Definition Bildl. representation av derivata Antag att funktionen f (x ) är definierad i en omgivning av punkten x .
lim
ϵ
→
0
f
(
x
+
ϵ
)
−
f
(
x
)
ϵ
{\displaystyle \lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {f(x+\epsilon )-f(x)}{\epsilon }}}
f (x ) vara deriverbar i x . derivatan av f i punkten x , och betecknas
f
′
(
x
)
{\displaystyle f^{\prime }(x)}
d
f
d
x
{\displaystyle {\frac {df}{dx}}}
Definitionen kan ses som den tangentiella lutningen för en kurva f (x ) mellan två punkter x och x + ε . När ε går mot noll fås lutningen för kurvan i punkten x .
redigera
y
″
+
a
(
x
)
y
′
+
b
(
x
)
y
=
h
(
x
)
{\displaystyle y''+a(x)y'+b(x)y=h(x)\,}
där
a
(
x
)
{\displaystyle a(x)}
b
(
x
)
{\displaystyle b(x)}
h
(
x
)
{\displaystyle h(x)}
Homogena ekvationen
För en ekvation av typen
y
″
+
a
y
′
+
b
y
=
0
{\displaystyle y''+ay'+by=0\,}
görs ansatsen
y
=
C
e
r
x
{\displaystyle y=Ce^{rx}}
C
e
r
x
(
r
2
+
a
r
+
b
)
=
0
{\displaystyle Ce^{rx}(r^{2}+ar+b)=0\,}
som har det karaktäristiska polynomet
p
(
r
)
=
r
2
+
a
r
+
b
{\displaystyle p(r)=r^{2}+ar+b\,}
r
{\displaystyle r}
p
(
r
)
=
0
{\displaystyle p(r)=0}
Två reella rötter, om
r
1
≠
r
2
{\displaystyle r_{1}\neq r_{2}}
y
h
=
A
e
r
1
x
+
B
e
r
2
x
{\displaystyle y_{h}=Ae^{r_{1}x}+Be^{r_{2}x}\,}
Dubbelrot, alltså om
r
1
=
r
2
=
r
{\displaystyle r_{1}=r_{2}=r\,}
y
h
=
(
A
x
+
B
)
e
r
x
{\displaystyle y_{h}=(Ax+B)e^{rx}\,}
Komplexa rötter, om
r
=
α
±
i
β
{\displaystyle r=\alpha \pm i\beta }
y
h
=
e
α
x
(
C
1
e
i
β
x
+
C
2
e
−
i
β
x
)
=
e
α
x
(
A
cos
β
x
+
B
sin
β
x
)
{\displaystyle y_{h}=e^{\alpha x}(C_{1}e^{i\beta x}+C_{2}e^{-i\beta x})=e^{\alpha x}(A\cos {\beta x}+B\sin {\beta x})\,}
För en allmän inhomogen ekvation
y
″
+
a
y
′
+
b
y
=
h
(
x
)
{\displaystyle y''+ay'+by=h(x)\,}
så räcker det att hitta en lösning.
h
(
x
)
{\displaystyle h(x)}
redigera
Genom direkt insättning i
y
″
+
a
y
′
+
b
y
=
c
{\displaystyle y''+ay'+by=c}
Om
b
≠
0
{\displaystyle b\neq 0}
y
p
=
c
b
{\displaystyle y_{p}={\frac {c}{b}}}
Om
b
=
0
{\displaystyle b=0\,}
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
y
p
=
c
a
x
{\displaystyle y_{p}={\frac {c}{a}}x}
Om
b
=
a
=
0
{\displaystyle b=a=0\,}
y
p
=
c
2
x
2
{\displaystyle y_{p}={\frac {c}{2}}x^{2}}
h
(
x
)
{\displaystyle h(x)}
redigera
Om
b
≠
0
{\displaystyle b\neq 0}
y
=
q
(
x
)
{\displaystyle y=q(x)\,}
q
{\displaystyle q}
=
{\displaystyle =}
h
{\displaystyle h}
Om
b
=
0
{\displaystyle b=0}
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
y
=
x
q
(
x
)
{\displaystyle y=xq(x)\,}
q
{\displaystyle q}
=
{\displaystyle =}
h
{\displaystyle h}
Fås genom att:
y
=
y
h
+
y
p
{\displaystyle y=y_{h}+y_{p}\,}
