Matematik för årskurs 7-9/Taluppfattning och räkning/Räkning/Negativa tal

Ibland vill man kunna räkna med tal som är mindre än noll. Till exempel när det är kallare än noll grader utomhus. Då säger vi att det är exempelvis minus 5 grader. Minus 5 är vad vi kallar ett negativt tal. Man kan räkna med negativa tal på samma sätt som med vanliga positiva tal. Dessutom gör de negativa talen att vi kan räkna ut uppgifter som annars är omöjliga som 3 − 5 (svar: −2) eller "Vad plus 4 blir 1?" (svar: −3).

Termometer som visar en temperatur under 0

För att visa att ett tal är ett negativt tal skriver man ett minustecken precis framför talet. Är det ett positivt tal skriver man bara talet som vanligt. −5 är alltså ett negativt tal och 5 är ett vanligt positivt tal. Ibland om man vill vara extra tydlig skriver man ett plustecken framför de positiva talen även om det inte behövs. +5 och 5 är alltså samma sak.

Eftersom alla negativa tal är mindre än noll och ju större siffror ett negativt tal har desto mindre är det. Därför är 1 ett större tal än −2 som är större än −5. Man är ju rikare om man har en krona än om man är skyldig två kronor. Man är ju också rikare om man bara är skyldig två kronor än om man är skyldig fem kronor.

Ett annat sätt att se på negativa tal är att se varje negativt tal som motsvarande positiva tals motsats. Tvärtom att ge någon något är ju att ta något ifrån den. Tvärtom att ge 4 kr är att ta 4 kr. Så tvärtom 4 är då −4.

När man skriver ett negativt tal i en uträkning så skriver man det ibland i parenteser för att göra det tydligare. Man skriver då till exempel 5 ⋅ (−2) istället för 5 ⋅ −2 eller 3 − (−4) istället för 3 − −4. Man kan göra vilket man vill, parenteserna spelar ingen roll rent matematiskt. Men särskilt om man skriver för hand kan det ibland bli svårt att se vad man menar utan parenteserna.

Addition och subtraktion

Tallinje med de negativa talen till vänster om nollan

Negativa tal kan adderas och subtraheras precis som vanliga positiva tal. Man kan tänka sig att ett positivt tal betyder ett visst antal steg åt höger på en tallinje. Då betyder ett negativt tal ett visst antal steg åt vänster istället.

Det är samma sak att lägga till ett negativt tal som att ta bort ett positivt!

Eftersom ett negativt tal är tvärtom vad ett positivt tal är så kan man se att lägga till ett negativt tal är samma sak som att ta bort ett positivt tal. Så 3 + (−1) är samma sak som 3 − 1. Om man istället ser på tallinjen så kan man se att man ska gå 3 steg till höger och sedan lägga till att gå ett steg åt vänster. Det blir samma sak som att gå bara två steg åt höger.

Här kan man se att 3 − 4 = −1. Man kan också se att det är samma sak som att räkna ut 3 + (−4).

Tidigare har era lärare sagt att man inte kan ta 3 − 4 eftersom 3:an inte räcker till. Det stämmer så länge man inte använder de negativa talen. Nu när vi gör det och då ser på hela tallinjen inklusive delen till vänster om nollan så är det möjligt att ta bort 4 ifrån 3.

Om man ska ta bort 4 från 3 så kan man antingen se att det saknas 1 för att det ska gå med bara positiva tal. Alltså är svaret −1. Man kan också räkna steg på tallinjen ovan (eller på en egen om man har ritat en) så ser man att man hamnar på −1.

När man ska ta bort ett negativt tal så kan man tänka på flera olika sätt. Tänk att man har en specialspis som bygger på att man har magiska stenar som kan värma eller kyla maten. lägger man till en värmesten blir det varmare och lägger man till en kylasten blir det kallare. Om man då tar bort en värmesten blir det också kallare och om man tar bort en kylasten måste det då bli varmare. Om vi ser tal som temperatur och vi lägger till ett negativt tal (kylastenen) så minskar temperaturen, alltså blir svaret mindre. Om man tar bort ett negativt tal (tar bort en kylasten) ökar temperaturen, alltså blir svaret större.

Man kan också se minuset som tvärtom plus, då blir tvärtom tvärtom tillbaka till plus igen. Man kan också tänka att man ska räkna hur mycket pengar man har. om man har en negativ mägnd pengar är man skyldig pengar. Om man blir av med sin skuld måste man ha fått pengar, alltså är minus minus plus.

Det kan också hjälpa att komma ihåg att man alltid får addera i vilken ordning man vill. Det är bra om man ska räkna ut exempelvis −3 + 5 eftersom det är samma sak som 5 + −3 vilket är samma sak som 5 − 3.

Ytterligare ett sätt att förklara är att se talen som olika stora bollar. = Ett positivt tal. = Ett negativt tal.

**Positiva och negativa tal tar ut varandra**
+ = 0
+ = 0

**Additionsregler**
+ =
+ =
+ =
+ =

**Subtraktionsregler**
− =
− =
− =
− =
− =
− =

Exempel

Beräkna:

a) 3 + 1

b) 3 − 1

c) 1 − 3

d) −2 + 4

e) −2 − 3

f) 3 − −1

g) 2 + −1

h) −2 + −3

i) −2 − −1

Lösning

Här visar vi hur man kan lösa några uppgifter med hjälp av att stega upp på en tallinje. Eftersom vi har ritat de största talen till höger innebär det att att addera (öka talet) är att gå åt höger och att subtrahera (göra talet mindre) är att gå åt vänster.

a) 3 + 1

Vi ska gå först tre och sedan ett steg åt höger på tallinjen.

Svar: 4

b) 3 − 1

Vi ska gå först tre steg åt höger och sedan ett steg åt vänster på tallinjen.

Svar: 2

c) 1 − 3

Vi ska gå först ett steg åt höger och sedan tre steg åt vänster på tallinjen.

Svar: −2

d) −2 + 4

Vi ska gå först två steg åt vänster och sedan fyra steg åt höger på tallinjen.

Svar: 2

e) −2 − 3

Vi ska gå först två steg åt vänster och sedan tre steg åt vänster till på tallinjen.

Svar: −5

f) 3 − −1

Vi ska först gå tre steg åt höger och sedan ta bort ett steg åt vänster vilket blir att gå åt höger.

Att ta bort ett negativt tal är samma sak som att addera ett positivt så vi kan lika gärna räkna 3 + 1.

Svar: 4

g) 2 + −1

Vi ska gå först två steg åt höger och sedan lägga till ett steg åt vänster på tallinjen.

Svar: 1

h) −2 + −3

Vi ska gå först två steg åt vänster och sedan lägga till tre steg åt vänster till på tallinjen.

Svar: −5

i) −2 − −1

Vi ska börja med två steg åt vänster och sedan ett åt HÖGER eftersom att subtrahera med −1 är samma sak som att addera 1.

Vi kan också tänka att vi från början har två minustal och sedan tar bort ett minustal. Då har vi ett minustal kvar.

Svar: −1

Övningsuppgifter

Uppgifter

Grund-nivå

1. Beräkna

a) 2 − 3

b) −1 + 4

c) −2 − 1

E-nivå

2. Beräkna

a) 3 − 9

b) 2 + −2

c) 2 − −2

d) −12 − 4

e) −2 − −1

3. Vad är differensen mellan −4 och 8?

4. Vilket tal ligger mitt emellan

a) −2 och 2

b) −5 och −9

c) 1 och −5

5. Vilket tal är störst och minst av −2, 7, −9 och 1?

C-nivå

6. Karl är i en musikaffär. Han köper en elgitarr, en elbas och sjutton plektrum. Hur mycket blir han skyldig om han har tiotusen kronor.

Elgitarr: 5799 kr/st
Elbas: 5399 kr/st
Plektrum: 17 kr/st

A-nivå

Fördjupning

Multiplikation med positiva tal

Här kan det vara bra att komma ihåg att man alltid får utföra multiplikationer i vilken ordning man vill. Exempelvis är ju 5 ⋅ 3 samma sak som 3 ⋅ 5. På samma sätt är också till exempel −2 ⋅ 4 samma sak som 4 ⋅ −2.

Att multiplicera negativa tal fungerar på precis samma sätt som när man multiplicerar positiva tal. 3 st 2:or räknas 3 ⋅ 2 och är 6. 3 st −2:or räknas 3 ⋅ −2 och är −6. 3 st −2 kan också skrivas som −2 + −2 + −2, vilket är −2 − 2 − 2 som uträknat givetvis fortfarande blir −6.

Om vi nu vill räkna ut vad −2 st 5:or är så låter det ju ganska konstigt och då väljer vi istället att räkna ut 5 st −2:or eftersom man får multiplicera i vilken ordning man vill. Då kan man lättare inse att det blir −10. Givetvis kan man ju också tänka att det saknas 2 st 5:or och alltså sammanlagt saknas 10 och då är svaret altså −10.

Exempel

Lösning

Övningsuppgifter

Uppgifter

Grund-nivå

E-nivå

C-nivå

A-nivå

Fördjupning

Ej nivåsatt

Multiplikation med negativa tal

Om man ska räkna ut −3 ⋅ −4 Så hjälper det inte att byta ordning utan här finns det några olika sätt att tänka. Man kan tänka att minus är motsatsen till plus och minus gånger minus blir då tvärtom tvärtom vilket är som vanligt igen, det vill säga plus. En minnesregel för det är att om man har två minusstreck (ett minustecken är ju ett litet streck) så kan man lägga ihop dem till ett plustecken (som ju består av två små streck).

Vi kan också tänka att vi befinner oss i den magiska världen som vi skrev om ovan där man inte använder en spis eller mikrovågsugn när man ska laga mat utan där man använder speciella stenar som kan höja eller sänka temperaturen. Tar man en värmesten höjs temperaturen och tar man en kylasten sänks temperaturen. Tar man lika många av varje blir det ingen förändring eftersom stenarna då tar ut varandra.

Det finns också olika stora magiska stenar som då höjer eller sänker temperaturen lite eller mycket. En stor värmesten höjer temperatuen till exempel 10 grader och en liten höjer den bara 1 grad. På samma sätt med kylastenarna som också kan vara olika stora och då sänka temperaturen olika mycket. Vi kan kalla den stora värmestenen för +10 och den lilla för +1, kylastenarna kan vi kalla −10 och −1. Det finns alla olika storlekar av stena så som +7 och −15 också men i just det magiska köket vi är i har de bara +10, +1, −10 och −1.

Om man lägger i två stora värmestenar kan vi lätt räkna ut att temperaturen höjs 20 grader (2 ⋅ 10 = 20). Tar vi sedan bort de två värmestenarna sänks temperaturen med 20 grader (−2 ⋅ 10 = −20).

Om vi lägger i två stora kylastenar sänks temperaturen med 20 grader (2 ⋅ −10 = −20). Vad händer nu om vi tar bort de två kylastenarna? Vad är −2 ⋅ −10? Om man tar bort en sänkning måste temperaturen höjas igen. Altså är −2 ⋅ −10 = 20. De två minustecknen tar ut varandra.

Om vi ska räkna ut ännu jobbigare tal med massa olika både positiva och negativa tal kan vi utnyttja detta att två minustecken tar ut varandra. Eftersom man alltid får räkna multiplikationer i vilken ordning man vill kan man börja med två av de negativa talen och stryka deras minustecken. Så fortsätter man till alla minus är strukna eller man har ett ensamt kvar som man inte kan para ihop med ett annat. Blir alla strukna (om det fanns ett jämnt antal negativa tal / minustecken) blir svaret positivt. Blev det ett negativt tal över (om det fanns ett udda antal negativa tal / minustecken) blir svaret negativt.

Exempel

Beräkna:

a) −15 ⋅ −4

b) −2 ⋅ −2 ⋅ −2

c) −1 ⋅ −1 ⋅ −1 ⋅ −1 ⋅ −1 ⋅ −1

d) −3 ⋅ 2 ⋅ −2

Lösning

a) −15 ⋅ −4

Två minustecken tar ut varandra. Alltså blir uträkningen samma sak som 15 ⋅ 4, vilket är 60.

Svar: 60

b) −2 ⋅ −2 ⋅ −2

Vi börjar med −2 ⋅ −2 där det är två minustecken som tar ut varandra. Alltså samma sak som 2 ⋅ 2 vilket är 4. Då kan vi byta ut de två första −2 mot 4 och hela utträkningen blir 4 ⋅ −2 vilket blir −8. I sista steget fanns det ju bara ett minustecken och alltså blir svaret negativt.

Svar: −8

c) −1 ⋅ −1 ⋅ −1 ⋅ −1 ⋅ −1 ⋅ −1

Eftersom 1 ⋅ 1 = 1 spelar det ingen roll hur många ettor man multiplicerar. Svaret blir ändå alltid 1. Det enda vi nu måste hålla reda på är om svaret blir positivt eller negativt. Vi parar ihop minustecknen 2 och 2 eftersom två minustecken alltid tar ut varandra. Eftersom vi har 6 st minustecken blir det tre par med två i varje där de kan ta ut varandra. Alltså är svaret positivt.

Svar: 1

d) −3 ⋅ 2 ⋅ −2

Nu har vi både positiva och negativa tal blandat. Denna kan man lösa på två sätt. Antingen så räknar man talet i ordning med en multiplikation i taget eller så gör man alla multiplikationer som om alla talev vore positiva och kollar efteråt hur många minustecken man hade för att få reda på om svaret ska vara positivt eller negativt.

Alternativ 1:

−3 ⋅ 2 = −6

−6 ⋅ −2 = 12

Alternativ 2:

3 ⋅ 2 ⋅ 2 = 12

Två minustecken tar ut varandra och svaret ska alltså vara positivt.

Svar: 12

Övningsuppgifter

Uppgifter

Grund-nivå

E-nivå

C-nivå

A-nivå

Fördjupning

Ej nivåsatt

Division

Eftersom division och multiplikation hänger ihop kan man tänka på samma sätt vid division som vid multiplikation. Ett minustecken och svaret blir negativt. Två minustecken och svaret blir positivt.

Man kan förklara det genom att exempelvis se hur många 2:or som går i −6 (−6 / 2). Det går ju inga utan saknas istället tre stycken (−3 ⋅ −2 = 6), alltså är svaret −3. På samma sätt om man vill veta hur många −2:or som går i 6 (6 / −2). Också här går det inte utan det saknas tre stycken −2:or för att det ska bli 6, alltså är svaret här också −3.

Om man istället vill veta hur många −2:or som går i −6 (−6 / −2) så kommer minustecknen ta ut varandra. Det behövs tre −2:or för att få ihop −6. Svaret är alltså 3.

Det spelar ingen roll om minustecknet är uppe eller nere. Både 6 / −2 och −6 / 2 blev ju samma sak (−3). Man kan alltså utföra divisionen som vanligt och kolla på minustecknen efteråt. Ett minustecken, gör svaret negativt. Två minustecken, positivt svar.

Exempel

Beräkna:

a) −6 / 3

b) −8 / −2

c) 18 / −6

Lösning

a) −6 / 3

Vi ska dela −6 i tre delar. Då måste det vara −2 i varje del. Detta kan man också se på tallinjen ovan. Eftersom lägnden på pilen är 6 måste varje tredjedel vara 2. Och eftersom pilarna är riktade åt vänster mot de negativa talen ska svaret vara −2.

Svar: −2

b) −8 / −4

Vi ska ta reda på hur många −4 som behövs för att få ihop till −8. Som vi ser på tallinjen ovan så är det två stycken −4 som sammanlagt blir −8. Denna metoden fungerar bara om det går jämnt upp eller för att ge en fingervisning. &minus4 / &minus3 är svårare då det inte går jämnt upp men då kan man inse att svaret är någon stans mellan 1 och 2.

Man kan också tänka att de två minustecknen tar ut varandra så att vi i stället ska räkna ut 8 / 4 som vi vet är 2.

Svar: 2

c) 18 / −6

Att dela 18 i −6 delar eller att försöka kolla hur många −6 som behövs för att få ihop 18 blir konstigt. Vad som är lättast här är att veta att eftersom vi bara har ett minustecken måste svaret vara negativt. Då kan vi istället räkna ut 18 / 6 som är 3. Då blir svaret alltså −3.

Svar: −3