Högtalarkonstruktion

Inledning

Denna artikel är tänkt att vara så praktiskt användbar som möjligt så viss teori kommer att bortses ifrån. Artikeln handlar om vad man bör tänka på när man konstruerar högtalare och då först och främst högtalare av modellen sluten låda. På sikt kan det bli tal om formler och diskussion angående andra låd- och elementtyper men det hänger på min eller andras lust.

Sluten låda

Figur 1. Filtrets överföringsfunktion med Q-värdena 2,5, 1,25, 0,75, 0,63 och 0,5 (uppifrån och ner), vad som i original i Wikipedia visas är alltså ett LP-filter med k=1/2Q. Jag har inget beräkningsprogram så jag har kopierat denna från en artikel jag skrev för typ 10 år sedan. Bilden är tyvärr inte så applicerbar för Q-stegen är för stora. Man ser dock att spannet vad gäller H=-3dB är ungefär 0,7 till 1,8 när Q går från 0,5 till 2,5. För HP-filter är det bara att invertera talen.

Figur 2. Filtrets stegsvar. Angivet är k-värdena men man korrelerar bara med graferna ovan där högst Q ger högst puckel/amplitud. Vad jag vill visa är mest hur stegsvaret blir med högt Q-värde. Stegsvaret för Q=1/(2*0,6)=0,83 ser rätt bra ut för det ringer inte med mer än en "halv" period

Enligt källan så kan man skriva:

$R_{A}={\frac {(BL)^{2}}{(R_{E}+R_{g})S_{D}^{2}}}+R_{AB}+R_{AS}+R_{AR}...1$

och

$M_{A}=M_{AD}+M_{A1}+M_{AB}...2$

och

$f_{0}\approx fs{\sqrt {{\frac {V_{AS}}{V_{B}}}+1}}...3$

och

$Q_{T}={\frac {w_{o}M_{A}}{R_{A}}}...4$

där

RA är totala akustiska resistansen

MA är totala akustiska massan

fo är elementets resonansfrekvens när monterad i låda, ej samma som -3dB

fs är resonansfrekvensen hos elementet

VAS är ekvivalent akustisk volym hos upphängningen

VB är lådans effektiva volym (inklusive vad dämpvadd utökar den till)

wo är vinkelfrekvensen och därmed fo * 2pi

BL är kraftfaktorn för magneten och talspolen i N/A

RE är den elektriska resistansen hos talspolen

Rg är förstärkarens utresistans (mest intressant för rörförstärkare men även då försvinner termen)

SD är effektiva strålningsarean hos konen

RAB har (nog) med hur lådan i sig strålar

RAS är upphängningens akustiska resistans

RAR är akustiska strålningsresistansen

MAD är akustiska massan hos konen och lika med MMD/SD^2 där MMD är massan hos konen

MA1 är akustisk strålningsmassa hos konen

MAB är akustiska massan hos luftladdningen på baksdan konen pga lådan

Genom att titta på exempel i källan och räkna lite själv på basresponsen hos slutna lådor så kan man förenkla ekv 1 till

$R_{A}\approx {\frac {(BL)^{2}}{R_{E}S_{D}^{2}}}+R_{MS}/S_{D}^{2}...5$

ty RAR är liten i jämförelse och RAB har den noggranna författaren bara uteslutit samtidigt som RMS anges i datablad.

RAR är annars lika med 0,01f^2 för mediumstora högtalare (som dock blir liten för låga frekvenser)

Ekv 2 kan sedan ofta förenklas till

$M_{A}\approx M_{AD}=M_{MD}/S_{D}^{2}...6$

ty dom andra termerna är små, MA1 och MAB är annars lika med

$M_{A1}=0,23/r...7$

där r är radien hos elementet och

$M_{AB}={\frac {B\rho _{0}}{\pi r}}...8$

där B är en konstant som är beroende av kvoten mellan konarean och frontarean på lådan.

Ekv 4 är sedan intressant för den specificerar Q-värdet, utöver denna ekvation är det alltså bra att ha

$f_{0}\approx fs{\sqrt {{\frac {V_{AS}}{V_{B}}}+1}}...9$

Denna står inte i klartext i källan men man kan omvandla den till detta som samtidigt inte är nån exakt ekvation, det verkar annars som om man kan byta fs mot Qts för att få högtalarens Q-värde men vi tar det lite lugnt med detta och nyttjar källans metod.

Så när man mha av ekv 9 räknar ut en box-frekvens så är det ändå inte klart där för frekvensgången är beroende av Q-värdet, om dock Q-värdet är 1/sqrt(2) så är fb samma som f3 dvs -3dB.

För att på ett korrekt sätt räkna ut Q-värdet användes sedan ekv 4.

För att ta reda på vart f3 ligger får man dock ta till en luring för man kan skriva ett HP-filter av andra ordningen som

$H(s)={\frac {s^{2}/w_{0}^{2}}{s^{2}/w_{0}^{2}+{\frac {1}{Q}}s/w_{0}+1}}...10$

som ger upphov till beloppet

$|H|={\frac {(w/w_{0})^{2}}{\sqrt {({\frac {1}{Q}}w/w_{0})^{2}+(1-(w/w_{0})^{2})}}}...11$

som när w/wo=1 lite extra intressant ger

$H=Q...12$

Men det viktiga är att kunna räkna ut w/wo som funktion av Q och H=-3dB ur denna formel, jag lämnar bevisarbetet som övning för intresserade annars gäller

$(w/w_{0})^{2}=H^{2}{\frac {1/Q^{2}-2}{2-2H^{2}}}+/-{\sqrt {(H^{2}{\frac {1/Q^{2}-2}{2-2H^{2}}})^{2}-{\frac {H^{2}}{H^{2}-1}}}}...13$

Här kan vi nu sätta in Q och H och ut faller w/wo, det vanligaste är dock att w/wo för H=-3dB söks och då kan man skriva om ekvationen enligt

$(w_{3}/w_{0})^{2}=({\frac {1}{2Q^{2}}}-1)+{\sqrt {({\frac {1}{2Q^{2}}}-1)^{2}+1}}...14$

för att undvika förvirring skriver vi

$(w_{3}/w_{0})^{2}=({\frac {1}{2Q_{T}^{2}}}-1)+{\sqrt {({\frac {1}{2Q_{T}^{2}}}-1)^{2}+1}}...15$

Säg att vi nu har Q-värdet enligt ekv 4 som 1,2, då fås w/w0 som

$w/w_{0}=0,74...16$

så om fo enligt ekv 9 är 113Hz för baselementet, då är pga QT f3 på 74% av denna frekvens dvs 83Hz vilket är fördelen med element med höga Q-värden samtidigt som dom flesta är överens om att ett QT på 0,7 (och därmed Butterworth) är optimalt.

Värdena kommer från Monacor SPM-116/8 som är ett fyrtums baselement med pappersmembran i en låda på 3,5L.

Tar vi istället ett element från Faital Pro (4FE32) så hamnar QT på runt 0,7 och fo på 127Hz men iom att QT hamnar på 0,7 så blir det ingen förändring av f3.

Man kan summera med att säga att om inte Q-värdet är högt (dvs över 0,7) så händer inget neråt, f3 blir ungefär som fo samtidigt som högt Q-värde inte riktigt gillas för det brukar tillskrivas Chebyschev-filter och den typen ripplar.

Försök till härledning av formel för stegsvaret

Vi börjar med ett par Laplace-transformer

$sin(bt):{\frac {b}{s^{2}+b^{2}}}...17$

och

$e^{-at}f(t):F(s+a)...18$

Nu vet vi således att

$e^{-at}sin(bt):{\frac {b}{(s+a)^{2}+b^{2}}}...19$

vilket kan utvecklas till

${\frac {1}{b}}e^{-at}sin(bt):{\frac {1}{s^{2}+2as+a^{2}+b^{2}}}...20$

sen jämför vi med

$H(s)_{LP}={\frac {1}{s^{2}+{\frac {1}{Q}}sw_{0}+w_{0}^{2}}}...21$

Identifierar vi koefficientter i nämnaren fås

$2a={\frac {w_{0}}{Q}}...22$

och

$a^{2}+b^{2}=w_{0}^{2}...23$

dvs

$a={\frac {w_{0}}{2Q}}...24$

och

$b={\sqrt {w_{0}^{2}-a^{2}}}={\sqrt {w_{0}^{2}-({\frac {w_{0}}{2Q}})^{2}}}=w_{0}{\sqrt {1-({\frac {1}{2Q}})^{2}}}...25$

således blir transformen till tids-planet

$f(t)={\frac {1}{w_{0}{\sqrt {1-({\frac {1}{2Q}})^{2}}}}}e^{-{\frac {w_{0}}{2Q}}t}sin({w_{0}{\sqrt {1-({\frac {1}{2Q}})^{2}}}}t)...26$

där

$w_{0}={\frac {2\pi }{T_{0}}}...28$

b-termen gör mig dock osäker för den är beroende av det absoluta beloppet hos wo vilket inte skall betyda nåt, bara kvoten t/To skall gälla men jag får inte transformen att gå ihop annars.

Sammanfattning

Vi sammanfattar nyttiga formler enligt:

$R_{A}\approx {\frac {(BL)^{2}}{R_{E}S_{D}^{2}}}+R_{MS}/S_{D}^{2}...29$

$M_{A}\approx M_{AD}=M_{MD}/S_{D}^{2}...30$

$f_{0}\approx fs{\sqrt {{\frac {V_{AS}}{V_{B}}}+1}}...31$

$Q_{T}={\frac {w_{o}M_{A}}{R_{A}}}...32$

$(w_{3}/w_{0})^{2}=({\frac {1}{2Q_{T}^{2}}}-1)+{\sqrt {({\frac {1}{2Q_{T}^{2}}}-1)^{2}+1}}...33$

Av dessa ekvationer kan man således bygga sig en högtalare i sluten låda med ganska god koll.

Exempel I

Slutligen lämnar jag ut lite data för ett element som jag är lite småintresserad av, Monacor SPM116/8

Re=7,2 Ohm

fs=75Hz

S=87dB/W/m

MMS=MMD=3,8g

RMS: okänt, tyvärr

CMS= 9,8E-4 m/N

Qts=0,57

Vas=4,5L

BL=4,2Tm

SD=57cm^2=57*10^-4m^2

Stoppar man in dessa värden i formlerna ovan och observerar att min låda är på 3,5L så får man det jag pladdrar om, det är synd att RMS inte finns med för den termen tycks enligt bokens exempel vara i alla fall 20% av RA dvs mitt QT på 1,2 är aningen högt.

Nyttjar man å andra sidan

$Q_{T}\approx Qts{\sqrt {{\frac {V_{AS}}{V_{B}}}+1}}...34$

så får man 0,86, vilket dock är ganska högt i alla fall men jag är tveksam till giltigheten. Med detta värde på QT fås dock f3=82Hz beräknat utifrån ett fo på 113Hz.

Exempel II

Lämnar ut data för ett annat element också, en 5" subbas från Tangband dvs W5-1138SMF

Re=3,4 Ohm

fs=45Hz

S=82dB/W/m

MMS=MMD=28,8g

RMS: okänt, tyvärr

CMS= 3,7E-4 m/N

Qts=0,49

Vas=4,85L

BL=7,17Tm

SD=0,0094m^2

Stoppar man in dessa värden i formlerna ovan och observerar att min låda är på 3,5L så får man Qt=0,84 och fo=70Hz, f3 är med andra ord mindre än 70Hz pga av att Qt>0,71, uträknat blir f3 alltså 53Hz.

Zobel-kompensation

Zobel-kompensation av baselement

Högtalarspolen består av en serieresistans (Re) och en serieinduktans (Le), vid Zobel-kompensation parallellar man högtalarspolen med ett motstånd på samma som Re i serie med en kondensator på Le/Re^2 varvid det redan vid en betraktelse syns att kondensatorn kommer att minska i reaktans när Le ökar i reaktans och på sätt jämnas impedansen ut.

Vi ska nu räkna lite på detta.

$Z=(R_{e}+jwL_{e})//(R_{e}+1/jwC)$

vilket kan utvecklas till

$Z={\frac {R_{e}^{2}+R_{e}/jwC+R_{e}jwL_{e}+L_{e}/C}{2R_{e}+jwL_{e}+1/jwC}}$

eller

$Z={\frac {jwC(R_{e}^{2}+L_{e}/C)+R_{e}(1-w^{2}L_{e}C)}{2R_{e}jwC-w^{2}L_{e}C+1}}$

eller

$Z={\frac {{\frac {jwC(R_{e}^{2}+L_{e}/C)}{1-w^{2}L_{e}C}}+R_{e}}{{\frac {jwC(2R_{e})}{1-w^{2}L_{e}C}}+1}}$

sätter man här in det magiska

$C={\frac {L_{e}}{R_{e}^{2}}}$

så får man

$Z={\frac {{\frac {jwL_{e}2}{1-w^{2}{\frac {L_{e}^{2}}{R_{e}^{2}}}}}+R_{e}}{{\frac {jwL_{e}2/R_{e}}{1-w^{2}{\frac {L_{e}^{2}}{R_{e}^{2}}}}}+1}}$

och vid resonans dvs

$w={\frac {R_{e}}{L_{e}}}$

så blir Z lika med Re MEN i praktiken så är denna resonansfrekvens väldigt låg (typiskt 20Hz) och man spelar bra mycket högre upp i frekvens än så vilket får termen

$w^{2}{\frac {L_{e}^{2}}{R_{e}^{2}}}$

att bli mycket större än 1 varvid Z=Re faller ut även då ty

$Z\approx {\frac {{\frac {-jR_{e}^{2}2}{wL_{e}}}+R_{e}}{{\frac {-jR_{e}2}{wL_{e}}}+1}}=R_{e}{\frac {{\frac {-jR_{e}2}{wL_{e}}}+1}{{\frac {-jR_{e}2}{wL_{e}}}+1}}=R_{e}$

Jag skulle vilja påstå att Zobel-kompensation inte är nödvändigt så länge man ligger nära basens resonansfrekvens (säg en halv dekad ifrån), ligger man däremot långt ifrån resonansfrekvensen vid skapandet av filtret så avviker impedansen från nominell impedans så mycket att Zobel-kompensation blir direkt nödvändig dels för att kunna designa för rätt brytfrekvens men faktiskt även för att presentera en schysst last för förstärkaren (speciellt för rörförstärkare).

Konutslag

Följande kan tecknas

$\oint pdS=F...1$

Detta vill jag se som att den drivande mekanismen är trycket som jag hellre vill kalla tryckflödestäthet, resten av uttrycket kan man se som att kraft är flöde dvs utan tryckflödestäthet genom/via en area finns det ingen kraft (flöde).

Integrationen skall sedan ske över hela arean som trycket verkar på, därav oint.

Detta får till följd att

$p(x,R)={\frac {F(x)}{4\pi R^{2}}}...2$

ty p är divergensfri och radiellt riktad när vi avser en punktkälla som alla högtalare/antenner med storlekar << våglängden är, observera att tryck är kraft per areaenhet inifrån sfärens yta och att den avtar som 1/R^2 är allmänt känt.

För att få koll på konutslaget behöver vi skriva om kraften enligt

$p={\frac {\rho S_{D}x*a}{4\pi R^{2}}}...3$

eller

$p={\frac {\rho S_{D}x*{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}{4\pi R^{2}}}...4$

eller

$p=kx*{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}...5$

här gissar jag dvs

$\int \int pdtdt=k*\int \int xdxdx...6$

eller

$pT^{2}/2=kl^{3}/6...7$

eller

$l^{3}=3{\frac {p}{k}}T^{2}...8$

eller

$l^{3}=3{\frac {p}{k}}{\frac {1}{f^{2}}}...9$

där 3p/k är ointressant för vi vill räkna proportionerligt, dvs

$l^{3}\propto {\frac {1}{f^{2}}}...10$

eller

$l\propto f^{-2/3}...11$

eller

${\frac {l}{lo}}\propto ({\frac {fo}{f}})^{2/3}...12$

Om jag har rätt innebär detta att en halvering av frekvensen vid bibehållet tryck skulle innebära l/lo=1,6 dvs +60% i konutslag.

Filterkonstruktion

Första ordningens högtalarfilter

Jag försöker gör allt så enkelt som möjligt så detta avsnitt handlar bara om första ordningens filter för två-vägshögtalare.

Vad gäller L och C så är förfarandet sedvanligt dvs

$wL=4...1$

respektive

$1/(wC)=4...2$

där 4 är nuvarande elements nominella impedans, dämpningen av diskanten behöver i min högtalare vara hela 14dB ty diskantens känslighet är 96dB medans subbasens är 82dB, dämpsatsen kan då räknas ut enligt:

${\frac {R_{1}//4}{R_{1}//4+R_{2}}}=0,2...3$

och

$R_{1}//4+R_{2}=4...4$

där man enklast löser ut R1//4 ur (3) och stoppar in i (4).

Grupplöptid

Här har jag ingen aning om vad jag håller på med heller men vi kan väl leka lite.

Säg att vi har transformerna

$F(s)={\frac {1}{s}}:1...1$

$F(s+a):e^{-at}f(t)...2$

och om vi då har ett lågpassfiler så får vi

$H(s)={\frac {1/sC}{1/sC+R}}={\frac {1}{1+sRC}}$

eller

$H(s)={\frac {w_{0}}{w_{0}+s}}$

där w0=1/RC dvs genom att nyttja 1 och 2 transfomeras detta till

$F(s+a):f(t)=w_{0}e^{-w_{0}t}$

dvs vid t=1/w0 så fås 37% (1/e) av steget som alltså motsvaras av en avklingning.

Min villfarelse är således att 1/w0 är grupplöptiden.

Design av tredje ordningens filter

Tredje ordningens filter

Tredje ordningens HP-filter, skala: x=[0,1;3]f/fo, y=[0;1,4]

Två tredje ordningens filter-grafer, skala: x=[0,1;3]f/fo, y=[0;1,4]

Om u är spänningen över spolen, Z1 är impedansen hos spole//(C2+z) och uo är spänningen över elementet så gäller:

$u={\frac {Z_{1}}{Z_{1}+1/sC1}}...1$

där

$Z_{1}={\frac {sL(z+1/sC_{2})}{sL+z+1/sC2}}...2$

som kan skrivas om

$Z_{1}={\frac {s^{2}C_{2}Lz+sL}{s^{2}LC_{2}+szC_{2}+1}}...3$

Spänningsdelningen vid u blir då

$u={\frac {\frac {s^{2}C_{2}Lz+sL}{s^{2}LC_{2}+szC_{2}+1}}{{\frac {s^{2}C_{2}Lz+sL}{s^{2}LC_{2}+szC_{2}+1}}+1/sC_{1}}}...4$

som kan skrivas om enligt

$u={\frac {s^{2}C_{2}Lz+sL}{s^{2}C_{2}Lz+sL+1/sC_{1}*(s^{2}LC_{2}+szC_{2}+1)}}...5$

Om vi nu multiplicerar täljare och nämnare mes sC1 fås

$u={\frac {s^{3}C_{2}C_{1}Lz+s^{2}C_{1}L}{s^{3}C_{2}C_{1}Lz+s^{2}C_{1}L+s^{2}C_{2}L+szC_{2}+1}}...6$

eller

$u={\frac {s^{3}C_{2}C_{1}Lz+s^{2}C_{1}L}{s^{3}C_{2}C_{1}Lz+s^{2}L(C_{1}+C_{2})+szC_{2}+1}}...7$

eller

$u={\frac {s^{2}C_{1}L(1+sC_{2}z)}{s^{3}C_{2}C_{1}Lz+s^{2}L(C_{1}+C_{2})+szC_{2}+1}}...8$

Nu gäller

$u_{o}={\frac {z}{z+1/sC_{2}}}*u={\frac {szC_{2}}{szC_{2}+1}}*u...9$

vilket ger

$u_{o}={\frac {s^{3}C_{2}C_{1}Lz}{s^{3}C_{2}C_{1}Lz+s^{2}L(C_{1}+C_{2})+szC_{2}+1}}...10$

Detta kan även skrivas

$H(s)={\frac {(s/c)^{3}}{(s/c)^{3}+(s/b)^{2}+s/a+1}}...11$

där

$c^{3}={\frac {1}{zLC_{1}C_{2}}}...12$

och

$b^{2}={\frac {1}{L(C_{1}+C_{2})}}...13$

och

$a={\frac {1}{zC_{2}}}...14$

För att kunna plotta behöver vi dock gå över till jw-metoden (s=jw), formeln blir då

$|H(jw)|={\frac {(w/c)^{3}}{\sqrt {(w/a-(w/c)^{3})^{2}+(1-(w/b)^{2})^{2}}}}...15$

Ekvationssystemet 12-14 kan lösas rent algebraiskt enligt:

$C_{2}={\frac {1}{az}}...16$

och

$L={\frac {1}{C_{2}}}({\frac {1}{b^{2}}}-{\frac {a}{c^{3}}})...17$

och

$C_{1}={\frac {1}{Lb^{2}}}-C_{2}...18$

17 ger sen att

${\frac {ab^{2}}{c^{3}}}<1...19$

Genom att experimentellt välja

$a=0,9...20$

och

$b=1...21$

och

$c=1,3...22$

innebär detta (z=3,4)

$C_{2}=32,5\mu F\approx 33\mu F...23$

och

$L=125\mu H...24$

och

$C_{1}=47\mu F...25$

Vilket ger en fin överföringsfunktion som går igenom f/fo=1 vid -3dB och har en peak på +1,9dB vid +35% frekvens, brantheten är hela -25dB/oktav och komponentvärdena är positiva :)

Jag har fått nya fina komponentvärden från min högtalarguru till kompis och jag har konverterat dom till mitt system samt plottat funktionen.

Grafen är i det närmaste perfekt (maximum flat) och jag tror det är ett Butterworth.

Jag blev att räkna på hans branthet och fick det till ganska precis -18dB/oktav, mitt filter enligt ovan insåg jag sedan att jag felaktigt hade beräknat brantheten för det är inte -13dB/oktav utan snarare hela -25dB/oktav!

Att det blir så brant har med puckeln att göra vilket också syns i grafen.

Hans parametrar är för övrigt:

$a=0,5$

$b=0,71$

$c=1$

Burkljudsteori

Burkljud

Min teori är att först har vi bevarande av impus dvs

$m1v1=m2v2...1$

som ger att

$v2={\frac {m1}{m2}}v1...2$

där

$m1=\rho x_{L}S_{D}...3$

där XL är konutslaget och SD är membranarean, sen kan man teckna

$m2=\rho V_{2}...4$

dvs 2 övergår i

$v2={\frac {x_{L}S_{D}}{V2}}v1...5$

sen kanske man kan nyttja bernouillis ekvaktion för laminär strömning dvs

$p2={\frac {1}{2}}\rho v_{2}^{2}...6$

så att

$p2={\frac {1}{2}}\rho ({\frac {x_{L}S_{D}}{V2}}v1)^{2}...7$

dvs p2 går som

$p2\propto {\frac {1}{V_{2}^{2}}}...8$

eller om lådan är kubisk dvs

$V=S_{v}*{\sqrt {S}}_{v}...9$

där Sv är väggarnas areor, så fås kraften på väggarna som

$F_{v}=S_{v}*p2...10$

som då alltså går som

$F_{v}\propto {\frac {1}{S_{D}^{2}}}...11$

Förmodligen jättefel men bekräftar åtminstone delvis vad jag upplever :)

Konutslag med icke stillastående element

Jag har tänkt tokigt mycket på detta under min bussresa idag.

Tänker mig gummiupphängningen som en fjäderkonstant (ju större desto mer kraft krävs för att röra den).

Sen tänker jag att det eventuellt finns två scenarion där det ena är att elementchassit är bom stilla och det andra är att membranet är bom stilla.

Detta kan kanske ge två olika förflyttningar för membran respektive chassie.

Klassisk fysik säger att en fjäder fäst i vägg med en vikt svänger enligt följande diffekvation

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx...1$

och det finns ett par sätt att lösa denna på där jag börjar med min favorit dvs komplexa tal (som dock inte ger nån amplitudinformation utan mest att det svänger och vid vilken vinkelfrekvens)

Säg att

$x=x_{0}e^{jwt}$

derivering en första gång ger då

$jwx_{0}e^{jwt}$

derivering en andra gång ger

$-w^{2}x_{0}e^{jwt}$

och detta är lika med

$-w^{2}x_{0}e^{jwt}=-k[x_{0}e^{jwt}]$

ur detta får man

$w={\sqrt {\frac {k}{m}}}$

som alltså bara ger svar angående att det svänger och med vilken frekvens det svänger.

För att få svar på hur mycket det svänger krävs andra trick, dvs rena diffekvationer, följande gäller nog

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx$

denna integrerar vi en första gång och får

$v(t)=-kxt+C1$

v(0)=0 vilket ger att C1=0, integrerar vi en gång till får vi

$x(t)=-kx{\frac {t^{2}}{2}}+C2$

x(0)=0 vilket ger att C2=0, alltså

$x(t)=-kx{\frac {t^{2}}{2}}$

fast jag har glömt m*vänsterledet och sen är det dikutabelt vilket t vi ska använda, först den kompletta ekvationen

$x(t)=-{\frac {k}{m}}x{\frac {t^{2}}{2}}$

Slutligen tror jag på att t skall väljas som T/2 ty vi avser repetitiva signaler här och efter T/2 vänder godtycklig periodisk funktion vilket gör att om man föreställer sig att accellerationen är ett steg så blir första integreringen en ramp och andra integreringen en parabel, parabeln liknar sen en sinus.

Så genom att sätta in t=T/2 får man

$x(t)=-{\frac {k}{m}}x{\frac {1}{8f^{2}}}$

jag hade alltså en trevlig diskusion med en vän om hur man skulle kunna få elementchassit att vibrera mer, han föreslog att man skulle hänga på en vikt på konen och jag tror mig anse att formeln ovan gäller för ANTINGEN membranet ELLER elementchassit så det är bara att sätta in respektive massa.

Det här nog fullständigt fel :D

Ja, det är fel för båda x är x(t) som återigen kan förkortas bort dvs vi får inget svar på amplitud, ett lite mer seriöst försök är att komma med en ansats, går diffekvationen ut så är ansatsen riktig och efter en hel del trevanden så har jag kommit fram till att följande ansats fungerar

$x=At^{2}+Bt+Ce^{-dt}$

för se vad som händer vid första derivering

$x\prime (t)=2At+B-Cde^{-dt}$

som för

$x\prime (0)=v(0)=0$

ger att

$Cd=B$

vilket ger att

$x\prime (t)=2At+B-Be^{-dt}$

som vi deriverar igen och får

$x\prime \prime (t)=2A+Bde^{-dt}$

och

$x\prime \prime (0)=a(0)=0$

vilket ger

$2A+Bd=0$

med andra ord är

$Bd=-2A$

så att

$x\prime \prime (t)=2A-2Ae^{-dt}=2A(1-e^{-dt})$

Vilket är lösningen, dock vill vi hellre se på vårt utslag x(t) och med ovan randvillkor insatta får man

$x(t)=A(t^{2}-{\frac {2}{d}}t-{\frac {2}{d^{2}}}e^{-dt})$

Jag kan inte riktigt motivera det här men överst får vi en stationär (som jag kallar det) lösning vad gäller vinkelfrekvensen för systemet och jag repeterar pga lämplighet (som engelsmän säger)

$w_{s}={\sqrt {\frac {k}{m}}}=2\pi f_{s}$

vilket jag tror d skall ersättas med för vi har antagit en avklingande funktion och då klingar t alltid av relativt en periodtid modell 1/w, jag kan sen gissa att t=T/2 ty konen är driven av en periodisk funktion som vänder vid T/2.

Jag vet som vanligt inte vad jag snackar om men om mitt antagande är riktigt fås istället (nyttjar f=1/T)

$x(f)=A({\frac {1}{4f^{2}}}-{\frac {2}{w_{s}}}{\frac {1}{2f}}-{\frac {2}{w_{s}^{2}}}e^{-{\frac {w_{s}}{2f}}})$

Min Tangband subbas har ungefär dessa data:

k=1/300u N/m

m=30g

=>ws=300rad/s eller fs~50Hz

då kan vi skriva

$x(f)=A({\frac {1}{4f^{2}}}-{\frac {1}{300f}}-{\frac {2}{300^{2}}}e^{-{\frac {300}{2f}}})$

Blir inget klokare :)

Fast för lite lägre frekvenser fås (den sista termen är så liten så den kan man räkna bort)

$x(f)=A({\frac {1}{4f^{2}}})$

Hur låga? 1/300f måste alltså vara mindre än 1/4f^2 för min subbas, detta ger f<75Hz

Så för frekvenser under 75Hz så rör sig min subbas kon som ovan dvs inverst relativt frekvens^2.

Fick lära mig nåt intressant av min E-fältguro David K. Cheng idag dvs har man hittat en lösning till en diffekvation så är det den ENDA lösningen så eftersom "patiensen" gick ut ovan så har jag löst diffekvationen, hur man sen tolkar den är en annan sak.

Källor

1) Acoustics, Leo L. Beranek, 1954