr på varje ”minikvist”. Varje grupp har ett kladdpapper.)

Presentation: Alla grupper skriver upp sina resultat på tavlan både på vanligt sätt och i grundpotensform. Efter en diskussion förstår eleverna att resultaten inte är så olika som det först kan verka. Många ligger i ungefär samma storleksordning.

Läraren: Om detaljerna är olika är det inte så underligt. Träden är ju olika och ingen har sagt precis vilket träd det gällde. Och ytterligare lite fel får vi räkna med att det är i allas räkningar och uppskattningar. Så när man presenterar sitt resultat ska man kanske inte påstå att det är sju miljoner barr på ett träd. Man kan nöja sig med att säga: ”miljoner, kanske tio miljoner”. Vi har räknat grovt men samtidigt visat att vi är säkra på att det inte är hundra eller tusen eller tiotusen, och inte heller miljarder. Så vi vet! Det är bara detaljerna vi inte vet. Och inte bekymrar vi oss om dem heller.

En del elever har kanske tagit fram sina telefoner och gjort multiplikationerna med dem, och kanske presenterat resultaten med flera gällande siffrors noggrannhet. Det ger läraren anledning att visa för klassen hur man kan göra multiplikationsöverslag utan räknare: 8 kan approximeras med 10, produkten 3 gånger 3 likaså, sexor kan tas som femmor och multipliceras ihop med tvåor. Eleverna kanske är misstrogna mot sådant ”fuskräknande”. Läraren kan då jämföra med något svar någon elev räknat fram med telefon. Ligger de nära varandra visar det att överslagsräknandet fungerade. Ligger de långt från varandra säger läraren att hen tror mer på överslagsräkningen. Eleven räknar om på sin telefon och märker att det blev fel första gången (och kanske andra gången också). Eleverna upptäcker nu att det lätt blir fel med telefon, och också att telefonen har problem med att hantera stora tal.

Om det blir tid över:

- Läraren visar en tidning och berätta att mycket i den är fel. Att det kan vara viktigt att läsa tidningar, men att man inte ska tro på allt. I många skolämnen får man lära sig hur samhället fungerar, att vara kritisk och på sin vakt hur språk och bilder används till att förleda, att det görs reklam för sådant som är onyttigt. Och förutom direkt lögn och propaganda finns det slarv och misstag - skribenter som inte kan skillnaden mellan biljon och det engelska ”billion”. Läraren berättar att kursen kommer att behandla hur man kan kontrollera om de taluppgifter som presenteras kan vara rimliga. Eleverna får bläddra igenom tidningen och söka efter stora tal. De får fundera lite på om man redan nu kan hitta på något sätt att kontrollera om de stämmer eller inte. Några andra övningar som kan vara lämpliga i detta introduktionsskede:

- Eleverna får komma med förslag på andra frågor som man kan besvara med räkning.

- Hur många maskor finns det i en tröja? Följdfråga: Hur lång tid tar det att sticka så många maskor?

Hemuppgift 1: Skriv ner uträkningen av antalet barr som ni gjorde. Ni har bara ett kladdpapper som ni gjort uträkningen på, så alla i gruppen kan inte ta det med sig hem, utan ni får gärna hitta på andra siffror om ni glömt. Huvudsaken att alla gör en uträkning med ett resultat.

Hemuppgift 2 (extrauppgift): Ta med ett tidningsklipp som visar något stort tal som vi skulle kunna försöka kontrollera.

Lektion 3-4: Några allmänna principer

Lektionen bygger på erfarenheterna från förra lektionens överslag och formulerar allmänna principer för överslagsräknande. I huvudsak håller man sig fortfarande till antalsräknande, men viss förberedelse för nästa lektion som behandlar längd, tid och volym görs.

Eleverna får kort berätta hur de gjorde förra lektionen då de uppskattade antalet böcker i biblioteket. Eleverna får läsa upp de överslagsredogörelser som de hade som läxa att formulera. Kommentarer fångas upp och gruppernas metoder jämförs. Läraren sammanfattar några genomgående principer och eleverna skriver ner dem. Några av dem utvecklas med konkreta exempel:

Räka grovt och avrunda. 834 ≈ 800 är ibland lämpligt, 834 ≈ 1000 är bättre ibland. Ni avgör själv. Det ska gå snabbt att räkna, inte vara onödigt precis, men inte heller alltför onoggrant.

Visualisera. Använd din fantasi och försök se sakerna framför din inre blick. Dela upp problemet i små bitar, visualisera varje bit och uppskatta hur många bitar det är. Uppskatta medelvärdet i varje bit - precis så som du gjorde när du funderade på barren i trädet.

Multiplicera sådant som är ungefär lika. Man avrundar så att man kan räkna i huvudet. Man håller gärna reda på om räkningen avrundningen blir i drygaste laget eller i knappaste laget.

12 ∙ 8 ≈ 10 ∙ 10 = 100. (12 är lite mer än 10, och 8 är lite mindre än 10 - då jämnar det ut sig, så att svaret blir ganska precis)

3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ≈ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 1000. (Här är svaret lite för stort eftersom 3∙3 är mindre än 10.)

3 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 4 ≈ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 1000. (Här är svaret lite för litet eftersom 3∙4 är mer än 10.)

3 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 3 ≈ 10 ∙ 10 = 100. (Här är svaret ganska nära eftersom den första tian är en underskattning och den andra en överskattning, så att felen i viss mån tar ut varandra.)

Håll reda på nollorna. Det är inte noga om det blir 400 i stället för 300, men det får kanske inte gärna bli 3000 eller 30 000. I det senare fallet har det blivit fel storleksordning: 3 • 10² har blivit 3 • 10³ eller 3 • 10⁴. I en del komplicerade problem får man räkna med fel även på storleksordning, som när vi räknade på granens barr, men inte på så många storleksordningar.

Hur specifik är frågan? Man får tänka lite på vad det är som man räknar på - ett särskilt stort träd eller ett litet, en gran eller tall? Räknar man bibliotekets tidningar som böcker? Räknar man med broschyrer som inte är på hyllorna? I de räkningar vi gjort har det inte varit noggrant angivet vad ni skulle räkna på. När man gör grova överslag är sådana detaljer ofta inte viktiga, men ibland kan de vara mycket viktiga.

Det här slarvas det med mycket i tidningarna. Om det står i tidningen att sjukdomar som har att göra med mögel kostar 200 miljoner euro varje år, vad betyder det? Är det i världen eller i ett specifikt land? Vad har man räknat för kostnader? Det patienterna betalar till läkaren? Medicinerna enligt det pris de säljs för i apoteket? Lönen till vikarier för dem som måste vara borta från arbetet? Kostnaden för att bygga om mögelskadade hus så att folk kan bli friska? Lönen för dem som mäter och forskar på mögel? Vem bestämmer vad som har med mögel att göra?

Gruppuppgift (5 minuter): Hur många barr finns det på en julgran?

Eleverna kan välja olika sätt att räkna. De kan bygga på läxuppgiftens resultat och i fantasin jämföra träden utanför skolfönstret med en julgran - hur många gånger större de är - eller de kan göra en oberoende ny räkning enligt samma modell som i läxuppgiften. Någon kanske har någon helt annan idé. Man kan diskutera hur pass resultaten överensstämmer. Det är bra om man kan använda olika metoder, för då kan man jämföra resultaten och få en kontroll.

Läraren leder in elevernas tankar på hur det blir när julen är över och granen börjar barra och man får sopa upp barr. Hur mycket barr kan det bli allt som allt - en kaffekopp, en liter, en hink? Man kan ta någon av gruppernas resultat när de räknade antalet barr och fundera ut hur stor volym detta antal skulle fylla om man travar barren så att de bildar ett rätblock.

Jämförelser av stora tal: Skulle julgransbarren räcka till om man vill ge bort ett barr till var och en av människorna i landet? Människorna i kommunen?

Skulle det vara enklare att sätta sig ner och räkna antalet barr ett och ett i stället för att göra överslagsräkningar? Hur lång tid skulle det ta? Har någon av er räknat till hundra? Till tusen? Till tiotusen?

Gruppuppgift: Hur lång tid tar det att räkna till a) 100 b) 1000 c) 10 000 d) 100 000 e) en miljon f) en miljard?

Gruppuppgift: Hur många glas mjölk dricker skolans elever på en dag? På ett år? Alla landets elever på en dag? Hela jordens elever på en dag?

Den här uppgiften är svår och ger antagligen upphov till många frågor under arbetets gång.

Eleverna utgår antagligen från skolans elevantal, som man har en uppfattning om. Sen erinrar man sig att några brukar ta mer än ett glas när de äter i matsalen, sen att somliga dricker vatten och inte mjölk. Några noterar att frågan inte var begränsad till skolmåltiderna. Man funderar över om man ska multiplicera med antalet skoldagar eller med 365.

Sen kommer ett steg mot ökad komplexitet, ett föregripande av ett tema för nästa lektion. Man ska uppskatta antalet elever i landet. Landets invånarantal brukar eleverna ha reda på, så de utgår ofta spontant från det och börjar försöka uppskatta hur stor del av landets befolkning som är elever. Då upptäcker de kanske att när det talas om landets elever så inkluderas också andra skolstadier än det högstadium som den första frågan avsåg. Här kan eleverna behöva lite vägledning för att det inte ska bli vilt gissande utan metod och utan kontroll av rimlighet. Läraren kan avbryta arbetet och sammanfatta resultatet så långt som man kommit.

Läraren kan leda diskussionen vidare längs olika väga beroende på vad eleverna föreslår. Ett sätt är att fråga hur många år av sitt liv folk brukar vara elever. Sen kommer frågan hur långt ett helt liv är i genomsnitt. Den är lite svårare, men det spelar mycket liten roll för slutresultatet vad man svarar. Sen får man dividera.

Ett annat lösningssätt som kan komma upp är att utgå ifrån resultatet för den egna skolans mjölkdrickande och försöka uppskatta hur många likvärdiga skolor det finns i landet. Eleverna har en uppfattning om vad det finns för andra skolor i hemkommunen, kan uppskatta antalet kommuner i landskapet och sen landskap i landet.

Här kan man introducera ”minimax-räknande”. Man gör en räkning där man tar allting i drygaste laget och en annan räkning där man tar allt lite knappt. Då har man stängt in resultatet mellan två gränser. Sen kan man fundera på vad som skulle hända med slutresultatet om man ändrar på förutsättningarna.

Hemuppgift: Skriv presentation av mjölkdrickningsuppgiften.

Lektion 5-6: Startpunktstal

Eleverna får presentera hur de genomförde uppgiften att ta reda på hur mycket mjölk landets respektive jordens alla elever dricker per dag. Läraren noterar att alla använt vissa tal som startpunkt. De har vissa tal i minnet som de kan gripa till för att komma vidare: antalet elever i skolan, antalet invånare i landet, antalet människor på jorden.

Läraren: Om vi ställer tilläggsfrågan ”Hur mycket väger all den här mjölken? Hur många ton”, då behöver vi känna till ytterligare några startpunktstal.

Gruppuppgift: Skriv ner en lista över startpunktstal som ni känner. Om någon grupp har svårt att komma på något över huvud taget kan man säga att de ska skriva ner alla tal som de kan tillsammans med förklaring, till exempel ”7 miljarder - jordens befolkning”, "60 minuter på en timme”. Om någon grupp kommer på mer än de hinner skriva ned kan man säga att de får hoppa över sådant som ”7 dvärgar” och ”4 hjul på en bil”.

Eleverna läser upp från sina listor. Läraren sammanfattar: För att räkna ut svåra saker kan man behöva lära sig några tal att utgå ifrån. Men minnet räcker inte till för att lära sig så hemskt många tal. Därför får man välja att lära sig de viktigaste. I den här kursen kommer ni att lära er ett litet antal viktiga tal. Behöver ni veta andra tal kan ni ofta räkna ut dem, på ett ungefär.

Som ni ser kan ni redan många tal. En del har ni inte så stor nytta av i det här sammanhanget: ”Katten har 9 liv”. Andra är mycket viktiga, men vi utgår ifrån att ni kan dem redan. Vilka kan vi utgå ifrån att ni kan? Tidsomvandlingstalen: Hur många sekunder på en minut, minuter per timme, timme per dygn, dygn per vecka, dygn per år. Längdomvandlingstalen: mm, cm, dm, m, dam, hm, km, mil. Och på samma sätt för volymenheter och viktenheter. Kan ni dem? Annars får ni det som läxa att lära er dem.

Sen vet ni sådana här saker: Hur lång brukar en vuxen människa vara? Hur mycket väger hon? Hur lång är en livslängd i genomsnitt? Det är inte exakta tal utan avrundningar, och beroende av definitionerna. Vi har ett ganska bra begrepp om många sådana saker. Ibland är det för att vi minns dem efter att någon gång ha lärt oss dem, ibland för att vi snabbt räknar ut dem eller uppskatta dem med överslagsräkning.

Nu ska vi ta upp fyra tal som alla ska kunna. Sen kommer det till några tal varje lektion. Skriv upp:

- Antalet invånare i landet: …………………. (Det talet hjälper oss att bedöma tidningsuppgifter.)

- Antalet människor på jorden: …………………… (Det talet hjälper oss att förstå världens situationen.)

- Hur mycket väger en liter? ………………….. (Det talet hjälper oss att visualisera sådant som 15 ton.)

- Hur långt är det runt jorden? ………………………… (Det talet hjälper oss att förstå miljö och resurser.)

Fyll i dem som ni redan vet, så tar vi resten tillsammans. De ska bli läxa.

Densiteter: Hur mycket väger en liter? Det beror förstås på vad vi tar för ämne. En liter vatten väger ett kilogram. En liter mjölk likaså. Även om man tar alkohol eller fotogen och fyller en flaska med det så är det mycket svårt att avgöra att det inte är vatten i flaskan genom att väga den i handen. Så nära i densitet ligger nästan alla vätskor. Också mat ligger mycket nära 1 kg per liter. Till och med trä, som alla vet att det flyter på vatten, kan man i många överslagsräkningar räkna som 1 kg per liter. (Vill man vara noga kan man räkna med 0,5 kg/l, om man tycker att den träsorten flyter med ungefär hälften under och hälften ovanför vattenytan.) Det är bara extrema ämnen som tungmetaller och cellplast där man får akta sig. Och gasers densitet är en helt annan sak. Det talar vi mera om senare.

Jordens omkrets. Diskutera hur man lämpligen kan minnes sådana här tal. Någon kanske vet hur lång jordens radie är, men det ligger lite utanför en överslagskurs att räkna med π.

Jordens folkmängd. Visa på att det här är en uppgift som förändras hela tiden, varför de får vara beredda att lära om under sina liv. Låt klassen göra några snabba huvudräkningar med det talet, till exempel:

Om man skulle vilja göra en fotokatalog med alla världens medborgare och började samla in bilder i en bunt, hur tjock skulle den bunten bli? Om varje foto är tjockt som bladet i en bok. (Antalet i boken är sidnumret delat med 2.) Hur många bokvolymer blir det med ett foto per blad? Med hundra per blad? Hur många böcker räknade vi tidigare ut att det finns i biblioteket? Hur skulle det bli om vi nöjde oss med en katalog med bara namnen.

Hur många procent av världsmedborgarna är våra landsmän?

Gruppuppgift: Hur många ton apelsiner importerar Belgien på ett år?

Efter de tidigare gruppuppgifterna har läraren inte visat något slags facit. Det har gällt att ge eleverna tilltro till sin egen förmåga att göra uppskattningar, att göra sig kvitt känslan att det någonstans på nätet finns ”det riktiga svaret”. I den här övningen börjar man på samma sätt. Man diskuterar först metoder och jämför resultat grupperna emellan. Men sen presenterar man statistik från Förenta nationernas livsmedels- och jordbruksorganisation. Enligt den importerade Belgien 139 090 ton apelsiner[1] år 2009). Läraren förklarar varför det är omöjligt för någon att ta reda på någonting så noggrant. Man manar fram bilden av apelsinlådorna i fartygens lastrum och hur det kan gå till vid vägningen och hur stora totalfelet kan bli när man multiplicerar småfel med ett stort tal. Samtidigt bör det påpekas att FAO:s statistiker är högt kompetenta och förstår att det är stora fel i deras uppgifter, men att de har valt att presentera många siffror och låta läsaren bedöma hur många man ska lita på.

Det framgår också av FAO:s statistik att Belgien både importerar och exporterar ganska stora mängder apelsinjuice, men att dessa två mängder i stort sett tar ut varandra. Om ingen elev har kommit in på det spåret kan man avstå ifrån att här göra affär av sådan möjligen länkad handel. Hemuppgift: Lär er startpunktstalen.

Lektion 7-8: Area. Jordklotet

Läraren repeterar snabbt förra lektionens gruppuppgift på tavlan (Belgiens apelsinimport). Eleverna ska särskilt lägga märke till den formella presentationen och gärna kopiera den i häftena. På förhör och prov beaktas dels trovärdigheten i uppskattningarna, dels presentationen. De antaganden och uppskattningar man gör ska redovisas, räkningarna ska ställas upp och att likhetstecknen ska vara vågade alltid där man gör avrundningar. Man får gärna göra dubbla uträkningar, en knapp och en dryg - om det behövs. Man får gärna diskutera felkällor. Svaret ska ges tydligt och gärna antyda hur pass säkert det är.

En annan lärdom av apelsinuppskattningen som eleverna ska skriver ner i sina häften som en genomgående princip är att man ofta kan utgå från sig själv och sin egen erfarenhet. Belgiens apelsinimport är mycket abstrakt och fjärran, men man kan återföra problemet till vad man vet om sin egen familj.

Eleverna gör en av följande individuella inlämningsuppgifter. Både trovärdigheten och presentationen kommer att bedömas.

Alternativ 1: En mindre kommun har drabbats av en katastrof. All mat har förstörts. Transporterna är avskurna. Dock finns vatten att tillgå och man kan skicka in en buss fullastad med livsmedel. Hur länge kommer maten i bussen att räcka för kommunens invånare?

Alternativ 2: Hur många ton mat kan man transportera i ett flygplan. (Man kan till exempel tänka sig att man ska bistå katastrofoffer som evakuerats någonstans där det inte finns livsmedel.)

Är det svårt för eleverna att komma igång kan man uppmana dem att börja med att tänka på en buss/ett flygplan. Som vanligt får eleverna själva bestämma de detaljerade förutsättningarna.

Efter inlämningen går läraren först igenom två egna lösningssätt och frågar sedan om andra sätt som eleverna har kommit på. Det första sättet visar på hur man kan göra en presentation korthuggen genom att använda kvotenheter, där täljarens enhet successivt stryks mot nästa faktors nämnarenhet:

1 buss • (50 sittplatser/buss) • (20 matkassar/sittplats) • (4 personer/matkasse) = 4000 personer

Från egen erfarenhet vet eleverna att en matkasse bara brukar räcka en enda dag för en familj om fyra personer, men kan tänka sig att man i en katastrofsituation kan välja livsmedel som räcker längre. Svaret blir några dagar om kommunen består av 4000 invånare, halva den tiden om den består av 8000 invånare etc. Man kan diskutera antalet kassar per sittplats. Det finns även korridor och bagageutrymme i många bussar.

Det andra lösningssättet är att visualisera matpaket för ett dygn för en person - ca 1 dm³. Man tänker ut hur många det ryms på längden, på bredden och på höjden i en buss, och sen multiplicera. Det var så vi gjorde en gång tidigare när vi uppskattade barrantalet i den hög vi sopade upp under julgranen. Det är en mycket bra metod att använda när man kan se en plats framför sig som är helt fyllt med lika stora saker. Då var det barr som man travade. Nu travar man matpaket som är en kubikdecimeter stora.

Gruppuppgift: Hur många människor får det rum med på en fotbollsplan? På en kvadratkilometer? Ryms hela landets befolkning där? Skulle hela jordens befolkning rymmas i din hemkommun?

Läraren demonstrerar med en jordglob och tyg- eller papperskvadrater med sidlängd lika med avståndet pol-ekvator att jordens area är nära 5 • 10⁸ kvadratkilometer. Det här hör inte till de starttal som man absolut behöver lära sig utantill, men man ska kunna räkna fram det när man behöver det. Skriv ner det i häftena, och också proceduren för att räkna ut det.

Eleverna får uppskatta arean på världshaven (3 • 10⁸ kvadratkilometer) respektive kontinenterna (2 • 10⁸ kvadratkilometer).

Vilket är mer - antalet människor på jorden eller antalet kvadratkilometer? Hur stor area blir det för var och en om man delar jordytan jämnt mellan alla människor?

Hemuppgift: Att öva sig i att snabbt lista ut att jordens area är 5 • 10⁸ kvadratkilometer. Eleverna ska kunna uppskatta världsdelarnas storlek.

Lektion 9-10: Volymer. Hav och luft

Eleverna bekantar sig med Wikibooks-skriften http://sv.wikibooks.org/wiki/Matematik/%C3%96verslagsr%C3%A4kning om överslagsräkning.

De lär sig tre startpunktstal, som presenteras och motiveras närmare där. Det första är densiteten för gaser. Tidigare har de lärt sig att fasta och flytande ämnen har densiteter nära 1 kg/liter. Deras atomer sitter tätt ihop. Gasatomerna däremot befinner sig på tio gånger så långt avstånd. Tio gånger på längden, tio gånger på bredden och tio gånger på höjde gör att de tar tusen gånger så mycket utrymme. Ett kilo gas fyller alltså en kubikmeter i stället för en liter. Gasers densitet brukar alltså vara ca 1 kg/m³. (Det gäller inte högt uppe där flygplan rör sig. Där är luften tunnare.)

Fråga: Hur mycket väger luften i klassrummet?

Nästa startpunktstal är atmosfärens tjocklek. Man tänker på jordens högsta berg, att det inte finns så mycket syre där. Bergsbestigare brukar ha med sig syrgas. Nästan 10 kilometer är Himalayas toppar, och 10 kilometer tjock kan man räkna med att atmosfären är när man gör överslag. I själva verket tunnar den ut successivt, men om man räknar med 10 km får man en bestämd volym. När man multiplicerar den med luftens densitet nere vid jordytan (1 kg/m³) får man reda på gasens massa. Den stämmer ganska bra.

Fråga: Hur stor volym har atmosfären? Hur många kubikmeter? Hur mycket väger atmosfären?

Det tredje startpunktstalet är havens djup. 4 km djupa är haven i snitt (som halva Himalaya).

Fråga: Hur stor volym har världens alla hav? Vad väger de? Hur mycket vatten får jordinvånarna var och en om vi delar lika på allt världens vatten?

Lektion 11-12: Bränsle och koldioxid

Exempel på bränslen är kol, olja, ved, stearin. Bränslen innehåller kol och ofta också andra atomslag, så som väte och syre. Vid grov räkning kan man räkna som att ett kilogram bränsle ger ett kilogram koldioxid. Riktigt stämmer det inte, för när de brinner kommer det till syreatomer vilket gör att den koldioxid som bildas blir tyngre. Men ofta försvinner det samtidigt väteatomer, varför skillnaden ibland inte blir så stor.

Fråga: Hur mycket koldioxid bildas det om man kör slut en tank bensin med en bil? Svar: Massan blir ungefär lika stor som bensinen vägde innan den förbrändes. Volymen blir ungefär som en tank som är tio gånger så lång, tio gånger så bred och tio gånger så hög.

Startpunktstal: 0,04 % är koldioxidhalten i luften.

Prov

Provet består dels av frågor där det gäller att minnas startpunktstal och förklara resonemang, dels en lätt och en svår överslagsräkningsuppgift.

Bedömningskriterier för överslagsräkningsuppgifterna:

Presentationen. Resonemanget ska redovisas i ord och uträkningar, utförligt men kort. Det ska inte vara svårtolkat knappt men inte heller långtråkigt och överlastat med detaljer.

Trovärdighet. Svaret ska vara trovärdigt och underbyggt med vettiga resonemang.

Metoder. De använda metoderna ska vara relevanta och varierande. De ska leda till svaret på ett effektivt sätt och också ge en bedömning av noggrannhet och av hur olika felkällor påverkar svaret. De startpunktstal som lärts ut i kursen ska behärskas.

Fyndighet. Kreativa och originella idéer krävs när problemen är komplexa.