Åter till huvudsidan.
∫ − ∞ ∞ δ ( t ) d t = 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (t)dt=1} ∧ {\displaystyle \wedge } δ ( t ) = 0 {\displaystyle \delta (t)=0} ∀ {\displaystyle \forall } t ≠ 0 {\displaystyle t\neq 0}
Om f ( t ) , − ∞ < t < ∞ , {\displaystyle f(t),-\infty <t<\infty ,} är styckvis deriverbar och absolut integrerbar då:
Laplacetransformen av f definieras som
Laplacetransformen konvergerar i ett område på formen { s ∈ C : R e ( s ) > σ } {\displaystyle \{s\in \mathbb {C} :Re(s)>\sigma \}} , förutsatt att den konvergerar för något s {\displaystyle s} , σ > 0 {\displaystyle \sigma >0} .
![{\displaystyle \delta [n]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c85ebefecef603e182ea69ec582ce1e32853205c)
![{\displaystyle \delta [n-n_{0}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bdb0265027e056f16fce87ab282b57cb03c4f8c)
![{\displaystyle u[n]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c175418259c5c3984505f4fb40130e0d7ce1cc88)
![{\displaystyle -u[-n-1]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7abcf24b4afa2cf367518c3bb3845dbf6d0f0431)
![{\displaystyle a^{n}u[n]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d918461b1c895f0fa3c088d48aebf1849fbf5931)
=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f87bf3642eea87637189c29d7bc389708f1c5788)
=\lambda {\mathcal {L}}[f](s)+\mu {\mathcal {L}}[g](s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a73a23588b6a7872ca75598263e0d8c3bf9df2a4)
=s{\mathcal {L}}[f](s)-f(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b489fd855bd1f619b10a68867b9f6cccd4ec80e3)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}\left[\int _{0}^{x}f(\tau )g(\tau )d\tau \right]={\mathcal {L}}[f](s)\cdot {\mathcal {L}}[g](s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a46bb6cf948876822aefa09621175fa8e45ed02)