Matematik för årskurs 7-9/Funktioner och grafer/Räta linjens ekvation

Räta linjer är som namnet antyder linjer som är raka. De har en särskilt viktig plats i matematiken då de är grunden för linjer som inte är räta, derivata (som kommer i gymnasiet) och många andra matematiska samband.

Alla räta linjer kan skrivas med formler: För horisontella linjer: y = m; För lodräta linjer: x = m; För linjer som går igenom origo: y = k ⋅ x; och för resten: y = k ⋅ x + m. I alla dessa är k och m något tal vilket som helst.

Lutning

Alla linjer som inte har oändlig lutning kan skrivas på formeln y = k ⋅ x + m. Nu kommer vi börja med när m = 0. Alla de linjerna beskriver samband mellan x och y som är proportionella. Det betyder att de går igenom origo om man ritar dem i ett diagram. Det innebär också att om man till exempel dubblad x'et så kommer också y'et dubblas, och samma sak om man tripplar eller halverar eller multiplicerar eller dividerar med vilket tal som helst.

k'et är det tal som visar hur mycket linjen lutar. Ju större k desto brantare lutar linjen. Om k'et är negativt lutar linjen neråt så att y'et blir mindre ju större x'et blir.

Övningsuppgifter

Uppgifter
Grund-nivå E-nivå C-nivå A-nivå Fördjupning Ej nivåsatt Lägg gärna till uppgifter här om du inte vet vilken nivå du ska lägga i dem i!

Skärningspunkt med y-axeln

Övningsuppgifter

{{Matematik för årskurs 7-9/Uppgifter

Diagram

Övningsuppgifter

Uppgifter
Grund-nivå E-nivå C-nivå A-nivå Fördjupning Ej nivåsatt Lägg gärna till uppgifter här om du inte vet vilken nivå du ska lägga i dem i!

Hitta från punkter

Om man har två eller fler punkter som är på en viss linje kan man räkna ut formeln för den linjen.

Genomgång

Vi vet att alla linjer kan skrivas på formeln y = kx + m. För att räkna ut k'et och m'et måste man ha två punkter. Har man fler väljer man de två som verkar lättast, men det spelar egentligen ingen roll vilka två man väljer.

Vi ska börja med att räkna ut vad k'et är. k'et är hur mycket linjen lutar. För att räkna ut lutningen tar du hur mycket linjen har ökat från den första punkten till den andra. Det vill säga skillnaden på y-värdena. Det måste du sedan dividera med på hur lång sträcka i x-led som linjen haft på sig att öka. Det vill säga skillnaden på x-värdena.

$k={y_{1}-y_{2} \over x_{1}-x_{2}}$

När man har gjort det så tar man och väljer en av sina punkter, vilken som hellst och stoppar in i sin formel (y = kx + m, fast med k'et utbytt mot det du räknade ut innan). Då får man en ekvation som kommer se ut något så här: 3 = 2 ⋅ 1 + m, om punkten man valde var (1, 3). Ur den ekvationen kan man då räkna ut vad m'et måste vara (i detta fallet 1).

Exempel

Exempel

Punkterna (1, 2) och (3, 4) ligger på en linje. Ange linjens ekvation. Lösning: Skillnaden i y-värde: 4 - 2 = 2. Linjen ökar alltså två steg mellan punkterna. Skillnaden i x-värde: 3 - 1 = 2. Punkterna ligger alltså två steg i sär. $k={y_{1}-y_{2} \over x_{1}-x_{2}}={2 \over 2}=1$ För varje steg vi tar åt höger ökar alltså y-värdet ett steg. k-värdet är alltså 1. Den första punkten har minst värde, så vi använder den när vi ska räkna ut m-värdet. (Det går lika bra att använda den andra om man vill) Formeln: y = k · x + m k-värdet och punkten (1, 2) sätts in: 2 = 1 · 1 + m m måste då vara lika med 1. Hela formlen: y = 1 · x + 1 Eftersom multiplikation med 1 är meningslöst brukar man inte skriva ut den 1:an. y = x + 1

Övningsuppgifter

Uppgifter

Grund-nivå E-nivå C-nivå A-nivå Fördjupning Ej nivåsatt 1. Punkterna (1, 1) och (2 4) ligger på en linje. Ange linjens ekvation. 2. Punkterna (0, 1) och (2 4) ligger på en linje. Ange linjens ekvation. 3. Punkterna (4, 2) och (6 4) ligger på en linje. Ange linjens ekvation. 4. Punkterna (-1, 1) och (1 3) ligger på en linje. Ange linjens ekvation. 5. Punkterna (4, 1) och (2 3) ligger på en linje. Ange linjens ekvation. 6. Punkterna (5, 3) och (3 1) ligger på en linje. Ange linjens ekvation. 7. Punkterna (2, 1), (4, 4) och (6 7) ligger på en linje. Ange linjens ekvation.

Länkar

• Geogebra-övning: Ändra på k och m i k*x+m och se vad som händer

Wikipedia:

• Rät linje
• Linjär ekvation