Formelsamling/Matematik/Differentialkalkyl

Åter till huvudsidan.

Derivator

redigera

Definition

 
Bildl. representation av derivata

Antag att funktionen f(x) är definierad i en omgivning av punkten x.
Om gränsvärdet   existerar, sägs funktionen f(x) vara deriverbar i x.
Gränsvärdet kallas derivatan av f i punkten x, och betecknas  , eller  .

Definitionen kan ses som den tangentiella lutningen för en kurva f(x) mellan två punkter x och x + ε. När ε går mot noll fås lutningen för kurvan i punkten x.

Räkneregler

Formler

Integralkalkyl

redigera

Räkneregler

Formler

Differentialekvationer

redigera

Linjära ekvationer av andra ordningen

redigera
 

där  ,   och   är kontinuerliga funktioner.

Homogena ekvationen

För en ekvation av typen

 

görs ansatsen   som ger

 

som har det karaktäristiska polynomet   vars nollställen (dvs.   när  ) kan ge lösningar.

  1. Två reella rötter, om  
     
  2. Dubbelrot, alltså om  
     
  3. Komplexa rötter, om  
     

Partikulärlösning

redigera

För en allmän inhomogen ekvation

 

så räcker det att hitta en lösning.

Om   är konstant

redigera

Genom direkt insättning i   ser vi att

  • Om   är   en lösning;
  • Om   och   är   en lösning;
  • Om   är   en lösning;

Om   är en polynom

redigera
  • Om  : sätt   där grad    grad  
  • Om  ,  : sätt   där grad    grad  

Allmänna lösningen

Fås genom att: