Matematik för årskurs 7-9/Taluppfattning och räkning/Introduktion

Förutom att olika siffror har olika värden i olika tal så finns det också olika sorters tal. Vi kommer gå igenom heltal, både positiva och negativa, samt bråktal som kallas rationella tal och irrationella tal som är tal som inte ens kan skrivas som bråk eller som decimaltal med ändligt många decimaler.

Alla dessa tal tillsammans kallas de reella talen.

Olika sorters tal

Alla olika tal som finns kan tänkas vara olika ställen på en oändligt lång linje. Ibland så är tal som de naturliga talen ett visst antal steg "framåt" medan de negativa talen är ett visst antal steg "bakåt". Man kan också tänka sig tal som inte är hela utan halva eller tredjedels steg åt ena eller andra hållet och måste då använda andra sorters tal. Här beskrivs de olika sorterna av tal.

Naturliga tal

Naturliga tal används för att räkna föremål, till exempel äpplen, så länge de är hela.

De naturliga talen är alla vanliga räknetal. Till exempel 5:an när man säger: "Det är 5 äpplen i fruktkorgen". De naturliga talen har alltså aldrig några decimaler.

Noll räknas också ofta som ett naturligt tal som när man säger det var noll äpplen i fruktkorgen. Men ibland så börjar man de naturliga talen med 1 och hoppar över nollan. Om man ser historiskt så är det ganska nyligen som man börjat använda noll. De naturliga talen, med nollan exkluderad, kallas även för de positiva heltalen.

Alla naturliga tal kan också skrivas som en summa av ettor, t.ex. 3 = 1 + 1 + 1. Alla de natuliga talen kan sammanfattas i den oändliga listan: 0, 1, 2, 3, …, där varje tal fås av att man adderar ett till det föregående talet.

Negativa heltal

De negativa heltalen är en differens mellan noll och ettor, t.ex −3 = 0 − (1 + 1 + 1). Man kan altså säga att de är motsatsen till de naturliga talen, till exempel är −3 motsats till 3. De negativa talen används bland annat när man håller på med temperaturer och det är mindre än noll grader. Man kan också använda negativa tal om man vill svara på frågan: Vilket tal ska jag addera till fem för att få tre (svar −2).

Heltal

De naturliga talen, med nollan inkluderad, och de negativa heltalen kallas tillsammans för de hela talen.

Decimaltal

Decimaltal är när man har med en, eller flera decimaler i talet. Till exempel kan man säga "Jag är 1,72 meter lång" eller "Johan sprang 60 meter på 10,5 sekunder".

Bråktal

Bråktal är alla tal som kan bli när man dividerar. Många av dem går också att skriva som heltal (till exempel 21 / 3, vilket är 7) eller som decimaltal (till exempel 7 / 2, som är 3,5), men inte alla. Till exempel är 10 / 3 ungefär 3,3333. Om man skulle försöka dividera och skriva 10 / 3 som decimaltal upptäcker man att decimalerna aldrig tar slut. Dessutom så blir det för alla bråktal upprepningar när de skrivs som decimaltal. Till exempel är 5 / 11 ≈ 0,454545….

Det finns lite olika sätt att skriva bråktal. Här är de vanligaste: 5 / 11, $5 \over 11$ , 5 ÷ 11, 5 : 11, 0,454545…, 0,45. Alla dessa betyder samma sak men de används vid lite olika tillfällen.

Bråktal kallar också för rationella tal. Jämför med engelskans ratio (förhållande, kvot).

Irrationella tal

Det finns tal som inte ens kan skrivas som ett förhållande mellan två vanliga tal. De har också oändligt många decimaler, men utan att decimalerna upprepar sig som med bråktalen.

Ett sådant tal är det tal som om man multiplicerar det med sig självt blir 2. Man skriver det ibland som ${\sqrt {2}}$ . Det talet är ungefär 1,4142.

Ett annat sådant tal är pi, som också skrivs π. pi är lika med förhållandet mellan ett varv kring en cirkel och sträckan genom den (omkretsen dividerad med diametern). pi ≈ 3,1416.

Positionssystemet

Alla tal kan delas upp i olika delar. På samma sätt som man sällan i affären handlar med bara enkronor utan också använder andra valörer kan man i matematiken dela upp tal i olika typer.

Om vi till exempel tar talet 1234 så är 4:an entalsiffra. Det är så många enkronor man skulle kunna använda om man i en affär ska betala 1234 kr. 3:an är tiotalsiffra och det är så många tiokronor man skulle ha. På samma sätt är 2:an hundratalssiffra och 1:an tusentalssiffra. Därför så är 1:an i 105 mer värd än 5:an.

I talet 315 är 1:an störst och 3:an värd mest men 5:an är den högsta siffran.

Exempel

Vilken siffra står på hundratalspositionen i talet 234?
Vilket värde har 3:an i talet 7235?

Lösning

Tredje siffran från höger är hundratalsiffra och där står 2.
Svar: På hundratalsplatsen står siffran 2.
Eftersom 3:an är tiotalsiffra så blir dess värde 3 · 10 = 30.
Svar: 3:an har värdet 30.

Uppgifter

1. Ange vad för slags tal följande är:

a) 1,65

b) 7

c) ½

d) π (pi)

Lösning
a) Decimaltal b) Heltal c) Bråktal d) Irrationellt tal

2. Skriv ett tal som är:

a) ett heltal.

b) ett bråk.

c) ett decimaltal.

3. Diskutera vilket slags tal följande kan vara:

a) 7 + 0,5

b) 2 ⋅ π

c) 0,3333… ⋅ 3

d) 140 / 2

Lösning
a) Decimaltal b) Irrationellt tal c) Heltal d) Heltal

4. Finns deta tal som kan vara mer än en sorts tal samtidigt? Till exempel både ett rationellt tal och ett heltal?

Lösning
Ja. Alla heltal är också bråktal. Alla heltal är också decimaltal med bara nollor som decimaler. Alla decimaltal som tar slut är också bråktal. Alla decimaltal som upprepar sig är också bråktal. Alla irrationella tal är också decimaltal men som inte upprepar sig.

5. Vad blir det för sorts tal om man:

a) adderar två heltal

b) adderar två decimaltal

c) multiplicerar två heltal

d) multiplicerar två decimaltal

e) dividerar två heltal

f) dividerar två decimaltal

g) multiplicerar två bråktal

h) multiplicerar två irrationella tal

Länkar

Fler digitala matteböcker med genomgångar om olika sorters tal:

Mer (avancerad) information om olika sorters tal finns också på wikipedia:

Teacher on demand (videogenomgångar):