Fysiksvammel med kontrollerad fusion som mål

Förord

Jag hade en plan för inte så länge sen om att bygga mig en liten Tokamak iform av ett cirkulärt glasrör med typ luft i som man sen joniserade och fick ett rosa plasma där diametern hos plasmat kunde styras mha ett gäng elektromagneter placerade toroidalt runt glasröret, på det sättet skulle man kunna vrida på en vridtransformator och justera storleken på plasmat, jag har inte tänkt så mycket mer på alla praktiska detaljer men helt klart är att det är denna princip som t.ex JET (Joint European Touros) har använt, dvs magnetisk inneslutning av ett plasma.

Jag har börjat studera grundläggande fysik på högskolenivå, det första avsnittet härledde formeln för en ideal gas, det är här jag vill börja för man kan nämligen betrakta ett plasma på många sätt, ett seriöst sätt är som en gas.

Kapitel I, Introduktion till gaser och deras tryck

Bilden visar den Maxwellska fördelningsfunktionen för en viss hastighet hos en partikel i en gas

En gas definieras av speciellt tre parametrar, PVT dvs tryck, volym och temperatur.

Jag har länge haft svårt för att förstå tryck samtidigt som jag för inte alltför längesen lärde mig förstå temperatur.

Temperatur tycks vara relaterat till hastigheten hos partiklarna och därmed deras rörelseenergi.

Ett vanligt försök till beskrivning är den Maxwellska fördelningsfunktionen

${\frac {1}{A}}{\frac {dn}{dv}}=e^{-{\frac {mv^{2}/2}{kT}}}=e^{-{\frac {E_{k}}{kT}}}...1.1$

som beskriver hastighetsfördelningen i en gas dvs att de flesta partiklar har en Ek mindre än kT (ty funktionen är då 1/e).

Det här är diffust, jag skulle vilja definiera om den Maxwellska fördelningsfunktionen på följande sätt:

${\frac {mv^{2}}{2}}=kT...1.2$

vilket åtminstone stämmer för två frihetsgrader, detta ger

$v={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}=v_{kT}...1.3$

Om vi nu gör ett variabelbyte i den Maxwellska fördelningsfunktionen så kan vi få

${\frac {1}{A}}{\frac {dn}{dv}}=e^{-{\frac {m(v-v_{kT})^{2}/2}{kT}}}...1.4$

där fördelningsfunktionen istället är centrerad kring $v=v_{kT}$ för ärligt, vadå centrerad kring v=0?

Speciellt om det handlar om hög temperatur är ju det rent utsagt absurt fast jag fattar inte riktigt detta.

Tänkt lite mer på det här idag och börjar tro att jag har rätt, med min approach så får man dock inte bara en "Gaussklocka" utan två dvs en likadan för dom negativa hastigheterna men denna konsekvens är aningen akademisk för det enda man behöver göra är att halvera sannolikheten för dom positiva hastigheterna, $v_{kT}$ ändrar f.ö tecken när det gäller dom negativa hastigheterna men det är intressant att det finns negativa hastigheter även om det inte är så konstigt för hastighet är en vektor men att man måste ta hänsyn till negativa hastigheter är diffust.

Tryck däremot tror jag precis jag lärt mig vad det faktiskt är för nåt.

Man brukar alltid säga att tryck är kraft per ytenhet fast hur bra funkar den beskrivningen om det inte finns några väggar?

Jag har haft jättesvårt för att förstå det här men idag hände nåt, det fanns två bilder i mitt kompendium där det ena var två partiklar som kolliderade fullständigt elastiskt (idealt sett) och det andra var det mer lättförståeliga dvs samma typ av kollision men då av partikel i vägg.

Det är relativt lätt att inse att impulsändringen hos en partikel när den kolliderar med en vägg är 2P ty P=mv och för att partikeln ska studsa tillbaks med samma hastighet så måste hastigheten (som har riktning och är en vektor) ändras 2v dvs impulsändringen blir 2P.

Men hur var det nu med trycket när det inte finns några väggar?

Hör och häpna, trycket kommer från partikelkollisioner!

Eftersom vi vet att impulsändringen är 2mv och att kraftekvationen är

$F=m{\frac {dv}{dt}}={\frac {dP}{dt}}...1.5$

så har vi att kraften är

$F={\frac {d(2mv)}{dt}}...1.6$

och här blir det lite intressant för trycket kan tecknas

$p=F/S...1.7$

där S skulle kunna vara tvärsnittsarean av partikeln (idealt sett), då fås

$p={\frac {1}{S}}{\frac {d(2mv)}{dt}}...1.8$

Så vi kommer fram till att trycket beror på kollisioner mellan partiklar, det finns alltså där även om det inte finns väggar.

För att gå händelserna lite i förväg kan vi teckna:

$p=nkT...1.9$

där n är partikeltätheten, k är Boltzmanns konstant och T temperaturen.

Om vi sedan gör experimentet med vad som händer med trycket högt upp i atmosfären där det på jordytan är

$p=\rho gh...1.10$

där rho är densiteten hos luft och h atmosfärens höjd (grovt räknat) så fås att lufttrycket teoretiskt går mot noll när atmosfären tar slut (för då är luftpelaren h noll) men alldeles i den randen är lufttrycket ändå inte noll samtidigt som kollisionerna partiklarna emellan är mycket få.

Av 1.9, som bara är min föredragna variant av den ideala gaslagen, ser man att när trycket går mot noll så går temperaturen eller partikeltätheten mot noll, i detta ytterläge vet vi att partikeltätheten faktiskt är noll men att temperaturen inte är 0K vilket är skumt för temperaturer skilt från noll innebär att partiklar finns och rör sig så vad kan det vara som rör sig men inte finns?

Jag har också svårt att förstå varför atmosfären överhuvudtaget tar slut, är det gravitationen eller?

Jag har mycket att lära mig :D

Numeriskt exempel

Tryckformeln (p=nkT) gör att man kan beräkna molekyltätheten (n) i luft som ungefär 10^25st/m^3 vid 300K (+27C) med ett normalt lufttryck (p) på väldigt nära 10^5Pa eller 1atm eller 10000kg/m^2 eller 1kg/cm^2.

Kapitel II, Härledning av Boyle's lag

Dom två linjerna representerar experimentellt uppmätta data sånär som på den streckade delen

Det kan visas att under konstant tryck så gäller

$V=V_{0}(1+\gamma t)...2.1$

på samma sätt kan det visas att vid konstant volym så gäller

$P=P_{0}(1+\beta t)...2.2$

där beta och gamma faktiskt passande nog är samma (förmodligen vid små temperaturändringar, men vi kommer tillbaks till det) och tom såpass enkelt uttryckta som, vilket är experimentellt bevisat

$\gamma =\beta =1/273C...2.3$

Då Celsius är en ur fysikalisk synvinkel lite knölig enhet så kan man byta t mot T-273C och får då istället:

$V=V_{0}\gamma T...2.4$

för en isobar och

$P=P_{0}\gamma T...2.5$

för en isokor, där isobar betyder att trycket är konstant och isokor betyder att volymen är konstant.

Konstanten gamma har dock nu övergått i 1/273K för vid variabelbytet är det tydligt att t blir -273C när T=0 och detta är inget annat än Kelvinskalan dvs för t=0 fås t.ex P1=P2 medans för T=273K fås samma sak.

Sen finns det en lag som kallas Boyles lag som beskriver vad som händer med tryck och volym ur en isoterm betraktelse.

Jag har sett en enkel härledning av denna i mitt kompendium men jag köper det inte så vi får försöka härleda Boyle's lag att

$PV=konstant...2.6$

för en isoterm (dvs samma temperatur i början som i slutet av en) process.

Vi kan tänka såhär, vi har från början P1V1T1, sen förändras trycket (dock inte volymen men temperaturen plussar vi tillfälligt på med $\Delta T$), då har vi

$P2=P1+P1\gamma \Delta T...2.7$

om sen volymen ändras men inte trycket så får vi

$V2=V1+V1\gamma \Delta T...2.8$

Men om processen totalt sett ska vara isoterm så krävs att

$V2=V1+V1\gamma (-\Delta T)...2.8$

Om vi multiplicerar V2 med P2 fås

$P2V2=(P1+P1\gamma \Delta T)*(V1+V1\gamma (-\Delta T))...2.9$

som kan skrivas om enligt

$P2V2=P1V1+P1V1\gamma \Delta T-P1V1\gamma \Delta T-P1V1(\gamma \Delta T)^{2}...2.10$

dvs

$P2V2=P1V1(1-(\gamma \Delta T)^{2})...2.11$

Observera nu att jag sätter in gamma=1/273K

$P2V2=P1V1(1-({\frac {\Delta T}{273}})^{2})...2.12$

dvs bara när den (kvadratiska) temperaturvariationen är liten i förhållande till 273K så är det relevant att

$P2V2=P1V1=konstant...2.13$

Dvs, Boyles's lag

Numeriskt exempel

Uppblåsning av en ballong är en relativt snabb och därmed isoterm process, uppblåst ballong kan kanske tänkas klara 10kg/cm^2 som är lika med 10 atmosfärers tryck (där en atmosfär är normalt lufttryck)

Kapitel III, Härledning av ideala gaslagen

Gasers beroende av tryck, volym och temperatur. Om man står i 0 och vill ta sig till Q så kan man alltså gå två helt olika vägar

Man kan teckna PVT i ett tredimensionellt rum, tänk Er att Ni har P uppåt och V till höger samt T in i pappret.

P går då linjärt med gamma som raka streck från origo, V går på samma sätt som raka streck från origo men T är hyperbolisk pga PV=konst (Boyle's Lag).

Då kan man vandra runt i det här rummet dvs om man tar en punkt P1V1T1 och går via t.ex en Isokor (V=konst) till en annan punkt så har vi tydligen P2V1T2 om vi sen går till en tredje punkt via en Isoterm (T=konst) så har vi att P3V3T2.

Nu är:

$P2=P1\gamma T2...3.1$

och pga isotermen T2

$P3V3=P2V1=P1\gamma T2V1...3.2$

dvs

$P3V3=P1V1\gamma T2...3.3$

Om vi går en annan väg typ från P1V1T1 via en Isobar (P=konst) dvs P1V2T2 och sen via en Isoterm till P3V3T2 så har vi att

$V2=V1\gamma T2...3.4$

sen har vi att

$P3V3=P1V2...3.5$

dvs

$P3V3=P1V1\gamma T2...3.6$

På två olika sätt får man när man går i PVT-rummet tydligen

$P3V3=P1V1\gamma T2...3.7$

Som kan skrivas om enligt

$P3V3=P1V1T2/To...3.8$

så att

${\frac {P_{3}V_{3}}{T_{2}}}={\frac {P_{1}V_{1}}{To}}...3.9$

där To=1/gamma dvs 273K och P1 och V1 bara indikerar ursprungspunkten

Högerledet har dedikerats en konstant som kallas R för allmänna gaskonstanten och om slutliga PV-produkten är P3V3 kan man skriva om ekvationen enligt:

$PV=RT_{2}...3.10$

R gäller här för endast en mol, allmänt måste vi då skriva den allmänna gaslagen som

$PV=n_{m}RT...3.11$

där n_m betecknar antal mol för PV-produkten är rimligen proportionerligt mot hur mycket gas det finns.

Ett sätt att eventuellt förstå det på är att det ju inte kan finnas nåt tryck om det inte finns partiklar, dock kan en enda partikel utöva tryck mot "virtuella" väggar även om jag börjat se gastryck mer som kollisioner av partiklar.

Fast om man vill mäta en enda partikels tryck antar jag att man kan köra ner en "spade" och bara mäta hur länge och ofta partikeln träffar spaden.

Numeriskt exempel

PV=n_mRT ger att lufttrycket vid 300K är 100 000Pa eller 1kg/cm^2, formeln kan skrivas om som p=nkT och med känd partikeltäthet (n) enligt tidigare blir det så.

Fritänkande, tryck i en ballong

Om man ökar med ett gäng med partiklar så måste fler per tidsenhet både krocka med varandra och med väggarna, det skulle eventuellt kunna tänkas vara som så att PV är linjärt med n_m (så läge T inte ändras), låter lite väl lämpligt men i alla fall en måttlig förhöjning av molmängden (n_m) borde ge nåt sånt.

Man kan tänka sig fallet där man blåser upp en ballong, om blåst lite och stannar så har vi en viss volym, temperturen är konstant inför nästa blås (och även efter nya blåset om än efter en liten stund kanske), så vi har att

$PV=n_{m}RT...3.12$

som kan skrivas om enligt

$P={\frac {n_{m}}{V}}RT...3.13$

Om nu n_m ökar lika mycket som V så att moldensiteten är konstant då är i så fall är trycket P också konstant.

Kan detta verkligen stämma?

Eventuellt för vad som händer är att ballongen bara fylls med normalt lufttryck för trycket utanför den klena ballongen är lika stort som trycket innanför annars skulle ballongen kollapsa, formeln säger således att ju mer "mol" du blåser in i ballongen desto mer V kommer ballongen ge.

Det enda vi har gjort är att vi blåst in fler mol och ballongen har reagerat med att utvidga sig för att ge samma tryck innanför som utanför.

Möjligtvis blir det ett litet övertryck precis när man blåser in luften men därefter måste trycket i ballongen vara konstant och lika med trycket utanför.

Så hur spränger man en ballong då?

Det är nog inte tryckets fel utan expansionsmöjligheten hos plasten (dvs hur mycket kraft den tål vid tänjning), gissar jag.

Om ballongen varit i en låda med stela väggar hade man kunna haft en tryckskillnad (fast då hade man ju inte kunnat blåsa upp den :) ).

Kapitel IV, Härledning av tryckets beroende av den kinetiska energin

En visualisering av partiklar som träffar en yta

Beräkning av ringarea hos en sfär

Låt oss anta att vi har en yta med gas där själva ytan betecknas S och den infinitesimala höjden av ytan betecknas vdt.

Gasmolekyler träffar sedan denna yta i en vinkel gentemot normalen kallad theta.

Eftersom det bara är impulser vinkelrätt mot ytan som har betydelse kan då volymen dV tecknas

$dV=S\cdot vdt\cdot cos\theta ...4.1$

där en molekyl med theta som infallsvinkel skall hinna flytta sig från ena S-lagret till andra S-lagret på tiden dt.

n betecknar antalet partiklar per volymsenhet, om man vill ta med antalet partiklar per volymsenhet, per hastighetsenhet och per vinkelenhet kan man teckna n som

$dn(v,\theta )=n(v,\theta )\cdot dv\cdot d\theta ...4.2$

då har man differentialen av molekyltätheten som funktion av hastighetsförändringen och infallsvinkelnsförändringen.

Antalet molekyler inom theta+d_theta och v+dv är då:

$dN(v,\theta )=dV\cdot dn(v,\theta )=S\cdot vdt\cdot cos\theta \cdot n(v,\theta )\cdot dv\cdot d\theta ...4.3$

då har vi alltså antalet molekyler inom volymen V+dV enligt ovan.

Impulsändringen hos en molekyl med infallsvinkeln theta normalt mot ytan S kan sedan tecknas

$P(v,\theta )=2mv\cdot cos\theta ...4.4$

så att alla molekylers impulser inom molekylantalet N+dN eller P+dP då kan tecknas som

$P(v,\theta )\cdot dN(v,\theta )=dP(v,\theta )=2mv\cdot cos\theta \cdot S\cdot vdt\cdot cos\theta \cdot n(v,\theta )\cdot dv\cdot d\theta ...4.5$

eller

$dP(v,\theta )=2mv^{2}\cdot S\cdot dt\cdot cos^{2}\theta \cdot n(v,\theta )\cdot dv\cdot d\theta ...4.6$

Om vi tecknar

${\frac {n(v,\theta )\cdot dv\cdot d\theta }{n(v)\cdot dv}}={\frac {antalet.molekyler.inom.v+dv.och.\theta +d\theta }{antalet.molekyler.inom.v+dv}}={\frac {2\pi sin\theta \cdot d\theta }{4\pi }}...4.7$

dvs vi inser att nämnaren är hela rymdvinkeln och täljaren är ringarean hos rymdvinkelsegmentet som alltså är en kon med höjden d_theta och horisontella radien sin(theta) samt omkretsen 2PiSin(theta), då kan vi byta ut täljaren i vänsterledet mot

${\frac {1}{2}}sin(\theta )\cdot d\theta \cdot n(v)\cdot dv...4.8$

så att vi i vårt uttryck för dP får

$dP(v,\theta )=mv^{2}\cdot S\cdot dt\cdot cos^{2}\theta \cdot sin\theta \cdot d\theta \cdot n(v)\cdot dv...4.9$

Sen har vi att

$F={\frac {dP}{dt}}...4.10$

vilket gör att dt kan "förkortas bort" och eftersom trycket definieras som

$p={\frac {F}{S}}...4.11$

så kan S förkortas bort och vi har

$dp(v,\theta )=mv^{2}\cdot n(v)\cdot dv\cdot cos^{2}\theta \cdot sin\theta \cdot d\theta ...4.12$

Detta borde stämma även om jag är osäker på varför det blir cos^2 ty vi har ju redan inledningsvis bestämt att theta är infallsvinkeln gentemot normalen hos de infallande molekylerna, kan man då inte teckna en partikels impulsändring som P=2mv bara?

Men kanske beräkningen av den infinitesimala volymen och dess partiklars infallsvinklar är skild från impulsändringarnas infallsvinklar, just nu betraktas dom som oberoende dvs cos(theta) för vardera fall men jag är skeptisk.

Okej, vi behöver nu integrera upp trycket och vi har

$\int {dp(v,\theta )}=\int {mv^{2}\cdot n(v)\cdot dv\cdot sin\theta \cdot cos^{2}\theta \cdot d\theta }...4.13$

vilket eventuellt är lika med

$\int {dp(v,\theta )}=2\int {{\frac {mv^{2}}{2}}\cdot n(v)\cdot dv}\cdot \int {sin\theta \cdot cos^{2}\theta \cdot d\theta }...4.14$

där

$\int sin\theta \cdot cos^{2}\theta \cdot d\theta ...4.15$

minst måste integreras och då är frågan inom vilka gränser?

Vi vet ju att theta är definierad som en infallsvinkel (relativt normalen till ytan) och i vår infinitesimala volym definieras infallsvinklarna mellan noll och 90 grader, detta är även vinkelspannet för en rymdvinkel över halva rummet ty konan kan bara gå från noll grader till 90 grader, vinklar över 90 grader ger ju en inverterad kon, dvs

$\int _{0}^{\pi /2}sin\theta \cdot cos^{2}\theta \cdot d\theta ={\frac {1}{3}}[-cos^{3}\theta ]_{0}^{\pi /2}=-{\frac {1}{3}}[cos(\pi /2)^{3}-cos(0)^{3}]={\frac {1}{3}}...4.16$

Detta är ÄNTLIGEN rätt!

Man kan således konstatera att jag fått fram att

$p=\int dp(v,\theta )={\frac {1}{3}}\int mv^{2}\cdot n(v)\cdot dv={\frac {2}{3}}\int {\frac {mv^{2}}{2}}\cdot n(v)\cdot dv...4.17$

eller

$p={\frac {2}{3}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {mv^{2}}{2}}\cdot n(v)\cdot dv={\frac {2}{3}}\int _{-\infty }^{\infty }Ek_{p}\cdot n(v)\cdot dv={\frac {2}{3}}Ek_{p}\int _{-\infty }^{\infty }n(v)\cdot dv={\frac {2}{3}}Ek_{p}\cdot n...4.18$

Observera att hastighet är en vektor dvs det finns både positiv och negativ hastighet.

n(v) är en klockformad fördelningsfunktion som asymptotiskt går mot noll, därför kan den integreras med oändligheten som gränser.

Trycket är alltså 2/3 gånger totala antalet molekylers enskilda kinetiska energitäthet eller helt enkelt den totala kinetiska energitätheten ty

$p\propto nEk_{p}={\frac {N}{V}}Ek_{p}={\frac {Ek}{V}}...4.19$

där N är antalet molekyler, V är volymen och Ekp står för varje molekyls kinetiska energi.

Eftersom jag har lite svårt att greppa det här med kinetisk energitäthet kommer här ett försök till förenkling:

$p\propto {\frac {1}{V}}\sum _{j=1}^{N}{j\cdot Ek_{p}}...4.20$

dvs om varje molekyls kinetiska energi summeras upp och delas med volymen så fås trycket.

Det är dock rimligt att anta att ju fler molekyler per volymsenhet vi har desto större tryck har vi men vi har faktiskt inte kommit så långt i vårt härledande, dessutom funderar jag på varför man nyttjar sfärisk inneslutning av partiklarna när man härleder uttrycken, för är sfärisk inneslutning verkligen så relevant i praktiken?

Numeriskt exempel

Rymdvinkel definieras som 4pi*sin^2(alfa/2) där alfa är halva vinkeln hos konens öppning, rymdvinkeln kan alltså max bli 4pi (rundstrålande, alfa=pi) men om det bara "strålas" i halva rymden (alfa=pi/2) så blir rymdvinkeln 2pi.

Kapitel V, Kinetiska energin och tryckets relation till temperaturen

Figuren visar olika aspekter hos tryck, bl.a annat visar den hur den kinetiska energin blir beroende av temperaturen

Ideala (obs) gaslagen säger oss att:

$pV=n_{m}RT...5.1$

där n_m är molmängden och R allmänna gaskonstanten.

Men ovan hade vi ju att

$p={\frac {2}{3}}nEk_{p}...5.2$

som multiplicerat med V ger

$pV={\frac {2}{3}}NEk_{p}...5.3$

dvs

$n_{m}RT={\frac {2}{3}}NEk_{p}...5.4$

och

$n_{m}=N/N_{a}...5.5$

där Na är Avogadros tal, så vi har

${\frac {R}{N_{a}}}T={\frac {2}{3}}Ek_{p}...5.6$

R/Na har sedan en egen konstant dvs k eller Boltzmans konstant vilket ger

$Ek_{p}={\frac {3}{2}}kT...5.7$

och eftersom

$p={\frac {2}{3}}nEk_{p}...5.8$

så blir

$p=nkT...5.9$

Ekvation 5.7 är extra intressant för man kan visa att den kinetiska energin är uppdelad i tre komponenter där man har 1/2kT per komponent eller frihetsgrad, det är bara att tänka sig ett ortogonalt rum med tre dimensioner, extra intressant är också att den kinetiska energin är oberoende av massan dvs små molekyler rör sig snabbare än stora molekyler, deras kvadratiska hastighet är omvänt linjärt med massan, mv^2 är alltså konstant vid konstant N (pV är således konstant...humm)

Så om man har en behållare i, säg rumstemperatur, med molekyler av en viss molekylmassa och sen byter ut molekylerna mot en helt annan molekylmassa, som inte ens behöver vara av samma koncentration/täthet, så kommer linjärt sett endast molekylernas kvadratiska hastighet ändras och då till "förmån" för de lätta molekylerna.

Intressant.

Sen att trycket har att göra med koncentrationen/tätheten (nEkp) det är lite en annan sak för intressantast är vad som sker med själva molekylerna.

Numeriskt exempel

Man kan visa att för fusion av en elektron med en proton så krävs det en hiskelig temperatur hos elektronen (10^10K) ty den kinetiska energin enligt Ek=mv^2/2=kT behöver vara på c.a 1MeV vilket innebär en hastighet hos elektronen på 600 miljoner m/s vilket alltså är över ljushastigheten på 300 miljoner m/s fast här kommer speciella relativitetsteorin (SR) in som reducerar hastigheten men helt klart behöver elektronen färdas med mycket hög (termisk) hastighet.

Fritänkande, ifrågasättande av ideala gaslagens giltighet

Denna ekvation

$P2V2=P1V1(1-({\frac {\Delta t}{273}})^{2})...5.10$

säger att

$P2V2=P1V1=konstant...5.11$

men den är bara sann om dT<<273K, denna ekvation kallas också för Boyle's ekvation och är "sann" för en isoterm.

Men om dT inte är mycket mindre än 273K faller ju detta och hur ofta är temperaturvariationerna kring rumstemperatur?

En annan sak som är tveksam är gamma vs beta, gamma är nyttjat för volymens temperaturberoende och beta för tryckets temperaturberoende, dessa proportionalitetskonstanter sägs vara lika och det kanske dom är också men jag känner att det i så fall mest gäller temperaturer som inte avviker för mycket från 273K, vid flera tusen Kelvin är det inte alls lika säkert samma samband gäller.

Fast vad betyder det här egentligen?

Små avvikelser från 273K gör uppenbarligen så att PV=konst gäller, men vad är detta för avvikelser? Temperaturändringarna är ju netto noll för det är så vi räknat ut det, kanske man snarare skulle tolka Boyle's lag som sådan att så länge temperaturändringen under själva processen är liten i förhållande till 273K så gäller lagen?

Men varför skulle temperaturändringen, som vi är intresserad av, alltid vara så liten och hålla sig kring 273K?

Jag tycker att Boyle's lag inte gäller generellt utan bara i undantagsfall och om Boyle's lag inte gäller då gäller generellt sett inte allmänna gaslagen heller samtidigt som det är utifrån allmänna gaslagen man härlett mycket, först visar jag allmänna gaslagen:

$pV=n_{m}RT...5.12$

och vi har enligt ovan att

$p={\frac {2}{3}}nEk_{p}...5.13$

sen har vi efter multiplikation med V

$pV={\frac {2}{3}}NEk_{p}...5.14$

dvs

$n_{m}RT={\frac {2}{3}}NEk_{p}...5.15$

och ur detta faller (se ovan)

$Ek_{p}={\frac {3}{2}}kT...5.16$

och

$p=nkT...5.17$

Men i genereringen av ekvationerna har vi nyttjat allmänna gaslagen, som inte verkar så allmän längre.

Igår fick jag användning för den sista ekvationen, när jag skulle lägga in en pilsner i frysen så gick dörren osedvanligt lätt upp samtidigt som jag såg en massa is, jag ville inte avfrosta för jag hade precis köpt 3kg ICA Basic pyttipanna så jag fick fatt i en stekspade av trä och körde mot isen likt isskrapa, lyckades få bort det mesta samtidigt som "suget" i dörren återkom, när jag sedan tänkte på detta sug och varför det uppstod kom jag så enkelt på att det ju är undertryck i skåpet pga att det enda som skiljer utanför och innanför är typ 40 grader vilket skapar ett undertryck, fysik är faktiskt mycket roligt :)

Fritänkande, tryck utan väggar

Observerade en påse på ICA häromdan.

Den var först rätt luftfylld, sen tryckte personen ihop påsen och den blev mindre luftfylld.

Vad var det som hände?

Först måste vi inse att trycket inuti påsen är lika stort som trycket utanför, sen kan vi anta att tempereturen före ihoptryckandet och efter ihoptryckandet är samma, då gäller

$p=nkT...5.18$

där alltså både p och T är samma, vilket gör att tätheten (n) också måste vara konstant.

Detta är egentligen inte så akademiskt för vi har ju släppt ut en massa luftmolekyler samtidigt som volymen har minskat dvs tätheten är samma.

Blåser vi in fler luftmolekyler så ökar volymen av samma anledning dvs N/V är konstant eller tätheten är samma, dvs Volymen följer mängden.

Jag tycker det är lite svårt att greppa den här enkla biten, kanske den konstanta koncentrationen av molekyler är ett enklare betraktelsesätt?

Vi har ju liksom inget annat än luft där inne dvs samma typ av luft som utanför, så varför skulle då koncentrationen vara annorlunda?

En annan tanke jag har är att när nu tryck definieras via impulsändringar mot väggar, vad är då tryck utan väggar?

Säg att vi har en kubikmil med luft, sen tittar vi i en kubikdecimeter med luft inuti denna kubikmil.

Vi har då inga väggar för tiden för att molekyler ska återkomma vid träffar från kubikmilens väggar är så lång att vi kan försumma deras påverkan.

Vad är det då som bestämmer trycket?

Molekyler kan träffa varandra och på så sätt få en impulsändring men vad jag förstått räknas det inte med sånt, dessutom är molekylers tvärsnittsareor mycket små.

Men om man inför en liten testarea i form av en "spade" så kan man mäta trycket.

Detta påminner lite om Heisenbergs osäkerhetsrelation för trycket går tydligen bara att mäta om man inför en störning, utan spaden så går trycket ej att mäta.

Jag är samtidigt lite benägen att tro att trycket, utan väggar, visst beror på krockar mellan molekyler och att det är det som i själva verket är trycket.

För trycket kan inte bara finnas där när spaden finns där, trycket finns ju liksom där ändå.

Och trycket är faktiskt definierat (se ovan) utifrån impulsändringar dvs det MÅSTE finnas impulsändringar för att det skall finnas nåt tryck OCH den enda gången det kan finnas det utan väggar är mellan molekyler, annars finns det inget tryck.

Vi har ovan mött flera intressanta uttryck för trycket och ett av dom mer intressanta är att trycket är proportionellt mot kinetiska energitätheten (dvs antalet molekyler gånger deras enskilda kinetiska energi delat med volymen):

$p={\frac {2}{3}}nEk_{p}...5.19$

Sen har vi fått lära oss att den enskilda molekylens kinetiska energitäthet står i direkt proportion mot temperaturen:

$Ek_{p}={\frac {3}{2}}kT...5.20$

Dvs trycket står i direkt proportion mot molekyltätheten och temperaturen:

$p=nkT...5.21$

vilket är samma formel vi började detta kapitel med att använda.

Till vardags verkar det trivialt, temperaturen efter är lika med temperaturen före (långsamma processer), så för olika "påsars" volym är koncentrationen (n) samma.

Det ska dock påpekas att de flesta av ovan ekvationer utgår från den Ideala Gaslagen, vilket är en MYCKET förenklad variant av verkligheten, jag ska ifrågasätta detta sätt att se på gaser i nästa kapitel.

Det är också intressant att även om vi är vana vid att enheten på tryck är N/m^2 så är den också i gasers fall J/m^3 dvs en mängd gas har helt enkelt (kinetisk) energi, detta tycker jag är en mycket diffus definition men faktum är att tryck är kinetisk energi per volymsenhet dvs inom en volymsenhet finns en mängd Joule där denna Joule har att göra med hur snabbt partiklarna rör sig.

Fritänkande, partiklars olika hastighet

Jag börjar det här kapitlet med att förklara en liten aha-upplevelse, jag har alltid tyckt att täthetsbereppet är diffust sen räknade jag mha

$p={\frac {2}{3}}nEk_{p}...5.22$

där

$Ek_{p}={\frac {mv^{2}}{2}}...5.23$

ut att

$p={\frac {1}{3}}{\frac {Nmv^{2}}{V}}...5.24$

dvs

$p\propto \rho v^{2}...5.25$

där rho helt enkelt är densiteten.

Mycket intressant tycker jag för

$Ek_{p}={\frac {mv^{2}}{2}}...5.26$

ihop med

$Ek_{p}={\frac {3}{2}}kT...5.27$

säger att v^2 är konstant under en isoterm process som gaser i vardagen i regel är dvs trycket har BARA med densiteten hos gasen att göra och densiteten bestäms av vilket yttre tryck vi tillför dvs en löst upplåst ballong har garanterat samma tryck inne som ute och detta pga att just densiteten är samma ty vi har ju samma luft (och temperatur) både innanför och utanför ballongen, skulle vi dock applicera ett yttre tryck modell ballong i en låda och pressa ihop lådans väggar, då skulle helt enkelt densiteten hos gasen öka ty volymen minskar ju samtidigt som mängden partiklar är precis samma.

Så man kan tänka sig att gasmassor som befinner sig i olika situationer men med samma temperatur att deras tryck är enbart beroende av deras densitet.

Ekv 9.6 säger samtidigt att den kinetiska energin per partikel är en halv kT/frihetsgrad dvs 3/2kT och ihop med ekv 9.5 kan man skriva

$v^{2}={\frac {3}{m}}kT...5.28$

som tydligt visar på hur kvadratiska medelhastigheten är beroende av massa och temperatur.

När man tittar på den kinetiska energin (ekv 5.26) och jämför med den kinetiska energins temperaturberoende (ekv 5.27) så ser man tydligt hur temperatur hänger ihop med kvadratiska medelhastigheten OCH partiklarnas massa.

Om temperaturen stiger så ökar uppenbarligen partiklarnas kinetiska energi, partiklarnas kvadratiska medelhastighet ökar då också (naturligtvis) men vad som inte är så glasklart är kanske att den kvadratiska medelhastigheten hos tyngre partiklar ändras mindre än hos lättare partiklar.

Kort och gott, om temperaturen stiger så ökar hastigheten hos tyngre partiklar mindre än hos lättare vilket i sig är mycket fascinerande.

Fritänkande, uppskattat tryck hos luft

Ekvation

$p=nkT...5.29$

är kortfattad men n är onekligen lite diffus så om man istället tecknar

$p={\frac {N\cdot m}{V}}\cdot {\frac {kT}{m}}={\frac {\rho }{m}}kT...5.30$

så blir den mer begriplig.

Man kan se det som så att partikel-tätheten (n) i första fallet kan tecknas

$n={\frac {p}{kT}}...5.31$

där man rent praktiskt kan räkna ut n om man har temperaturen och trycket.

Men om man inte har trycket eller temperaturen samtidigt som man vet vilken typ av gas man har och därmed dess mass-densitet (rho) och molkylvikt (m) så är det lättare att räkna ut tryck eller temperatur enligt ekv 5.30.

För säg att du har temperaturen och du vet vilken typ av gas du har, vilket tryck har du då?

Ekv 10.1 säger bara förhållandet mellan temperatur och tryck när partikel-densiteten (n) är känd, det intressanta är egentligen att rho/m är precis samma som n men rho/m är lättare att förstå och beräkna.

Vi kan göra ett försök att uppskatta molekyl-densiteten (N/V=n) hos luft vid 20C (293K), om vi nyttjar ekv 5.31 så får vi

$n={\frac {p}{kT}}={\frac {1,013E+5}{1,38E-23*293}}=2,5E25...5.32$

dvs så många luftmolekyler finns det inom en kubikmeter luft under normalt lufttryck och rumstemperatur.

Om vi istället räknar på mass-densitet och massan för en molekyl så får vi att trycket blir

$p={\frac {\rho }{m}}kT={\frac {1}{2/10X2X16m_{p}+8/10X2X14m_{p}}}kT...5.33$

där mp är massan för en proton och atomnumret för syre är 16 och atomnumret för kväve är 14 samtidigt som fördelningen i luft är 80% kväve.

Massan för en kubikmeter luft tror jag sedan är 1kg.

Sätter vi in detta tillsammans med rumstemperaturen (293K) så får vi normalt lufttryck som:

$p={\frac {\rho }{m}}kT={\frac {1}{2/10X2X16*1,67E-27+8/10X2X14*1,67E-27}}1,38*10^{-23}*293=84kPa...5.34$

Rätt nära 101,3kPa faktiskt :)

Notering: Densiteten för luft vid 273K (0 grader Celsius) och 1atm tryck är snarare 1,293kg/m^3 vilket gör att mitt uppskattade tryck går upp till ungefär 273/293*1,293/1*84kPa=101,2kPa som är att jämföra med 101,3kPa dvs 1atm och normalt lufttryck.

Kapitel VI, Härledning av stöttal och fria medelvägslängden

En visualisering av hur partiklar i en gas krockar med varandra

Med tanke på hur ekv 9.1 härleds så verkar det som om det inte kan finnas tryck utan impuls-ändringar, detta betyder att partiklarna måste krocka med varandra eller med nån slags vägg(ar).

Dvs finns det inga väggar, måste dom krocka med varandra.

Jag har nämnt att ett sätt att beräkna trycket är att nyttja det faktum som ekv 9.1 ger dvs att tryck är kinetisk energitäthet (härlett från impuls-ändringar, dock).

Personligen skulle jag föredra att kalkylera tryck utan väggar som en funktion av partikel-kollisioner med antagandet att det verkligen är mängder med kollisioner som pågår i en gas av "normal" partikeldensitet.

Låt oss försöka kalkylera stöttalet, n_s, som ger antalet kollisioner per tids och ytenhet:

Den infinitesimala volymen är

$dV=Svdt\cdot cos\theta ...6.1$

där theta är kollisionsvinkeln relativt normalen hos ytan S

Antalet partiklar inom denna volym är

$dn_{s}=n(v,\theta )dvd\theta dV...6.2$

men det har ovan visats att genom att jämföra ringarean hos rymdvinkelsegmentet med hela rymdens vinkel så är denna ekvation lika med

$dn_{s}=n(v)dv{\frac {1}{2}}sin\theta d\theta dV...6.3$

Så att antalet molekyler inom denna volym är

$dn_{s}=n(v)dv{\frac {1}{2}}sin\theta d\theta Svdt\cdot cos\theta ...6.4$

och delar man detta med dt och S så får man antalet partiklar per tids och ytenhet, dvs

$n_{s}=\int _{-\infty }^{\infty }n(v)vdv\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{2}}sin\theta \cdot cos\theta d\theta ...6.5$

där

$\int _{-\infty }^{\infty }n(v)vdv=n<v>...6.6$

där <v> är medelhastigheten och det kan även visas att vinkel-integralen blir 1/4 så att antalet kollisioner per ytenhet och tidsenhet blir:

$n_{s}={\frac {1}{4}}n<v>...6.7$

Låt oss nu försöka kalkylera fria medelvägslängden för en molekyl i en gas, volymen den upptar medans den "flyger" är

$dV={\frac {\pi }{4}}d^{2}vdt...6.8$

Alla molekyler inom diametern 2r+d (där 2d är cc-avståndet) berörs då av den första molekylen som innebär en volym

$dV=\pi d^{2}vdt...6.9$

då är antalet molekyler inom dV som riskerar krock per tidsenhet

$N_{ct}=n\cdot {\frac {dV}{dt}}=n\pi d^{2}v\approx nd^{2}v...6.10$

Sen har jag fått lära mig att detta skall korrigeras med sqrt(2) pga Maxwell, så vi gör det också

$N_{ct}={\sqrt {2}}\pi nd^{2}v...6.11$

Eftersom detta är ett antal så blir det en kollisionssannolikhet per molekyl om man delar med antalet molekyler, antalet partiklar som upplever en kollision blir alltså

$n\cdot N_{ct}={\sqrt {2}}\pi n^{2}d^{2}v...6.12$

således är antalet kollisioner som medelvärde (pga sannolikheten)

${\frac {1}{2}}n\cdot N_{ct}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\pi n^{2}d^{2}v...6.13$

Fria medelvägslängden är sedan medelhastigheten delat med ovanstående kollisionssannolikhet vilket beror på att ekv 11.10 är definierad per tidsenhet.

$l={\frac {v}{{\sqrt {2}}\pi nd^{2}v}}={\frac {1}{{\sqrt {2}}\pi nd^{2}}}...6.14$

Nu har vi två ekvationer: 6.7 & 6.11.

Ekv 6.7 säger oss att antalet kollisioner per ytenhet och tidsenhet är

$n_{s}={\frac {1}{4}}n<v>...6.15$

så om vi känner n och v så kan vi räkna ut antalet kollisioner per ytenhet och tidsenhet

För vanlig luft i rumstemperatur kan man räkna ut n enligt

$n={\frac {p}{kT}}...6.16$

och använder man p=1,013E5 och T=293K får man E25 nånstans.

Hastigheten kan då räknas ut genom

$Ek={\frac {3}{2}}kT={\frac {mv^{2}}{2}}...6.17$

eller

$v={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}...6.18$

där m kan uppskattas som

$m\approx {\frac {2}{10}}*2*(8m_{n}+8m_{p})+{\frac {8}{10}}*2*(7m_{n}+7m_{p})\approx {\frac {2}{10}}*2*(16m_{p})+{\frac {8}{10}}*2*(14m_{p})\approx 30m_{p}...6.19$

där proportionerna för kväve och syre i luft är medtagna samtidigt som massan för protoner (m_p) är nära massan för neutroner (m_n), uppskattad massa blir 4,8E-26kg och därmed blir uppskattad hastighet E3m/s, detta ger ungefär stöttalet E28 per ytenhet och tidsenhet.

Så hur bred är en proton?

Jag har aldrig hört talas om den datan i en Physics Handbook men låt oss uppskatta:

Låt oss säga att densiteten motsvarar nåt nånstans i mitten av periodiska systemet, säg koppar, densiteten hos koppar är 900kg/m^3 vilket vi avrundar till 1ton/m^3.

Vi vet sen att protonen väger E-27 kg och dess volym är 4pi/3R^3~piR^3~R^3, då är

$\rho ={\frac {m}{V}}...6.20$

dvs

$V={\frac {m}{\rho }}...6.21$

som ger R~E-10, dvs en tvärsnittsarea på runt E-20, multiplicerar vi ekv. 6.15 med detta så får vi ns=E7 som alltså är antalet partikel-partikel kollisioner per sekund i vanlig luft.

Notering: Denna uppskattning är fullständigt galen, radien hos en proton är 5 magnituder mindre, se nedan.

Fria medelvägslängden för luft är sedan

$l={\frac {1}{{\sqrt {2}}\pi nd^{2}}}...6.22$

och om man använder d som approximativt antal protoner gånger R (i.e E-15), n=2,5E25 och (14+16) "protoner" hos luft så blir det 2,5m luftmolekylerna hinner färdas innan dom kolliderar (?, detta är korrigerat, tidigare hade jag 1um...).

Med andra ord sker det mängder med kollisioner i luft (och troligtvis även andra gaser med hyfsad täthet) dvs man kan i praktiken inte räkna med nåt sånt som Dalton's lag dvs

$p=\sum n_{i}kT...6.23$

ty man kan uppenbarligen inte betrakta gaserna som isolerade och nyttjandes av hela volymen var för sig.

Radien $r_{0}$ hos atomkärnan är av storleksordningen E-15 och generellt kan radien pga masstalet tecknas

$R\approx r_{0}*A^{1/3}\approx 10^{-15}*A^{1/3}...6.24$

där A är masstalet (antalet protoner plus antalet neutroner).

Jag går lite händelserna i förväg och tecknar nåt skojigt efter att jag skrev ovan, man kan se tätheten av en atomkärna genom att betrakta

$n\approx {\frac {A}{R^{3}}}={\frac {A}{(r_{0}A^{1/3})^{3}}}={\frac {1}{r_{0}^{3}}}\approx 10^{45}...6.25$

dvs tätheten är konstant och oberoende av antalet nukleoner (A) och man kallar detta för "kärnmateria" ty alla grundämnens kärnor är lika täta, dom väger alltså lika mycket per volymsenhet, luft har t.ex tätheten ~E25 och vatten har tätheten ~E28, kärnmateria är alltså hela 17 magnituder tätare än vatten!

Jag tycker detta är sanslöst fascinerande!

Vi går alltså omkring i en värld där precis alla atomkärnor har samma täthet, saker består alltså inte ens av grundämnen eller molekyler utan av kärnmateria, något förenklat :)

Jag känner för att elaborera lite till, densiteten hos ett grundämne kan skrivas

$\rho ={\frac {NAm_{p}}{V}}=nAm_{p}...6.26$

där A är masstalet och m_p är protonmassan som neutronmassan har avrundats till, dvs

$n={\frac {\rho }{Am_{p}}}...6.27$

så om något har densiteten rho så är det bara att dela med den molekylära massan så fås tätheten, till exempel kan vi återigen knyta ann till vatten och ungefär få

$n\approx {\frac {1000}{10^{-26}}}=10^{29}...6.28$

ty vatten innehåller ungefär (2*1+2*8) protonmassor per molekyl vilket bara ger en magnituds skillnad jämfört med en proton, dvs E-26.

Här ser man att vi har kvoten E45-E29=E16 vad beträffar kärnmaterians täthet jämfört med vattens täthet, nu är det emellertid extra intressant att dela dessa sexton i tre varvid vi får ungefär E5 som man pga r^3 kan relatera till hur pass långt ut från kärnan som elektronerna befinner sig där det är känt att Bohr-radien för den ensamma elektronen runt Väte är på typ 1Å och om vi från ovan accepterar E-15 som kärnradie så är kvoten elektronradie/kärnradie ungefär E5 som alltså upphöjt till tre blir E15 vilket är nära dom E16 vi redan räknat med.

Numeriskt exempel

Densiteten hos en proton kan uppskattas till hiskeliga 10^18kg/m^3 liksom alla nukleoner har som densitet, jämför till exempel med guld som har en densitet på 10^4kg/m^3 bara. 10^18kg/m^3 ändras inte med atomnumret, alla grundämnen har således samma densitet. Man kallar detta för densiteten hos kärnmateria, all materia är alltså uppbyggda av kärnmateria (protoner/neutroner).

Kapitel VII, Molekylär diffusion

Molekylär diffusion

Föreställ Er en rektangulär kub där mitten på längden motsvarar x, hitom x har vi sedan fria medelvägslängden dvs x-l, på andra sidan x har vi på samma sätt x+l, kortsidan av den rektangulära kuben antar vi sedan har arean S, en infinitesimal volym byggs då upp av Svdt i x-riktningen.

Vi antar sedan följande:

1) Alla molekyler är "medelmolekyler" med hastigheten <v>

2) Alla molekyler går sträckan l mellan kollisioner

3) Molekylerna är fria att röra sig i positiv och negativ x-, y- och z-led.

Vad händer vid tvärsnittet i x?

1/6 av alla molekyler som vid en tidpunkt t+dt lämnar volymselementet Svdt (vid x-l) passerar i tidsintervallet t+tao, t+dt+tao genom tvärsnittet vid x, detta antal är

$N_{x-1}={\frac {1}{6}}n_{x-l}Svdt...7.1$

På samma sätt passerar

$N_{x+1}={\frac {1}{6}}n_{x+l}Svdt...7.2$

som lämnade motsvarande volymselement Svdt vid x+l.

På tiden dt och genom tvärsnittsarean S passerar således nettoantalet

$\Delta N={\frac {1}{6}}n_{x-l}Svdt-{\frac {1}{6}}n_{x+l}Svdt...7.3$

i positiva x-riktningen.

Men

$n_{x-1}=n_{x}+dn=n_{x}+{\frac {dn}{dx}}(\Delta x)=n_{x}+{\frac {dn}{dx}}(-l)...7.4$

och

$n_{x+1}=n_{x}+dn=n_{x}+{\frac {dn}{dx}}(\Delta x)=n_{x}+{\frac {dn}{dx}}(+l)...7.5$

dvs

$n_{x-l}-n_{x+l}=-2l{\frac {dn}{dx}}...7.6$

Nettotransporten genom tvärsnttet vid x - uttryckt i antal molekyler per tids och ytenhet - blir alltså (jfr 7.3)

$j={\frac {1}{6}}v(n_{x-l}-n_{x+l})=-{\frac {1}{3}}lv{\frac {dn}{dx}}...7.7$

Vi har alltså en partikelflux enligt

$j=-D{\frac {dn}{dx}}...7.8$

där

$D={\frac {1}{3}}lv...7.9$

som kallas diffusionskoefficienten.

Numeriskt exempel

Diffusionskonstanten är alltså 1/3lv så om temperaturen ger en termisk energi på 3/2kT och längden är 1dm så blir D vid 300K 3,7*10^3 m^2/s för elektroner.

Kapitel VIII, Impuls-diffusion (viskositet=inre friktion)

Viskositetens inre struktur

Vi låter gasen strömma i x-led, strömningslamellernas ytnormal definierar då y-axeln.

1/6 av molekylerna som i tidsintervallet (t, t+dt) lämnar volymselementet Svdt vid y-l passerar i tidsintervallet (t+tau, t+dt+tau) genom tvärsnittet vid y, antalet är

${\frac {1}{6}}n_{y-1}Svdt...8.1$

pss passerar

${\frac {1}{6}}n_{y+1}Svdt...8.2$

uppifrån.

Netto i positiva y-riktningen är

${\frac {1}{6}}Svdt(n_{y-l}-n_{y+l})...8.3$

men denna gång är molekyldensiteten konstant dvs

$n_{y-l}-n_{y+l}=0...8.4$

Vi har således inget nettoflöde av molekyler i y-led.

Men hastigheten

$v_{x}...8.5$

(strömningshastigheten) beror av y, varför vi istället för partikeltransporten är intresserade av impulstransporten genom S vid y.

Molekylerna från y-l medför impulsen

$mv_{x,y-l}...8.6$

och molekylerna från y+l medför impulsen

$mv_{x,y+l}...8.7$

Nettotransport av impuls genom S (vid y) på tiden dt är då

${\frac {1}{6}}Svdt(nmv_{x,y-l}-nmv_{x,y+l})...8.8$

med

$v_{x,y-l}=v_{x,y}+{\frac {dv_{x}}{dy}}(\Delta y)_{1}=v_{x,y}+{\frac {dv_{x}}{dy}}(-l)...8.9$

och

$v_{x,y+l}=v_{x,y}+{\frac {dv_{x}}{dy}}(\Delta y)_{1}=v_{x,y}+{\frac {dv_{x}}{dy}}(+l)...8.10$

har vi

$v_{x,y-l}-v_{x,y+l}=-2l{\frac {dv_{x}}{dy}}...8.11$

Vi har alltså en impulstransport per tidsenhet genom ytan S vid y enligt

${\frac {dp_{x}}{dt}}={\frac {1}{6}}Svnm(-2l{\frac {dv_{x}}{dy}})={\frac {1}{6}}Sv\rho (-2l{\frac {dv_{x}}{dy}})...8.12$

alltså

${\frac {dp_{x}}{dt}}=-{\frac {1}{3}}Svl\rho {\frac {dv_{x}}{dy}}=-DS\rho {\frac {dv_{x}}{dy}}=F_{x}...8.13$

Numeriskt exempel

Om hastigheten hos en skiva i vatten ändras 1m/s och höjden från botten är 1m samt densiteten rho är 1000kg/m^3 och vi har en yta hos skivan på 1m^2 och en diffusionskonstant (D) på 1/3lv så fås en viskositetkraft på 333N som kan övrsättas till ungefär 30kg dvs skivan går knappt att rubba!

Kapitel IX, Termisk diffusion

Termiska diffusionens inre struktur

På samma sätt som vid molekylär diffusion så har vi att:

På tiden dt och genom tvärsnittsarean S passerar nettoantalet

$\Delta N={\frac {1}{6}}n_{x-l}Svdt-{\frac {1}{6}}n_{x+l}Svdt...9.1$

i positiva x-riktningen.

Nu är dock

$n_{x-l}=n_{x+l}...9.2$

men

$v_{-}...9.3$

är ej lika med

$v_{+}...9.4$

ty

$Ekp={\frac {\alpha }{2}}kT...9.5$

och

$Ekp={\frac {1}{2}}m<v>^{2}...9.6$

som ger att v- ej är lika med v+ ty T- är inte lika med T+ (alpha är antalet frihetsgrader dvs >=3).

Vi är nu intresserade av den värmemängd som transporteras genom ytan S vid x:

från x-l, från volymen S<v_->dt, passeras S vid x av

${\frac {1}{6}}nS<v_{-}>dt...9.7$

molekyler, vardera med energin

${\frac {\alpha }{2}}k[T-{\frac {dT}{dx}}l]...9.8$

Total passeras S vid x av energin

$dQ={\frac {1}{6}}nS<v_{-}>dt[{\frac {\alpha }{2}}k(T-{\frac {dT}{dx}}l)]-{\frac {1}{6}}nS<v_{+}>dt[{\frac {\alpha }{2}}k(T+{\frac {dT}{dx}}l)]...9.9$

vilket ger

${\frac {dQ}{dt}}\approx {\frac {1}{6}}nS<v>{\frac {\alpha }{2}}k2(-{\frac {dT}{dx}}l)=-{\frac {nS<v>\alpha kl}{6}}{\frac {dT}{dx}}...9.10$

eller

${\frac {dQ}{dt}}=-\gamma S{\frac {dT}{dx}}...9.11$

med

$\gamma ={\frac {n<v>\alpha kl}{6}}...9.12$

med

$D={\frac {1}{3}}<v>l...9.13$

kan vi alternativt skriva

$\gamma =n{\frac {\alpha }{2}}kD...9.14$

Här är jag osäker för stora Cv är

$C_{V}={\frac {\alpha }{2}}R...9.15$

där R är allmänna gaskonstanten och således relevant för gaser.

Lilla cv definieras som

$c_{V}={\frac {1}{m}}({\frac {dQ}{dT}})_{V}...9.16$

och är värmekapacitiviteten för solida material

För gaser definieras stora Cv som

$C_{V}={\frac {1}{n_{m}}}({\frac {dQ}{dT}})_{V}...9.17$

där n_m är mängden gas i mol och dQ pss den värmemängd som måste tillföras för att temperaturen skall öka.

I vilket fall definierar min lärare gamma som

$\gamma =n{\frac {\alpha }{2}}kD=\rho c_{V}D...9.18$

Där den sista likheten för mig är något diffus.

Idag är den mindre diffus, man får dock ta till termodynamikens första huvudsats (som kommer senare i kompendiet) dvs

$dQ=dU+dW=dU+pdV...9.19$

där dQ är tillförd vämemängd, dU ändringen av den inre energin och dW arbetet gasen uträttar (i just det här fallet är dV noll så inget arbete uträttas).

Den inre energin U kan skrivas

$U=N*Ekp=n_{m}N_{A}Ekp=n_{m}N_{A}{\frac {\alpha }{2}}kT=n_{m}{\frac {\alpha }{2}}RT=n_{m}C_{V}T...9.20$

där vi tillfälligt struntar i sista liknelsen, 9.16 och 9.19 ger sedan att

$mc_{V}dT=dQ=dU=n_{m}{\frac {\alpha }{2}}RdT...9.21$

därmed

$mc_{V}=n_{m}{\frac {\alpha }{2}}R...9.22$

dvs

$c_{V}={\frac {n_{m}}{m}}{\frac {\alpha }{2}}R={\frac {N}{N_{A}m}}{\frac {\alpha }{2}}R={\frac {N}{m}}{\frac {\alpha }{2}}k={\frac {1}{m_{p}}}{\frac {\alpha }{2}}k...9.23$

Redan i allra första ledet ser man dock att lilla cv är stora n_m*Cv/m (jfr 9.17), mp står för partikelmassan ty lilla cv förutsätter egentligen en mängd partiklar modell solida material medans Ekp är en enskild partikel eller molekyls kinetiska energi.

Om vi tar oss en ny titt på 9.18 som jag repeterar

$\gamma =n{\frac {\alpha }{2}}kD=\rho c_{V}D...9.24$

Så har vi från 9.23 att

${\frac {\alpha }{2}}k=m_{p}c_{V}...9.25$

och ekvationen går ut.

Indexeringen V hos 9.16 och 9.17 innebär att volymen hålls konstant dvs dV=0 och om dV=0 är arbetet dW=0.

Numeriskt exempel

3/2kT termisk energi för en enkelatomig gas med bara elektroner vid 300K innebär en hastighet hos elektronerna på knappt 100000m/s, luftmolekyler har sedan hastigheten 300m/s, c.a (formel för enkelatomig gas har då används).

Fritänkande, förenklad syn på diffusion

Föreställ er en rektangulär låda med ett membran på mitten som molekylerna fritt kan penetrera, då kan vi säga:

Molekylär diffusion: Om koncentrationen till vänster om membranet är större än koncentrationen till höger om membranet så kommer stöttalet

$n_{s}={\frac {1}{4}}nv...9.26$

där n är molekylkoncentrationen och v den termiska hastigheten göra så att tätheten på höger sida om membranet till slut blir lika med tätheten på vänster sida.

Impuls-diffusion: Om det förutom "kaotisk" termisk hastighet finns en hastighetskomponent riktad längs med ett snitt och denna hastighetskomponent är olika över respektive under ett gränssnitt så bildas en nettokraft ty

$F={\frac {dP}{dt}}=m{\frac {dv}{dt}}...9.27$

detta kallas också viskositet.

Termisk diffusion: Här har molekylerna olika termisk hastighet och om v1, [T1], n1 gäller för första kammaren och v2, [T2], n1 för andra kammaren har vi samma täthet men olika termisk hastighet dvs nu handlar det alltså om skillnader i rörelseenergi och olika rörelseenergi kommer att utjämna sig liksom värmeenergi flödar från varmt till kallt (och inte tvärtom).

Kapitel X, Termodynamikens första huvudsats

Hur gaser reagerar på värme

Termodynamikens första huvudsats lyder:

$dQ=dU+dW...10.1$

där dQ är tillförd värmemängd, dU ändringen av den interna energin och dW av gasen utfört arbete.

Ekvation 16.1 kan förenklas till

$dQ=dU+pdV...10.2$

vilket enkelt inses om man har en gas i en cylinder och kolven med arean S rör sig dvs arbetet blir då Fdx vilket är samma som pSdx=pdV.

Inre energin är sen

$U=NEk_{p}=n_{m}N_{A}Ek_{p}=n_{m}N_{A}{\frac {\alpha }{2}}kT=n_{m}R{\frac {\alpha }{2}}T=n_{m}C_{V}T...10.3$

där Ekp är den enskilda partikelns rörelseenergi, nm är molmängden, NA är avogadros tal, alfa är antalet frihetsgrader (tre för enkelatomiga gaser), R är allmänna gaskonstanten, T är temperaturen och Cv är specifika värmet.

Dvs den inre energin hos en konstant mängd molekyler är bara beroende av temperaturen.

Sen finns det nåt som för solida element kallas värmekapacitiviteten och kan tecknas

$c_{V}={\frac {1}{m}}{\frac {dQ}{dT}}...10.4$

som för gaser istället kan tecknas

$C_{V}={\frac {1}{n_{m}}}({\frac {dQ}{dT}})_{V}...10.5$

och

$C_{P}={\frac {1}{n_{m}}}({\frac {dQ}{dT}})_{P}...10.6$

där Cv innebär att volymen hålls konstant och Cp innebär att trycket hålls konstant.

Numeriskt exempel

Cp/Cv för luft är 1,4 enligt Physics Handbook.

Kapitel XI, Studier av sambandet mellan Cp och Cv

Stadiet för en gas när man tillför värme, förskjutningen är dx

Betrakta en gasbehållare vars "lock" utgörs av en friktionsfritt rörlig kolv och om trycket är konstant så ger detta en kraft F=pS på kolven, en förskjutning dx av kolven innebär sedan att gasen uträttar arbetet:

$dW=Fdx=pSdx=pdV...11.1$

Första huvudsatsen

$dQ=dU+dW...11.2$

och sambandet dW=pdV ger

$dU=dQ-pdV...11.3$

eller

${\frac {dU}{dT}}={\frac {dQ}{dT}}-p{\frac {dV}{dT}}...11.4$

och eftersom vi känner dQ/dT vid konstant tryck så innebär detta

${\frac {dU}{dT}}=n_{m}C_{P}-p{\frac {dV}{dT}}...11.5$

och eftersom vi sedan förut känner U så kan vi också skriva

$n_{m}C_{V}=n_{m}C_{P}-p{\frac {dV}{dT}}...11.6$

differentiering av allmänna gasekvationen

$pV=n_{m}RT...11.7$

ger oss att

$pdV+Vdp=n_{m}RdT...11.8$

där dp=0 för konstant tryck, så vi får att ekv 11.6 blir

$n_{m}C_{V}=n_{m}C_{P}-n_{m}R...11.7$

dvs

$C_{V}=C_{P}-R...11.8$

som brukar skrivas om enligt

${\frac {C_{P}}{C_{V}}}=1+{\frac {R}{C_{V}}}=\gamma ...11.9$

som alltså fått en egen konstant, gamma.

Vi vet sedan tidigare att

$C_{V}={\frac {\alpha }{2}}R...11.10$

så om en gas har 3 frihetsgrader (enatomig) så blir

$C_{V}={\frac {3}{2}}R...11.11$

vilket är vad man brukar räkna med men en tvåatomig gas har dessutom två rotationer och därmed fem frihetsgrader vilket bara nämns som kuriosa.

Numeriskt exempel

R=8,31 så Cv för en enkelatomig gas med tre frihetsgrader (dvs alfa=3) är ungefär 13 och Cp är då ungefär 21, för en tvåatomig gas som luft (med fem frihetsgrader dvs alfa=5) så är Cv istället ungefär 21 och Cp blir då ungefär 29 varvid Cp/Cv blir 1,4.

Kapitel XII, Termiska delprocesser

En hypotetisk termisk process som använder alla tillgängliga delprocesser

Det finns fyra olika delprocesser och dessa är:

1) Isokor, konstant volym (dV=0)

2) Isobar, konstant tryck (dp=0)

3) Isoterm, konstant temperatur (dT=0)

4) Adiabat, vanligtvis snabba förlopp där inget värmeutbyte sker med omgivningen (dQ=0)

Vi repeterar av lämplighetsskäl första huvusatsen:

$dQ=dU+pdV...12.1$

Med hjälp av denna kan man teckna en isokor som

$dQ=dU...12.2$

eller

$({\frac {dQ}{dT}})_{V}={\frac {dU}{dT}}=n_{m}C_{V}...12.3$

vilket ger att ändringen av den inre energin blir lika med

$dU=n_{m}C_{V}dT...12.4$

Eftersom dV är noll så uträttar gasen inget arbete men förändringen av den inre energin

$U=NEk_{p}=n_{m}{\frac {\alpha }{2}}RT...12.5$

och därmed gasens termiska hastighet är proportinell mot temperaturförändringen.

Nästa process är en isobar, här är alltså dp=0 dvs vi får

$dQ=dU+pdV...12.6$

här är arbetet gasen uträttar pdV enligt

$pdV=dQ-dU...12.7$

som kan skrivas om enligt

${\frac {pdV}{dT}}=({\frac {dQ}{dT}})_{P}-{\frac {dU}{dT}}...12.8$

dvs

${\frac {pdV}{dT}}=n_{m}C_{P}-n_{m}C_{V}...12.9$

med andra ord uträttar gasen arbetet

$pdV=n_{m}(C_{P}-C_{V})dT...12.10$

vid en isobar process.

Vid en isoterm process gäller (som alltid)

$dQ=dU+pdV...12.11$

Denna gången är dock dT=0 dvs dU=0, således gäller istället

$dQ=pdV...12.12$

eller

${\frac {dQ}{dT}}={\frac {pdV}{dT}}...12.13$

dvs

$pdV=n_{m}C_{V}dT...12.14$

som är arbetet gasen uträttar (lite skumt hur det blir C_v här för det är varken konstant tryck eller volym, bara konstant temperatur).

Slutligen har vi en adiabatisk process där inga parametrar är fixerad förutom det faktum att inget värmeutbyte sker med omgivningen dvs dQ=0, i fallet adiabatisk process får vi alltså först

$dQ=dU+pdV...12.15$

som iom att dQ=0 kan skrivas om enligt

$dU=-pdV...12.16$

det här kan som vanligt skrivas om enligt

${\frac {dU}{dT}}=-{\frac {pdV}{dT}}...12.17$

och eftersom

$dU=n_{m}C_{V}dT...12.18$

så får vi att

$n_{m}C_{V}=-{\frac {pdV}{dT}}...12.19$

om vi sen differentierar allmänna gaslagen får vi

$pdV+Vdp=n_{m}RdT...12.20$

om vi löser ut dT så får vi

$dT={\frac {pdV+Vdp}{n_{m}R}}...12.21$

som insatt i 12.19 blir

$n_{m}C_{V}=-n_{m}R{\frac {pdV}{pdV+Vdp}}...12.22$

som kan skrivas om enligt

$R=-C_{V}*(1+{\frac {Vdp}{pdV}})...12.23$

eller

$-({\frac {R}{C_{V}}}+1)={\frac {Vdp}{pdV}}...12.24$

dvs

$-\gamma ={\frac {Vdp}{pdV}}...12.25$

eller

$-\gamma {\frac {dV}{V}}={\frac {dp}{p}}...12.26$

så att

$-\gamma \int _{V_{1}}^{V_{2}}{\frac {dV}{V}}=\int _{p_{1}}^{p_{2}}{\frac {dp}{p}}...12.27$

som ger att

$-\gamma (\ln {V_{2}}-\ln {V_{1}})=\ln {p_{2}}-\ln {p_{1}}...12.28$

dvs

$-\gamma \ln {\frac {V_{2}}{V_{1}}}=\ln {\frac {p_{2}}{p_{1}}}...12.29$

eller

$\ln {({\frac {V_{2}}{V_{1}}})^{-\gamma }}=\ln {\frac {p_{2}}{p_{1}}}...12.30$

då fås

$({\frac {V_{2}}{V_{1}}})^{-\gamma }={\frac {p_{2}}{p_{1}}}...12.31$

som kan skrivas om enligt

$({\frac {V_{1}}{V_{2}}})^{\gamma }={\frac {p_{2}}{p_{1}}}...12.32$

dvs

$p_{1}V_{1}^{\gamma }=p_{2}V_{2}^{\gamma }=konstant...12.33$

V.S.V

Numeriska exempel

Tidigt i detta avsnitt sägs det att förändringen av den inre energin (dU) är lika med antal mol (n_m) gånger Cv gånger färändringen i temperatur (dT), om då temperaturen ökar med 100K och man har 1 mol atomer då ökar inre energin 1300J för en enkelatomig gas, för konstant volym (aka isokor) gäller dV=0 och då blir tillförd värmemängd (dQ) lika med dU.

Kapitel XIII, Carnotprocessen, kretsprocessen med den högsta verkningsgraden

Carnot-maskinen i praktiken

Carnotprocessen består av fyra delprocesser.

Först sker en isoterm expansion, sen sker en adiabatisk expansion, sen sker en isoterm kompression och slutligen sker en adiabatisk kompression.

Vi har alltså fyra delprocesser och de är:

1) Isoterm expansion dvs från T1, V1, p1 till T1, V2, p2, tillförd värmemängd=Q1, dU=0

2) Adiabatisk expansion dvs från T1, V2, p2 till T2, V3, p3, dQ=0

3) Isotem kompression dvs från T2, V3, p3 till T2, V4, p4, avgiven värmemängd=Q2, dU=0

4) Adiabatisk kompression dvs från T2, V4, p4 till T1, V1, p1, dQ=0

Allmänt gäller

$dQ=dU+dW=dU+pdV...13.1$

dvs termodynamikens första huvudsats så:

För 1 gäller (dT=dU=0)

$dQ=pdV...13.2$

och genom att använda allmänna gaslagen

$pV=n_{m}RT...13.3$

och lösa ut p fås

$dQ=n_{m}RT_{1}{\frac {dV}{V}}...13.4$

som uppintegrerat innebär

$Q_{1}=n_{m}RT_{1}ln{\frac {V_{2}}{V_{1}}}...13.5$

vilket är den värmemängd som upptas vid första delprocessen/isotermen.

För 2 gäller (dQ=0)

$pdV=-dU...13.6$

dvs

$pdV=-n_{m}C_{V}dT...13.7$

som uppintegrerat blir

$W_{2}=-n_{m}C_{V}(T_{2}-T_{1})...13.8$

som alltså är arbetet gasen utför.

för 3 gäller samma formler som för 1 dvs

$Q_{2}=n_{m}RT_{2}ln{\frac {V_{4}}{V_{3}}}...13.9$

och för 4 gäller samma formler som för 2 dvs

$W_{4}=-n_{m}C_{V}(T_{1}-T_{2})=+n_{m}C_{V}(T_{2}-T_{1})...13.10$

Totala arbetet blir sedan en summa av allt det här, där W1 och W2 tar ut varandra och arbetet blir en differens mellan Q1 och Q2 ty V3<V2 och V2>V1 vilket antyder en differens.

Om man definierar Q1 som tillförd värmemängd enligt

$Q_{1}=n_{m}RT_{1}ln{\frac {V_{2}}{V_{1}}}...13.11$

och bortförd värmemängd som Q2 dvs

$Q_{2}=n_{m}RT_{2}ln{\frac {V_{4}}{V_{3}}}...13.12$

då kan man definiera en verkningsgrad som

$\eta ={\frac {Q_{1}-Q_{2}}{Q_{1}}}={\frac {Q_{tillford}-Q_{bortford}}{Q_{tillford}}}...13.13$

Ekvationerna för Q1 och Q2 är dock lite väl olika för att detta skall bli "snyggt"

För isosotemerna så kan vi emellertid skriva:

$P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2}...13.14$

och

$P_{3}V_{3}=P_{4}V_{4}...13.15$

sen kan vi skriva adiabaterna enligt

$P_{2}V_{2}^{\gamma }=P_{3}V_{3}^{\gamma }...13.16$

och

$P_{4}V_{4}^{\gamma }=P_{1}V_{1}^{\gamma }...13.17$

och om vi multiplicerar alla vänsterled med varandra och sedan även alla högerled så fås

$p_{1}p_{2}p_{3}p_{4}V_{1}V_{3}V_{2}^{\gamma }V_{4}^{\gamma }=p_{1}p_{2}p_{3}p_{4}V_{2}V_{4}V_{3}^{\gamma }V_{1}^{\gamma }...13.18$

dvs

$V_{1}V_{3}V_{2}^{\gamma }V_{4}^{\gamma }=V_{2}V_{4}V_{3}^{\gamma }V_{1}^{\gamma }...13.19$

eller

$V_{2}^{\gamma -1}V_{4}^{\gamma -1}=V_{3}^{\gamma -1}V_{1}^{\gamma -1}...13.20$

dvs

${\frac {V_{2}^{\gamma -1}}{V_{1}^{\gamma -1}}}={\frac {V_{3}^{\gamma -1}}{V_{4}^{\gamma -1}}}...13.21$

eller

${\frac {V_{2}}{V_{1}}}={\frac {V_{3}}{V_{4}}}...13.22$

Och om vi nu tittar på Q1 och Q2 igen dvs

$Q_{1}=n_{m}RT_{1}ln{\frac {V_{2}}{V_{1}}}...13.23$

och

$Q_{2}=n_{m}RT_{2}ln{\frac {V_{4}}{V_{3}}}...13.24$

så kan vi alltså byta ut V4/V3 mot V2/V1 vilket ger Q2 som

$Q_{2}=-n_{m}RT_{2}ln{\frac {V_{2}}{V_{1}}}...13.25$

Vilket ger verkningsgraden

$\eta ={\frac {Q_{1}-Q_{2}}{Q_{1}}}={\frac {n_{m}RT_{1}ln{\frac {V_{2}}{V_{1}}}-n_{m}RT_{2}ln{\frac {V_{2}}{V_{1}}}}{n_{m}RT_{1}ln{\frac {V_{2}}{V_{1}}}}}...13.26$

eller

$\eta ={\frac {Q_{1}-Q_{2}}{Q_{1}}}={\frac {T_{1}-T_{2}}{T_{1}}}...13.27$

Denna formel kan sedan skrivas om enligt

$\eta =1-{\frac {Q_{1}}{Q_{2}}}=1-{\frac {T_{1}}{T_{2}}}...13.28$

där vi kan nyttja

${\frac {Q_{1}}{Q_{2}}}={\frac {T_{1}}{T_{2}}}...13.29$

eller

${\frac {Q_{1}}{T_{1}}}={\frac {Q_{2}}{T_{2}}}...13.30$

Man skall inte stirra sig blind på 19.26 vad gäller tecknet hos Q2, det viktiga är att Q1 och Q2 faktiskt har olika tecken ty det är ganska enkelt att inse att det är skillnaden mellan tillförd och avförd värmemängd som gäller.

Numeriskt exempel

För första delprocessen (isoterm dvs dT=0) gäller att förändringen i värmemängd (dQ) motsvaras av arbetet gasen utför (pdV) så om trycket är 1atm och vi har en ändring (dV) av volym på 1dm^3 så tillförs en värmemängd på 100J.

Del II, VÅGRÖRELSELÄRA

Vågrörelselära i samband med fusionsforskning kan tyckas lite onödigt men det finns mycket som oscillerar i en Tokamak, vi har till exempel laddade partiklar som girerar runt magnetfältet på ett oscillerande sätt, ett annat inte så uppenbart fall är när hela plasmat oscillerar i olika mer eller mindre instabila moder, jag vet från skolan att detta faktiskt är ett av dom största problemen med att försöka innesluta ett plasma mha magnetfält och att då förstå hur oscillationer bildas och hur man kan dämpa dom är mycket användbar kunskap.

Kapitel XIV, Svängningsrörelse

En belastad fjäder i rörelse

Föreställ Er att Ni har en viktlös fjäder fastspänd i en vägg och att den kan röra sig i s-led (där s står för störning) och C är den så kallade fjäderkonstanten, då fås

$F=m{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=-Cs...14.1$

dvs den återförande kraften är proportionerlig mod dels fjäderkonstanten C dels hur mycket man spänner fjädern från dess jämviktsläge dvs s=0.

En lösning till det här är

$s=Asin(wt+\phi )...14.2$

där phi är skild från noll om vi avser teckna rörelsen från en position skilt från s=0 vilket vi inte avser, phi är alltså noll.

Vi anstränger oss nu med att testa om lösningen stämmer:

${\frac {ds}{dt}}=Awcos(wt)...14.3$

och

${\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=-Aw^{2}sin(wt)...14.4$

detta leder till att 14.1 blir

$-mAw^{2}sin(wt)=-CAsin(wt)...14.5$

där A och sin(wt) kan förkortas bort och kvar får vi

$mw^{2}=C...14.6$

dvs

$w={\sqrt {\frac {C}{m}}}...14.7$

som är den (vinkel)frekvens fjädern ger när man spänner fjädern och släpper.

Sen tecknar vi rörelseenergin

$E_{k}={\frac {1}{2}}m({\frac {ds}{dt}})^{2}={\frac {1}{2}}mA^{2}w^{2}cos^{2}(wt)={\frac {1}{2}}mA^{2}w^{2}(1-sin^{2}(wt))...14.8$

dvs

$E_{k}={\frac {1}{2}}mA^{2}w^{2}(1-{\frac {s^{2}}{A^{2}}})={\frac {1}{2}}mw^{2}(A^{2}-s^{2})...14.9$

och den potentiella energin (som alltid är arbetet motriktad kraften därav minustecknet)

$E_{p}=-\int Fds=\int Csds={\frac {1}{2}}Cs^{2}={\frac {1}{2}}mw^{2}s^{2}...14.10$

och slutligen är den totala energin summan av Ek och Ep enligt

$E_{tot}=E_{k}+E_{p}={\frac {1}{2}}mw^{2}A^{2}={\frac {1}{2}}CA^{2}...14.11$

Eftersom jag är ingenjör inom elektroteknik så kan man dra en mycket intressant parallell till 14.1, om vi börjar med att kopiera ner den igen så har vi att

$F=m{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=-Cs...14.12$

sen kikar vi på en ren LC-krets där L och C är i parallell.

Om vi då tecknar diff-ekavationen så kommer den av

$i=C{\frac {du}{dt}}...14.13$

och

$u=-L{\frac {di}{dt}}...14.14$

och om man stoppar in 14.13 i 14.14 så fås

$LC{\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}=-u...14.15$

och om vi jämför med 14.12 så kan man kanske se att LC står för nån slags elektrisk massa samtidigt som den elektriska fjäderkonstanten är 1.

Jämför man sen med 14.7 så ser man att

$w={\sqrt {\frac {1}{LC}}}...14.16$

där 1:an alltså kanske kan tolkas som fjäderkonstanten och LC som massan.

Annars verkar man alltså allmänt kunna teckna en svängning som

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-w^{2}x...14.17$

där minustecknet tycks stå för att det just finns en återfjädrande kraft och delar av w^2 kan då få vara fjäderkonstant, andra delar kan få vara massa.

Om vi tittar på differentialekvationen 14.1 igen och repeterar

$F=m{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=-Cs...14.18$

samt tar till lite komplexa trick som

$s=Ae^{jwt}...14.19$

och deriverar detta enligt

${\frac {ds}{dt}}=jwAe^{jwt}=jws...14.20$

samt

${\frac {ds^{2}}{dt^{2}}}=-w^{2}Ae^{jwt}=-w^{2}s...14.21$

så att 14.18 blir

$F=-mw^{2}s=-Cs...14.22$

där det bara är att förkorta bort s varvid vi får

$w={\sqrt {\frac {C}{m}}}...14.23$

och detta på ett nästan löjligt enkelt sätt.

Man ska dock komma ihåg att detta bara fungerar för oscillerande system som jag brukar kalla "statoinära", det fungerar inte om man vill analysera saker i tidsplanet men ofta handlar det om svängningar och beräkning av vinkelfrekvenser och då tycker jag att denna komplexa metod är överlägsen, en del av överlägsenheten har att göra med att det är enkelt att visualisera saker, jag skall ta ett par exempel.

Säg att ni har en svajande bandspelare och inbillar er att ni vill kunna kalibrera bort svajet och börjar med att spela in en stabil ton för att sedan analysera resultatet, om man då föreställer sig att man har en enhetscirkel i det komplexa talplanet där tonen symboliseras med w och svajet symboliseras med w_s, eftersom störningen är längs periferin av cirkeln där wt löper moturs så ser man enkelt att den resulterande summan blir w+w_s, i teorin är det sedan "bara" att subtrahera bort w_s men detta låter sig inte göras så lätt analogt, åtgärden kräver FFT och DSP.

Om man sedan tittar på AM-modulation och visualiserar vad som händer i z-planet så är det ju så att amplituden moduleras dvs radien på cirkeln moduleras och när man förstår det kan man enkelt teckna vad som händer när meddelandet är en enkel ton med amplituden m

$AM(t)=(c+me^{jw_{m}t})e^{jw_{c}t}...14.24$

där c står för carrier och m för message.

Detta kan sedan förenklas till

$AM(t)=ce^{jw_{c}t}+me^{jt(w_{c}+w_{m})}...14.25$

där man direkt ser att man har en carrier-component och en message-komponent vid summan av frekvenserna.

Man ser dock inte att man även har ett nedre sidband (differensen) men iom att vi är i det komlexa talplanet så inbillar jag mig att även negativa frekvenser finns åtminstone så länge differensen är större än noll dvs vi kanske kan skriva

$AM(t)=ce^{jw_{c}t}+me^{jt(w_{c}+/-w_{m})}...14.26$

Där detta faktiskt är sant och kan bevisas mha vanliga trigonometriska formler t.ex

$sin(w_{c}t)sin(w_{m}t)=sin(w_{c}t-w_{m}t)-sin(w_{c}t+w_{m}t)...14.27$

Där bara de imaginära delarna har använts ty vi är vi är bara intresserad av projektionen på en axel åt gången.

För att göra det komplett vad gäller analoga moduleringssätt tar vi med FM-modulation också där exemplet ovan angående svaj redan är ett exempel på FM-modulation men vi definierar ändå

$FM(t)=Ae^{jt(w_{c}+w_{m})}=ce^{jw_{c}t}\cdot me^{jw_{m}t}...14.28$

Där första ledet är taget direkt från summationen perifert i enhetscirkeln, A visar sig sedan bli mc.

Numeriskt exempel

Om en fjäder har fjäderkonstanten (C) lika med 1N/m och massan hos vikten (och den masslösa fjädern) är 0,1kg så blir frekvensen 0,5Hz.

Kapitel XV, Vågekvationen

En våg breder ut sig

Man kan teckna en störning s som breder ut sig i x-led på följande sätt

$s(x,t)=f(x-vt)...15.1$

Detta kan också tecknas

$x-vt=u...15.2$

kanske man först kan se det som att vi har att funktionens nollgenomgång flyttas till x=vt dvs är fördröjd med vt, då är

$s=f(u)...15.3$

då är

${\frac {\delta s}{\delta x}}={\frac {df}{du}}{\frac {\delta u}{\delta x}}={\frac {df}{du}}...15.4$

och

${\frac {\delta s}{\delta t}}={\frac {df}{du}}{\frac {\delta u}{\delta t}}=-v{\frac {df}{du}}...15.5$

andraderivatorna blir då

${\frac {\delta ^{2}s}{\delta x^{2}}}={\frac {d^{2}f}{du^{2}}}...15.6$

respektive

${\frac {\delta ^{2}s}{\delta t^{2}}}={\frac {d^{2}f}{du^{2}}}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta t^{2}}}=v^{2}{\frac {d^{2}f}{du^{2}}}...15,7$

som ger

${\frac {\delta ^{2}s}{\delta x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\delta ^{2}s}{\delta t^{2}}}...15.8$

Detta kallas vågekvationen.

v^2 faller alltså ut när man deriverar du/dt en andra gång och får då -v en gång till

Notering: Jag fattar inte riktigt det här till exempel hur en andraderivata av sträcka map på tid plötsligt kan bli v^2 när det egentligen är en klassisk formel för acceleration (v är dock inte konstant).

Numeriskt exempel

Hastighet tycker jag inte är klockrent beskrivet i fysiken för vad är till exempel V/s för nåt? Om A är en amplitud i y, säger vi, då är det en hastiget det också, för en sinusformad svängning i rummet blir nämligen derivatan av funktionen som vi kan skriva x(t)=Asin(wt) wA som absolut är en hastighet, i fallet opampar brukar vi sedan kalla V/s för slewrate.

Kapitel XVI, Vågutbredning

Studie över hur en våg breder ut sig

För en våg som breder ut sig gäller enligt ovan

$s(x,t)=f(x-vt)...15.1$

jag skulle vilja betrakta detta som att vt är en fasförkjutning i positiv x-led dvs att störningen upprepas x=vt senare, ekvationen kan skrivas om enligt

$s(x,t)=f(t-{\frac {x}{v}})...16.1$

Vi ser att vi har två olika tider, en som beror på tiden i sig en som beror på rummet och hur vågen brer ut sig.

Om funktionen är sinus så har vi två fasvinklar som ändras med tiden enligt

$s(x,t)=sin(2\pi ft-2\pi f{\frac {x}{v}})...16.2$

eller

$s(x,t)=sin(2\pi {\frac {t}{T}}-2\pi {\frac {x}{\lambda }})...16.3$

Att det blir så har att göra med att rumsfasen ändrar sig med utbredningen, en våg är ju inte bara beroende av tiden utan även av dess position.

Emedan det är tämligen känt att

$w={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f...16.4$

så kallas samtidigt

$k={\frac {2\pi }{\lambda }}...16.5$

där

$\lambda ={\frac {v}{f}}...16.6$

Numeriskt exempel

För ljudvågor gäller enligt Leo L. Beranek "Acoustics" från 1954 att c=331,4 sqrt(T/273)m/s, vid 0C dvs 273K är således ljudhastigheten i luft 331,4m/s (vid normalt lufttryck), vid 20C blir det 343m/s.

Kapitel XVII, Longitudinell våg

Långitudinell våg i en stång

Det finns två typer av vågor, den ena kallas longitudinell och är riktad längs med utbredningen, den andra typen av våg är den så kallade transversella och är riktad vinkelrätt mot utbredningen.

Om man tittar vid ett visst x när man slår an på en stav så kommer det orsaka en störning dx som tänjer ut staven, nu har vi således att ett volymselement på dx som rör sig genom staven.

Med hjälp av implicit derivering kan vi teckna störningen enligt

$s(x+dx,t)=s(x,t)+{\frac {\delta s}{\delta x}}dx...17.1$

störningsdifferensen är då

$s(x+dx,t)-s(x,t)={\frac {\delta s}{\delta x}}dx...17.2$

dvs den relativa töjningen är

$e={\frac {{\frac {\delta s}{\delta x}}dx}{dx}}={\frac {\delta s}{\delta x}}...17.3$

Spänningen i staven kan fås via elesticitetsmodulen enligt

$\sigma =eE...17.4$

spänningen kan också tecknas

$\sigma ={\frac {F}{Y}}...17.5$

där Y är tvärsnittsarean och F kraften där kraften också kan tecknas

$F=\sigma Y=YEe=YE{\frac {\delta s}{\delta x}}...17.6$

Kraften på ändytorna hos volymselementet är (där rho är densiteten samtidigt som Newtons andra lag nyttjas rakt av)

$F2-F1=m{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=\rho Ydx{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}...17.7$

F1 blir enligt 17.6

$F1=F(x)=YE{\frac {\delta s}{\delta x}}...17.8$

och F2 bir galant pga implicit derivering

$F2=F(x+dx)=F(x)+YE{\frac {\delta ^{2}s}{\delta x^{2}}}dx...17.9$

dvs

$F2-F1=YE{\frac {\delta ^{2}s}{\delta x^{2}}}dx...17.10$

och kombineras detta med 17.7 så fås

$YE{\frac {\delta ^{2}s}{\delta x^{2}}}dx=\rho Ydx{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}...17.11$

eller

$E{\frac {\delta ^{2}s}{\delta x^{2}}}=\rho {\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}...17.12$

dvs

${\frac {E}{\rho }}{\frac {\delta ^{2}s}{\delta x^{2}}}={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}...17.13$

identifiering med vågekvationen enligt ovan dvs

$v^{2}{\frac {\delta ^{2}s}{\delta x^{2}}}={\frac {\delta ^{2}s}{\delta t^{2}}}...15.8$

ger slutligen att hastigheten ges av

$v={\sqrt {\frac {E}{\rho }}}...17.14$

Numeriskt Exempel

Elasticitetsmodulen (E) för järn är 8,4*10^10Pa, densiteten (rho) för järn är sedan 7,9*10^3 kg/m^3, detta ger att hastigheten den longitudinella vågen rör sig i en järnvägsräls är över 3000m/s vilket nästan är Mach 10 (vi kommer återkomma till Mach's tal men det är ett tal relativt ljudhastigheten)

Kapitel XVIII, Transversell våg

Visar krafterna på en sträng

Anta att vi har en sträng utmed x-axeln, sen böjer vi i strängen utmed y-axeln då får vi två krafter i strängen som är motriktade tangentiellt med strängen, säg att kraften mot origo kallas F1 och kraften åt andra hållet kallas F2.

Eftersom krafterna utmed x-axeln också är lika kan vi teckna

$F_{1}cos(\theta _{1})=F_{2}cos(\theta _{2})...18.1$

men om vinklarna är små så gäller

$sin(\theta )=tan(\theta )=\theta ...18.2$

och

$cos(\theta _{1})=cos(\theta _{2})18.3$

därmed gäller

$F_{1}=F_{2}=F...18.4$

därför kan man teckna

$F(x)=F\cdot sin(\theta )=F\cdot tan(\theta )=F{\frac {ds}{dx}}...18.5$

ty vi har att störningen är vertikal dvs i y-led och infinitesimalerna i y och x är ds respektive dx, då har vi att

$F(x+dx)-F(x)=F(x)+F{\frac {d^{2}s}{dx^{2}}}dx-F(x)=F{\frac {d^{2}s}{dx^{2}}}dx...18.6$

sen nyttjar vi Newton's andra lag och att Y är tvärsnittsarean

$F{\frac {d^{2}s}{dx^{2}}}dx=ma=m{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=\rho Ydx{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}...18.7$

så att

${\frac {F}{\rho Y}}{\frac {d^{2}s}{dx^{2}}}={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}...18.8$

identifiering med vågekvationen

$v^{2}{\frac {d^{2}s}{dx^{2}}}={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}...15.18$

ger sedan att

$v={\sqrt {\frac {F}{\rho Y}}}...18.9$

eller

$v={\sqrt {\frac {F}{\mu }}}...18.10$

med my=m/L 18.10 sägs sen vara den formel som gäller men det är oklart vad hastigheten betyder för vad är det som rör sig?

För det första vet vi alla att en sträng rör sig i y-led och den kan egentligen inte röra sig alls i x-led ty den är fäst i två punkter.

Nu har vi två saker att beakta:

1) Strängen kan inte svänga med andra frekvenser (läs våglängder) än n*lambda/2, detta pga att den ju är låst till i alla fall L=lamda/2 för lägsta tonen, denna "låsning" är sedan i x-led.

Notering: Här ska man passa sig för att säga frekvenser har jag lärt mig men snacket om våglängder gäller.

2) När man slår ann en sträng måste hastigheten i y-led vara beroende av hur hårt man slår ann strängen (ty strängen får olika lång väg att gå) för annars blir det olika frekvens/ton beroende på hur hårt man slår ann strängen, detta krav är dock i y-led.

Jag tror att det som skapar ljud i sammanhanget är strängens tvärsnittsarea, den luft den skyfflar undan och den rörelse den utför i y-led.

1&2 är tydligen krav som är i olika riktningar så om man räknar ut en hastighet i y-led så kan man inte nyttja våglängdskravet i x-led utan vidare, frågan är hur man gör det för jag är övertygad om att båda kraven gäller.

Numeriskt exempel

Om my hos gitarrsträngen är 1g/m, och man spänner med F=1N (eller 0,1kg) och gitarrhalsen är 1m lång (L) så får man hastigheten 32m/s och frekvensen är då 16Hz vilket kommer att visa sig lite senare men baseras på att längsta våglängden är 2L (eller en puk över gitarrhalsen).

Fritänkande, hur en sträng kanske svänger del I

Ett alternativt sätt att betrakta problemet är om strängen helt enkelt bara vore en fjäder med vikt likt

$m{\frac {d^{2}s}{ds^{2}}}=-Cs...18.11$

där s är störningen och om vi nyttjar den suveränt simpla metoden med komplexa tal kan vi skriva

$s=Ae^{jwt}...18.12$

dvs

${\frac {ds}{dt}}=jwAe^{jwt}=jws...18.13$

och

${\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=-w^{2}Ae^{jwt}=-w^{2}s...18.14$

så att

$-mw^{2}s=-Cs...18.15$

dvs

$w={\sqrt {\frac {C}{m}}}...18.16$

där

$|v|=wA...18.17$

enligt 24.14, rent allmänt är periferihastigheten w*radien och radien är i det här fallet amplituden (A), så vi får att

$v=A*{\sqrt {\frac {C}{m}}}...18.18$

där C är fjäderkonstanten hos strängen, pga dess enhet [N/m] så kan 18.18 också skrivas

$v=A*{\sqrt {\frac {F}{Lm}}}...18.19$

och om man inser att amplituden (A) egentligen också är en längd (L) så får man

$v={\sqrt {\frac {F}{\mu }}}...18.20$

som är samma som 18.10 dvs vi har inget enhetsfel här, dock anser jag det är viktigt att A nyttjas i enlighet med 18.18 för det visar på att hastigheten, som nu är obevekligen y-riktad, är beroende av amplituden på anslaget vilket jag tycker är rätt självklart för vi kan inte ha en sträng som låter med en annan frekvens beroende på hur hårt man slår ann den, det MÅSTE således finnas ett hastighetsberoende map anslagskraften/amplituden.

Min amatörmässiga bedömning är sedan att tiden det tar för strängen från det att man släpper den tills det att den kommer tillbaka är periodtiden dvs

$T=2A/v...18.21$

Frekvensen är nu inversen av detta dvs

$f=v/2A={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {C}{m}}}...18.22$

När det sedan gäller fjäderkonstanten (C) hos en sträng så gissar jag att ju hårdare spänd desto högre fjäderkonstant ty om strängen är löst spänd så är det enkelt att utöka dess längd men om den är hårt spänd är det inte det, eller?

Rörelsen här är som sagt i y-led och det finns inget beroende av hur hårt man slår ann strängen ty A utgår.

Problemet nu är min personliga övertygelse om

$L=n*{\frac {\lambda }{2}}...18.23$

dvs det kan inte finnas några andra våglängder än dessa för strängen är fixerad i sina ändpunkter och då blir dom enda möjliga våglängderna ett kvantiserat antal pukar där den längsta puken (halv våglängd) alltså är stränglängden.

Men här har vi ett krav i x-led medans det jag precis innan räknade ut är en rörelse i y-led.

Jag får inte ihop det här.

Fast jag erkänner en sak och det är att hastigheten verkar kunna styras godtyckligt om man speciellt ser till massan på strängen, men hur denna hastighet kopplas till våglängdskravet och därmed frekvensen begriper jag inte (jag känner dock att 24.23 kan vara rätt men det rimmar inte med våglängskravet)

Fritänkande, hur en sträng kanske svänger del II

Jag har tänkt lite mer och eftersom detta är en svammel-bok så behåller jag eventuella felaktigheter ovan.

Vi kan börja med hur man tecknar en våg som rör sig i x-led (obs) genom att förfina 24.13 till

$s=Ae^{j(wt-kx)}...18.24$

där vågtalet k (lambda/2pi) är infört.

Om nu nollgenomgångarna skall stämma (för vi kan inte ha en våg utan stimuli) så gäller

$wt=kx...18.25$

och om man då löser ut x så får man

$x={\frac {w}{k}}t...18.26$

derivatan av detta är den så kallade fashastigheten vf enligt

$v_{f}={\frac {dx}{dt}}={\frac {w}{k}}...18.27$

men observera att x här är deriverbar dvs skild från en konstant MEN det är ju precis det vi har dvs att x är konstant så vi har ingen fashastighet!

w/k kan för övrigt förenklas till

${\frac {w}{k}}={\frac {2\pi f}{2\pi /\lambda }}=f*\lambda =v_{f}...18.28$

MEN detta avser en rörelse i x-led, vilket vi inte har varför vanligt vågtänk går bort.

Min analogi med hur en fjäder rör sig kan dock stämma för lösningen till diffekvationen blev ju

$w={\sqrt {\frac {C}{m}}}...18.29$

vad beträffar vinkelfrekvensen, ser man sedan på hastigheten så kan man dels kika på 24.14 eller tänka att man är ute efter en periferihastghet i enhetscirkeln som beskriver rörelsen dvs

$v=wA...18.30$

Det här är dock inte riktigt nån fashastighet MEN det är en rörelse i rummet för systemet svänger ju!

Så vi har en hastighet i rummet som jag tolkar som vertikal likt hur ett fjädersystem svänger (med g=0).

Frekvensen kan fås av att

$w=2\pi f...18.31$

och att

$w={\sqrt {\frac {C}{m}}}...18.32$

dvs

$f={\frac {1}{2\pi }}*{\sqrt {\frac {C}{m}}}...18.33$

där vi kan leka med de olika parametrarna enligt m=0,1kg, C=1kg/mm=10N/mm=10000N/m

Då blir skattad grundfrekvens för den tjocka E-strängen 50Hz.

Sen kan man ana att strängarnas massa inte är såvärst olika, borde inte skilja mer än en knapp faktor 3, roten ur tre kan vi då sätta som 1,5 och man får maximalt en frekvensskillnad mellan tunna E och tjocka E på 50%.

Fjäderkonstanten dom olika strängarna skiljer sig naturligtvis åt men jag antar att det inte skiljer så mycket, eventuellt är dock den tjocka E-strängen i grunden en nylonsträng med spunnen metalltråd utanpå så dess C kommer att vara mindre ty den är lättare att tänja, kanske en faktor 2 lättare, maximalt en faktor 3 lättare varvid vi då har en tre gånger (roten ur nio) så hög grundtonsfrekvens hos tunna E jämfört med tjocka E.

Vad vi således har är ett mycket enkelt uttryck på frekvensen och hastigheten där vågekvationen inte ens är nyttjad, dessa repeteras härmed

$v=Aw=A{\sqrt {\frac {C}{m}}}...18.18$

och

$f={\frac {w}{2\pi }}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {C}{m}}}...18.34$

och faktiskt uppstår ett lambda i rummet ty grejerna rör sig i rummet enligt

$\lambda ={\frac {v}{f}}=2\pi A...18.35$

Vilket är en nästan löjligt enkel ekvation men rörelsen, åtminstone matematiskt, är enligt enhetscirkeln och ett varv på enhetscirkeln är radien (läs A som amplituden) gånger 2pi i omkrets och därmed väg.

Här får jag lite flummigt möjligheten att införa min tvärsäkra ide' om att strängen innehåller ett antal lambda halva eller

$\lambda ={\frac {v}{f}}=2\pi A=={\frac {2L}{n}}...18.36$

Detta kan jag dock varken visa eller bevisa men jag tror bestämt att det är så (enda möjligheten för harmoniska vågor).

Så A ovan kan bytas ut mot

$A={\frac {L}{n\pi }}...18.37$

och insatt i 18.18 får man

$v={\frac {L}{n\pi }}{\sqrt {\frac {C}{m}}}...18.38$

där hastigheten alltså INTE är konstant men faktiskt bara beroende på hur många pukar vi har dvs i övrigt konstant, knepigt dock att fler pukar innebär lägre hastighet, kanske fel ändå?

Fritänkande, hur en sträng kanske svänger del III

Om vi antar att ordinarie uträknad formel ändå är rätt så lyder den alltså och jag repeterar

$v={\sqrt {\frac {F}{\mu }}}...18.10$

sen har vi att

$f={\frac {v}{\lambda }}...18.39$

Vad är nu lambda?

Jo, vi kan titta på randvillkoren till ovan ekvation som jag repeterar

$s(x,t)=Ae^{j(wt-kx)}...18.24$

Denna svänger ju inte i x=0 ty där är strängen fäst dvs

$s(0,t)=Ae^{jwt}==0...18.40$

Eftersom allting börjar i noll kan vi studera {im} dvs sinus och får då

$wt=n*\pi ...18.41$

Samtidigt har vi att

$s(L,t)=Ae^{j(wt-kL)}==0...18.42$

Ty strängen svänger inte vid x=L heller, då fås

$wt=kL...18.43$

kombinerar vi 18.41 med 18.43 så fås

$n*\pi =kL...18.44$

och eftersom

$k={\frac {2\pi }{\lambda }}...18.45$

så blir 18.44

$L=n*{\frac {\lambda }{2}}...18.46$

och därmed blir

$\lambda ={\frac {2L}{n}}...18.47$

som gör att 18.39 blir

$f={\frac {n}{2L}}*{\sqrt {\frac {F}{\mu }}}...18.48$

Kapitel XIX, Elektromagnetism

En visualisering av Coulombs lag

Coulombs lag kan tecknas

$F={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}...19.1$

som är formeln för kraften mellan två olika laddningar i vakuum, man kan också skriva denna formel som

$F={\frac {1}{4\pi \epsilon }}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}...19.2$

där

$\epsilon =\epsilon _{r}\epsilon _{0}...19.3$

där epsilon_r är den relativa permittiviteten för ett dielektrikum skilt från vakuum (där epsilon_r är 1), med denna betraktelse blir det tydligt att när det finns ett dielektrikum så blir kraften mindre.

Man kan se 19.2 på ännu ett intressant sätt

$F={\frac {1}{4\pi \epsilon }}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}={\frac {1}{\epsilon }}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{4\pi r^{2}}}={\frac {1}{\epsilon }}{\frac {Q_{1}Q_{2}}{A_{s}}}...19.4$

där As är ytan hos en sfär, detta gäller faktiskt alla punktkällor där intensiteten blir effekten/As eller fältstyrkan/As, i det här fallet tycks vi alltså ha ett kraftfält som är sfäriskt.

Sen skulle jag vilja förenkla 19.1 till

$F\propto {\frac {Q^{2}}{r^{2}}}...19.5$

där laddningarna bara råkar vara lika stora, elektrisk fältstyrka definieras sen som

$E={\frac {F}{Q}}...19.6$

vilket man kan tolka som den fältstyrka som multiplicerat med laddningen ger kraften mellan laddningarna, samtidigt som det också är den fältstyrka som finns i rummet utan att det finns mer än en samling laddningar, uttrycket för E blir således

$E\propto {\frac {Q}{r^{2}}}...19.7$

eller mer korrekt

$E={\frac {1}{4\pi \epsilon }}{\frac {Q}{r^{2}}}={\frac {1}{\epsilon }}{\frac {Q}{A_{s}}}={\frac {1}{\epsilon }}\rho _{s}...19.8$

där rho_s är ytladdningstätheten dvs laddningen delat med arean, sen finns det en fältbeteckning som kallas förkjutningsfältet D dvs

$D=\epsilon E...19.9$

vilket innebär att 19.8 kan tecknas

$D=\rho _{s}...19.10$

eller för att göra det mer allmängiltigt ty vi har en laddningsfördelning som måste summeras upp

$\oint _{S}DdS=\int _{S}\rho _{s}dS=Q...19.11$

kurvintegralen innebär mest att alla fältlinjer genom ytan skall tas med, annars ger detta ännu mer allmänt

$\oint _{S}DdS=\int _{V}\rho _{v}dV=Q...19.12$

ty vi är intresserade av själva laddningsmängden och den är normalt inom en viss volym, med andra har vi nu härlett en av Maxwell's ekvationer :)

Elektrisk potential härleds sedan lite speciellt, om vi har två laddningar av samma polaritet då är kraften repellerande, om man sedan tar en laddning och släpar den från oändligheten till punkten ifråga så utförs ett arbete (eftersom man går mot kraften liksom man släpar nåt mot friktion), arbetet kan skrivas

$W_{p}=-\int _{\infty }^{r}Fdr...19.13$

där Wp är den potentiella energin som laddningen får av släpandet (minustecknet indikerar att vi rör oss mot kraften), eftersom energi har enheten Joule eller Ws och laddning har enheten As så inses att

$W_{p}=QV(r)=\int Fdr\propto \int {\frac {Q^{2}}{r^{2}}}dr={\frac {Q^{2}}{r}}...19.14$

dvs den elektriska potentialen som Q ger upphov till är

$V(r)\propto {\frac {Q}{r}}...19.15$

eller mer korrekt

$V={\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}R}}..19.16$

Numeriskt exempel

En proton har en radie (R) på ungefär 10^-15m, dess potential är då 1,6MeV (där man kan stryka e om man vill).

Kapitel XX, Energiprincipen

Energiprincipen medels två olika månbanor runt jorden

Energi kan aldrig uppstå och det kan heller inte försvinna, energi kan bara övergå från en form till en annan, en viktig konsekvens av detta är att energin i ett slutet system är konstant enligt

$W_{p}+W_{k}=konstant...20.1$

Jag har valt att beteckna energierna med W som i work för båda är faktiskt arbete, vi såg senast att den potentiella energin för en laddning bestog av det arbete som krävs för att flytta laddningen från oändligheten till punkten ifråga men faktiskt så gäller detta kinetisk energi också för den har ju liksom inte bara energi (eller hastighet) den har fått energin ifrån nånstans, jag tycker således man skall se energierna enligt:

$W_{p}=-\int _{\infty }^{x}Fdx...20.2$

här gäller det att kraften minst avtar som 1/R^2, om vi tittar på gravitation kan vi skriva

$W_{p}=-\int _{\infty }^{R}m{\frac {GM}{R^{2}}}dx...20.3$

detta är med integrationsgränserna insatta lika med

$W_{p}=m{\frac {GM}{R}}...20.4$

som alltså är vår potentiella energi, denna ser dock lite konstig ut men vi kan skriva om den enligt

$W_{p}=m{\frac {GM}{R^{2}}}R=mgR=mgh...20.5$

som ju är vår klassiska formel för lägesenergi, nedan formel vet jag sen inte riktigt vart jag fått ifrån (säkert 5 år sedan jag skrev den) men enheten stämmer och det mynnar ut i nåt intressant

$W_{k}=\int _{0}^{v}pdv...20.6$

där p=mv, med andra ord kan man se 20.6 som

$W_{k}=\int _{0}^{v}mv\cdot dv=m{\frac {v^{2}}{2}}...20.7$

som är den klassiska formeln för kinetisk energi men om vi nu utvecklar detta så fås

$W_{k}=\int _{0}^{v}m{\frac {dx}{dt}}\cdot dv...20.8$

som kan skrivas om enligt

$W_{k}=\int _{0}^{x}m{\frac {dv}{dt}}\cdot dx...20.9$

och eftersom kraft definieras enligt

$F={\frac {dp}{dt}}=m{\frac {dv}{dt}}...20.10$

så fås

$W_{k}=\int _{0}^{x}Fdx...20.11$

och vi är tillbaka i fallet där energi definieras som det arbete som krävs för att flytta nåt till en viss punkt, i detta fallet till en viss hastighet.

Numeriskt exempel

Om man kikar alldeles nedanför så har vi att gravitaionskvoten på månen är 0,16 dvs en människa på 100kg "väger" bara 16kg på månen, vad som nästan är mer intressant är den höjd (h) som månen ciklar kring jorden (informationen finns inte på Wikipedia), men med hjälp av gravitaionskvoten och jordradien (bj) har jag räknat ut höjden till 1,6E7m (1600 mil) som är lika med 2,5 jordradier dvs om man drar av en jordradie måste man färdas 1000mil ut i rymden för att komma till månen, när det sedan gäller vår energiuträkning så är det bara att stoppa in värdena, jag får Wp1=1,8E30J, Wk1=6,3E25J vilket ger w2/w1 som 58 som jag först fick vilket är omöjligt men utan att fatta kunde jag vända på vinkelfrekvensbråket för att få rätt (jämfört med en annan uträkning), en 20%-tig öknng av höjden verkar alltså innebära en ny vinkelfrekvens/hastighet på bara 1,7% av den gamla.

Fritänkande, exempel på energiprincipen

Gravitationen på månen kan tecknas

$g'={\frac {GM_{j}}{h^{2}}}...20.12$

efersom gravitationen är proportionerlig mot 1/h^2 och gravitationen är g vid jordytan (bj) kan man skriva

$g'=({\frac {b_{j}}{h}})^{2}\cdot g...20.13$

om vi då har

$W_{p1}=m_{m}g'h...20.14$

och

$W_{k1}=m_{m}{\frac {v^{2}}{2}}=m_{m}{\frac {(w_{1}h)^{2}}{2}}...20.15$

där w är 2pi genom omloppstiden, och om vi nu ökar h med 20%, då får vi

$g''=g'{\frac {1}{(1,2)^{2}}}...20.16$

vilket påverkar Wp enligt

$W_{p2}={\frac {W_{p1}}{1,2}}...20.17$

ty gravitationskonsten minskar med 1/1,2^2 samtidigt som höjden ökar med 1,2, den kintiska energin blir sen

$W_{k2}=({\frac {w_{1}}{w_{2}}})^{2}\cdot (1,2)^{2}W_{k1}...20.18$

men vi käner inte den nya omloppsvinkelfrekvensen/tiden (w_2), rent intuitivt kan man dock förstå att den minskar ju längre ut planeten ligger, här måste vi dock ta till energiprincipen enligt

$W_{tot}=W_{p2}+W_{k2}={\frac {W_{p1}}{1,2}}+({\frac {w_{1}}{w_{2}}})^{2}\cdot (1,2)^{2}W_{k1}==W_{p1}+W_{k1}...20.19$

och vi får

$({\frac {w_{1}}{w_{2}}})^{2}={\frac {W_{p1}(1-1/1,2)+W_{k1}}{(1,2)^{2}W_{k1}}}...20.20$

vilket ger

${\frac {w_{2}}{w_{1}}}=1,7\%...20.21$

Lite måndata:

b=1737km

V=2,2E19m^2

m=7,3E22kg

T=28d

g'=0,16g

mj=6E24kg (jordmassan, finns inte i Physics handbook)

Kapitel XXI, Elektromagnetiska vågor

En bild på en transversell elektromagnetisk våg

Föreställ Er en våg som löper utmed x-axeln, en elektromagnetisk våg är transversell och ortogonal dvs har två vinkelräta fältkomponenter enligt

$E(x,t)=E_{y}sin(w(t-{\frac {x}{v}}))...21.1$

och

$B(x,t)=B_{z}sin(w(t-{\frac {x}{v}}))...21.2$

Man kan skriva två av Maxwells ekvationer på differentialform enligt

$\nabla XE=-{\frac {dB}{dt}}...21.3$

som också kallas Faraday's induktionslag, sen kan man skriva

$\nabla XH=J_{fri}+{\frac {dD}{dt}}...21.4$

som också kallas Ampere's lag (J går bort för här finns inga fria laddningar, bara en förkjutningsström), eftersom

$D=\epsilon E...21.5$

och

$B=\mu H...21.6$

så kan man skriva 21.4 som (osäker på tecknet, dock)

$\nabla XB=\mu \epsilon {\frac {dE}{dt}}...21.7$

Nabla är för övrigt en deriveringsoperator enligt

$\nabla =a_{x}{\frac {d}{dx}}+a_{y}{\frac {d}{dy}}+a_{z}{\frac {d}{dz}}...21.8$

Krysset betyder sedan kryssprodukt/rotation och intresserade uppmanas kolla upp Cirrus regel men i princip handlar det om att två vektorer ger upphov till en tredje ortogonal vektor när man "kryssar" dom, i vårt fall vet vi dock riktningarna så det enda man behöver tänka på är att en derivering sker, allmänt kan kryssprodukt annars skrivas

$\nabla XA=a_{x}({\frac {dA_{z}}{dy}}-{\frac {dA_{y}}{dz}})+a_{y}({\frac {dA_{x}}{dz}}-{\frac {dA_{z}}{dx}})+a_{z}({\frac {dA_{y}}{dx}}-{\frac {dA_{x}}{dy}})...21.9$

21.3 ger då att

${\frac {dE_{y}}{dx}}=-{\frac {dB}{dt}}...21.10$

där Ex=0 och 21.7 ger att

${\frac {dB_{z}}{dx}}=-\epsilon \mu {\frac {dE}{dt}}...21.11$

Där Bx=0, det är egentligen fel att nyttja indexering här men det förtydligar relativt 21.9

Om vi nu nyttjar 21.1 respektive 21.3 så fås

$E_{y}{\frac {w}{v}}\cos w(t-{\frac {x}{v}})=B_{z}w\cos w(t-{\frac {x}{v}})...21.12$

dvs

$E_{y}=vB_{z}...21.13$

och om vi sen nyttjar 21.2 respektive 21.4 så fås

$B_{z}{\frac {w}{v}}\cos w(t-{\frac {x}{v}})=\epsilon \mu E_{y}w\cos w(t-{\frac {x}{v}})...21.14$

eller

$B_{z}=v\epsilon \mu E_{y}...21.15$

dvs

$1=v^{2}\epsilon \mu ...21.16$

vilket ger

$v={\frac {1}{\sqrt {\epsilon \mu }}}...21.17$

Eller mer specifikt

$v={\frac {1}{\sqrt {\epsilon _{0}\mu _{0}}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {\epsilon _{r}\mu _{r}}}}...21.18$

där

$\mu _{0}...21.19$

är permeabiliteten för vakuum och

$\epsilon _{0}...21.20$

är permittiviteten för vakuum, suffixet r står för relativ och är alltid större än ett förutom för vakuum där de är ett, således kan man teckna

$c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}}...21.21$

Vilket är ljushastigheten i vakuum.

Eftersom omagnetiska material har en permeabilitet ganska nära ett så blir permittiviten den enda kvarvarande egenskapen, man har tom infört en särskild benämning dvs

$n={\sqrt {\epsilon }}_{r}...21.22$

vilket kallas brytningsindex som pga 21.18 gör så att

$v={\frac {c}{n}}...21.23$

dvs vågens utbredningshastighet minskar med brytningsindex.

Det här är relativt klockrent men sen snackas det om fashastighet modell

$v_{f}={\frac {w}{k}}...21.24$

och varför kommer det in i spelet?

Jag kan tänka mig en härledning av ovanstående genom nyttjande av konstant fasskillnad enligt

$s(x,t)=Asin(wt-kx)=Asin(-\phi )...21.25$

där minustecknet bara underlättar algebran enligt

$kx=wt+\phi ...21.26$

och om man stuvar om lite så får man

$x={\frac {w}{k}}t+{\frac {\phi }{k}}...21.27$

som deriverat ger fashastigheten enligt

$v_{f}={\frac {dx}{dt}}={\frac {w}{k}}...21.28$

Jag har lite svårt att förstå 21.25 så jag vill utveckla den lite, det enklaste sättet att förstå det är i det komplexa planet där man kan skriva 21.25 som

$s(x,t)=Ae^{j(wt-kx)}...21.29$

vars imaginär-del är 27.25, det intressanta händer dock om man skriver om detta enligt

$s(x,t)=Ae^{jwt}e^{-jkx}...21.30$

där man faktiskt har att man kan separera tidsplanet med rummet ty de är oberoende funktioner, wt snurrar i tiden medans kx snurrar i rummet, här har man dessutom att vid s(0,0) så är dom i fas varför det blir som så att under den periodtid som det snurras i tidsplanet löps ett lambda igenom för det kan liksom inte bli nån våg i rummet om det inte händer nåt i tiden, nåt sånt tror jag man måste resonera.

Numeriskt exempel

Hastigheten elektromagnetiska vågor såsom ljus breder ut sig med i vakuum är ljushastigheten (c) på 300 000 000 m/s, hastigheten i olika medium är sedan c/n där n är brytningsindex för mediumet.

Kapitel XXII, Grupphastighet

Vektoriell addition

Grupphastighet är egentligen den hastighet med vilken själva informationen utbreder sig, om man t.ex har en amplitudmodulerad våg och mediumet inte är dispersivt (dvs att olika frekvenser inte färdas olika snabbt genom mediet) så har man att fashastigheten är samma som grupphastigheten, annars kan man se det som så att bärvågen färdas med fashastigheten medans modulationen/informationen färdas med grupphastigheten, definitionerna är som följer:

$v_{f}={\frac {w}{k}}...22.1$

Som alltså är fashastigheten medans grupphastigheten definieras

$v_{g}={\frac {dw}{dk}}...22.2$

Om man då har att

$w=v_{f}\cdot k...22.3$

och att

$v_{f}={\frac {c}{n}}...22.4$

så blir

$w=k{\frac {c}{n}}...22.5$

vilket ger

$v_{g}={\frac {dw}{dk}}={\frac {c}{n}}+k{\frac {d(c/n)}{dn}}{\frac {dn}{dk}}...22.6$

och därmed blir 22.2

$v_{g}={\frac {c}{n}}-k{\frac {c}{n^{2}}}{\frac {dn}{dk}}={\frac {c}{n}}(1-{\frac {k}{n}}{\frac {dn}{dk}})=v_{f}(1-{\frac {k}{n}}{\frac {dn}{dk}})...22.7$

Grupphastighet kan man bara prata om när man har fler än en våg samtidigt, låt oss säga att vi har följande störningar:

$s_{1}(x,t)=Acos(w_{1}t-k_{1}x)...22.8$

respektive

$s_{2}(x,t)=Acos(w_{2}t-k_{2}x)...22.9$

där vi förenklar med samma amplitud, summerar vi sedan dessa får vi

$s_{1}+s_{2}=Acos(w_{1}t-k_{1}x)+Acos(w_{2}t-k_{2}x)...22.10$

nu finns det en trigonometrisk formel som lyder

$cos(\alpha )+cos(\beta )=2cos({\frac {\alpha +\beta }{2}})cos({\frac {\alpha -\beta }{2}})...22.11$

och om

$\alpha =w_{1}t-k_{1}x...22.12$

och

$\beta =w_{2}t-k_{2}x...22.13$

så blir 28.9

$s_{1}+s_{2}=2Acos({\frac {w_{1}t-k_{1}x+(w_{2}t-k_{2}x)}{2}})cos({\frac {w_{1}t-k_{1}x-(w_{2}t-k_{2}x)}{2}})...22.14$

eller

$2Acos({\frac {(w_{1}+w_{2})t-(k_{1}+k_{2})x}{2}})cos({\frac {(w_{1}-w_{2})t-(k_{1}-k_{2})x}{2}})...22.15$

Här har vi alltså att

$w={\frac {1}{2}}(w_{1}+w_{2})...22.16$

sen har vi att

$k={\frac {1}{2}}(k_{1}+k_{2})....22.17$

sen har vi att

$\Delta w={\frac {1}{2}}(w_{1}-w_{2})...22.18$

dessutom har vi att

$\Delta k={\frac {1}{2}}(k_{1}-k_{2})...22.19$

vilket gör att man kan skriva 22.10 som

$2Acos(wt-kx)cos(\Delta w\cdot t-\Delta k\cdot x)...22.20$

Personligen tycker jag trigonometriska formler är jobbiga och svåra att komma ihåg, jag börjar få känslan att z-planet direkt ger det man behöver, låt oss därför skriva om 22.8 respektive 22.9 enligt

$s_{1}(x,t)=Ae^{j(w_{1}t-k_{1}x)}...22.21$

respektive

$s_{2}(x,t)=Ae^{j(w_{2}t-k_{2}x)}...22.22$

22.10 kan då skrivas

$s_{1}+s_{2}=A(e^{j(w_{1}t-k_{1}x)}+e^{j(w_{2}t-k_{2}x)})...22.23$

detta kan skrivas om enligt

$s_{1}+s_{2}=Ae^{j(w_{2}t-k_{2}x)}(e^{j((w_{1}t-k_{1}x)-(w_{2}t-k_{2}x))}+1)...22.24$

eller

$s_{1}+s_{2}=Ae^{j(w_{2}t-k_{2}x)}e^{j{\frac {1}{2}}((w_{1}t-k_{1}x)-(w_{2}t-k_{2}x))}\cdot$ $(e^{j{\frac {1}{2}}((w_{1}t-k_{1}x)-(w_{2}t-k_{2}x))}+e^{-j{\frac {1}{2}}((w_{1}t-k_{1}x)-(w_{2}t-k_{2}x))})...22.25$

dvs

$s_{1}+s_{2}=Ae^{j{\frac {1}{2}}((w_{1}t-k_{1}x)+(w_{2}t-k_{2}x))}(e^{j{\frac {1}{2}}((w_{1}t-k_{1}x)-(w_{2}t-k_{2}x))}+e^{-j{\frac {1}{2}}((w_{1}t-k_{1}x)-(w_{2}t-k_{2}x))})...22.26$

tar man sedan hand om termerna kan man skriva

$s_{1}+s_{2}=Ae^{j{\frac {1}{2}}((w_{1}+w_{2})t-(k_{1}+k_{2})x)}(e^{j{\frac {1}{2}}((w_{1}-w_{2})t-(k_{1}-k_{2})x)}+e^{-j{\frac {1}{2}}((w_{1}-w_{2})t-(k_{1}-k_{2})x)})...22.27$

nu ser man tydligt att man har dessa termer

$w={\frac {1}{2}}(w_{1}+w_{2})...22.28$

och

$k={\frac {1}{2}}(k_{1}+k_{2})...22.29$

och

$\Delta w={\frac {1}{2}}(w_{1}-w_{2})...22.30$

samt

$\Delta k={\frac {1}{2}}(k_{1}-k_{2})...22.31$

och allt utan att en enda trigonometrisk formel har använts (fast Eulers formel är implicit använd)!

Det är intressant att göra jämförelsen med hur en blandare i en superheterodyn fungerar, i ovanstående fall skulle man kunna säga att vi har gjort en summering av två signaler i ett linjärt (och icke dispertivt) medium, en mixer jobbar emellertid med ett olinjärt medium och är "icke-dispersivt" på det sättet att den inte är frekvensberoende i sin blandningmekanism.

Vi skissar lite på detta och antar att:

$x(t)=Xe^{jw_{1}t}...22.32$

och

$y(t)=Ye^{jw_{2}t}...22.33$

om man nu multiplicerar dessa signaler får man

$xy=Xe^{jw_{1}t}Ye^{jw_{2}t}=XYe^{j(w_{1}+w_{2})t}...22.34$

Här identifierar vi enkelt att det finns en frekvenskomponent på

$w=w_{1}+w_{2}...22.35$

men samtidigt vet vi att även differensen finns så i dessa fall föreslår jag att man löser saken genom en dubbel multiplikation enligt:

$xy=xy...22.36$

respektive

$xy=xy^{*}...22.37$

för om man tar transponatet av y och multiplicerar så får man just den differentiella termen.

Låt oss nu analysera hur själva multiplikationen av två signaler går till i verkligheten, alla vet att adderar man logaritmiskt så är det lika med multiplikation, vi kan således förenkla något och anta att

$f(u)=e^{u}=e^{(x+y)}...22.38$

Enligt Maclaurin kan man skriva om detta ty vi vet att u är litet

$f(u)=f(0)+f'(0)u+{\frac {1}{2}}f''(0)u^{2}+H.O.T...22.39$

f(u) har jag valt som busenkel att derivera (dvs man får alltid e^u) med andra ord så blir 22.39

$1+u+{\frac {1}{2}}u^{2}...22.40$

Vilket ger

$1+x+y+{\frac {1}{2}}(x+y)^{2}...22.41$

eller

$1+x+y+{\frac {1}{2}}(x^{2}+2xy+y^{2})...22.42$

där vi ser att vi har frekvenserna

1) 1: DC 2) x: w1 3) y: w2 4) x^2: w1^2 dvs 2*w1 (tänk multiplikation av två komplexa tal) 5) y^2: w2^2 dvs 2*w2 (egentligen även differensen läs 0) 6) xy: w1+w2 (fås av multiplikationen av de båda komplexa signalerna) 7) xy: w1-w2 (fås av transponatet vid multiplikation av samma signaler).

Om man nu jämför olinjär summering (mixer) med linjär summering (icke dispersivt medium) så ser vi speciellt att linjär summering ger halva summan respektive halva differensen medans olinjär summering ger summan respektive differensen.

Det finns ett annat sätt att bevisa 28.1, säg att vågen kan beskrivas enligt

$s(x,t)=sin(wt-kx)...22.43$

där amplituden är normerad till 1 då kan vi nyttja vågekvationen enligt

$v^{2}{\frac {\delta ^{2}s}{\delta x^{2}}}={\frac {\delta ^{2}s}{\delta t^{2}}}...15.18$

på så sätt att vi först deriverar enligt

${\frac {ds}{dx}}=-kcos(wt-kx)...22.44$

sen deriverar vi igen och får

${\frac {d^{2}s}{dx^{2}}}=-k^{2}sin(wt-kx)...22.45$

på samma sätt kan man tidsderivera enligt

${\frac {ds}{dt}}=wcos(wt-kx)...22.46$

och när vi deriverar igen så får vi

${\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=-w^{2}sin(wt-kx)...22.47$

och pga vågekvationen (15.18) så fås

$v_{f}={\frac {w}{k}}...22.48$

Numeriskt exempel

Genom att rycka i ett rep fäst i en vägg kan vi mäta periodtiden (T) och våglängden (lambda) samt räkna ut fashastigheten, T fås som den tid som motsvarar en hel period hos svängningen, våglängden fås som den längd i meter som svängningen har. Om till exempel våglängden är en meter då är k 2pi[m] och om periodtiden är 1s så är omega (w) 2pi[rad/s] och vi får en fashastighet (vf) på 1m/s.

Kapitel XXIII, Energitäthet och Intensitet

Visar vad effekttäthet är

Om man tittar på en longitudinell plan våg i luft så har vi att dess rörelseenergi är

$E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}...23.1$

vilket vi kan skriva om enligt

$E_{k}={\frac {1}{2}}m({\frac {ds}{dt}})^{2}...23.2$

där ds/dt är störningens hastighet.

Om vi då har att störningen är

$s=Asin(wt-kx)...23.3$

så blir

${\frac {ds}{dt}}=wAcos(wt-kx)....23.4$

Där vi bara är intresserad av maximat av detta och kvadrerat blir då 23.2 istället

$E_{k}={\frac {1}{2}}m(wA)^{2}...23.5$

massan kan vi sedan teckna

$m=\rho _{0}V_{0}...23.6$

där rho_0 är densiteten hos luft och V_0 den ursprungliga volymen, med andra ord kan vi teckna

$E_{k}={\frac {1}{2}}\rho _{0}V_{0}(wA)^{2}...23.7$

om vi delar detta med V_0 så får vi

${\frac {E_{k}}{V_{0}}}=p={\frac {1}{2}}\rho _{0}(wA)^{2}...23.8$

vilket är energitätheten ty den har enheten [J/m^3] vilket samtidigt är enheten för tryck.

Om man sedan tittar på energin som passerar genom ett volymselement (dV=Sdx=Svdt) så har vi att

$dE={\frac {1}{2}}\rho _{0}(wA)^{2}Sv_{f}dt...23.9$

och iom att intensitet definieras som effekt per areaenhet så kan vi teckna

$I={\frac {1}{S}}{\frac {dE}{dt}}={\frac {1}{2}}\rho _{0}(wA)^{2}v_{f}=pv_{f}...23.10$

eller

$I=pc...23.11$

där c är ljudhastigheten i luft.

Dvs intensiteten i W/m^2 är produkten av fashastigheten och trycket (eller energitätheten om man så vill), man kan nog lite se det som så att man har ett "tryck" som rör sig (konceptet med energitäthet/tryck är samma för en gas i allmänhet där vi dock avser termisk hastighet, här är det störningens hastighet som sätter energitätheten och därmed trycket).

Det är intressant att dra paralleller till exempelvis en akustisk punktkälla som strålar, intensiteten hos den rundstrålande/isotropiska vågen är inverterat proportionell mot R^2 eller inverterat proportionell mot den sfäriska yta som avståndet till källan bygger vilket i klartext betyder att dina öron uppfattar ljudtrycket som sjunkande med avståndet i kvadrat.

Numeriskt exempel

Intensiteten hos en longitudinell våg (läs vanligt ljud) i luft blir med 0Phon (20uPa) 7mW/m^2 (som är en nedre gräns för vad vi männinskor kan uppfatta), vid 120dBPhon (smärtgränsen för våra öron) så är intesiteten 7kW/m^2, sen är vg alltid lika med vf om mediumet inte är dispersivt dvs "leder" olika frekvenser olika bra.

Kapitel XXIV, Polarisation och Reflektion

Visar hur vågor beter sig när dom möter tätare respektive tunnare medium

En våg som breder ut sig i "papperets" plan kallas planpolariserad, denna skulle man kunna teckna

$E_{y}=Asin(wt-kx)...24.1$

en våg som breder ut sig cirkulärt kan man sedan teckna

$E_{y}=Asin(wt-kx)...24.2$

och

$E_{z}=Asin(wt-kx+{\frac {\pi }{2}})=Acos(wt-kx)...24.3$

vilket kallas för cirkulärpolariserad och man kan se detta som att A är radien i en cirkel och stigningen är avståndet mellan två närliggande punkter i samma plan hos spiralen som det roterande repet/vågen bygger upp, detta är samma som våglängden, en cirkulärtpolariserad våg är ett specialfall av en elliptiskt polariserad våg enligt

$E_{y}=Asin(wt-kx)...24.4$

och

$E_{z}=Asin(wt-kx+\alpha )...24.5$

Om vi återigen tittar på ett rep och antar att repet är fäst vid en vägg och vi kallar den punkten för x=0, då kommer inte repet kunna röra sig i den punkten, detta samtidigt som den infallande vågen och den reflekterade vågen kommer samverka (fråga mig inte varför), pga detta kan man skriva

$s(x,t)=s_{i}(0,t)+s_{r}(0,t)=0...24.6$

där vi kan teckna den infallande störningen som

$s_{i}(0,t)=Asin(wt-kx)...24.7$

och den reflekterade störningen som

$s_{r}(0,t)=Asin(wt+kx+\alpha )...24.8$

24.6 ger sedan vid x=0 att

$Asin(wt)+Asin(wt+\alpha )=0...24.9$

där man ser att alpha måste vara pi dvs vid reflektion mot ett tätare medium så får vågen ett fastillskott på pi eller, vilket är ekvivalent, ett våglängdstillskott på lambda/2, väggen tycks alltså ha en utsträckning i rummet på lambda halva trots att det bara sitter där.

Om sen väggen inte finns där utan repet möter ren luft då har vi faktumet att kraften är riktad längs med tangenten på repet och vid x=0 så pekar kraften rakt uppåt dvs det finns ingen x-komponent, men det finns två s-komponenter som tar ut varandra enligt (jag fattar inte detta riktigt)

${\frac {ds}{dx}}={\frac {ds_{i}}{dx}}+{\frac {ds_{r}}{dx}}=0...24.10$

för på samma sätt som när det fanns en vägg där störningarna samverkade så samverkar störningarna när det inte finns nån vägg, med andra ord får vi dessa uttryck

$-kAcos(wt-kx)+kAcos(wt+kx+\alpha )=0...24.11$

där man vid x=0 inser att alpha måste vara noll, dvs inget fastillskott vid reflektion mot tunnare medium.

Numeriskt exempel

Om ett rep är fäst i en vägg och man rycker i repet för att skapa en våg då kommer puken vid väggen vändas neråt när vågen går tillbaka från väggen (reflekteras). Det roliga är att detta triviala exempel även gäller elektromagnetiska fält som ljusvågor när dom infaller mot tätare medium, kan inte hitta på några siffror på det här annat än att man kallar fastillskottet vid reflektion mot väggen för +pi vilket inte är så konstigt för när repet vid väggen försöker gå upp så måste det helt enkelt gå ner istället när vågen reflekteras, detta är samma som en invertering av "signalen".

Kapitel XXV, Stående vågor

Från ovan har vi att störningen vid infall mot en vägg är

$s(x,t)=Asin(wt-kx)+Asin(wt+kx+\pi )...25.1$

detta kan naturligtvis skrivas om som

$s(x,t)=Asin(wt-kx)-Asin(wt+kx)...25.2$

Här vill jag ta till mitt trick med komplexa tal dvs

$s(x,t)=Ae^{j(wt-kx)}-Ae^{j(wt+kx)}...25.3$

detta kan sedan skrivas om enligt

$s(x,t)=Ae^{jwt}(e^{-jkx}-e^{jkx})...25.4$

eller

$s(x,t)=2jAe^{jwt}{\frac {e^{-jkx}-e^{jkx}}{2j}}...25.5$

dvs

$s(x,t)=+2Ae^{j(wt+\pi /2)}sin(kx)...25.6$

här är jag lite osäker men resonerar som så att grundfunktionen är sinus men pi/2 ändrar detta till cosinus och vi får

$s(x,t)=-2Acos(wt)sin(kx)...25.7$

Allt utan att behöva slå i en enda formelsamling!

Om nu strängen är spänd mellan två punkter kan alltså bara vissa moder uppkomma, funktionen har alltså sina noder/nollställen vid vissa våglängder/frekvenser och sina bukar/maxima vid andra våglängder/frekvenser.

Funktionen 25.7 är noll (noder) för

$kx=n\cdot \pi ,n=0,1,2,3...25.8$

och maximal (bukar) för

$kx=(2n+1)\cdot \pi /2,n=0,1,2,3...25.9$

Man kan skriva om detta enligt (för noder)

$kx=2\pi {\frac {x}{\lambda }}=>x=0,{\frac {\lambda }{2}},{\frac {2\lambda }{2}},{\frac {3\lambda }{2}}...25.10$

och (för bukar)

$kx=2\pi {\frac {x}{\lambda }}=>x={\frac {\lambda }{4}},{\frac {3\lambda }{4}},{\frac {5\lambda }{4}}...25.11$

Om en sträng är fäst vid två punkter så måste det vara noder, man ser därför att grundtonen uppstår när våglängden=2x=2L

Hastigheten är sedan gammalt

$v=\lambda f={\sqrt {\frac {F}{\mu }}}...25.12$

och när grundtonen har våglängden 2L så kan man skriva

$v=2Lf={\sqrt {\frac {F}{\mu }}}...25.13$

dvs frekvensen bestäms av längden på strängen och den kraft den spänns med enligt

$f={\frac {\sqrt {\frac {F}{\mu }}}{2L}}...25.14$

där my är massan per längdenhet hos strängen.

Numeriskt exempel

En låda på 1X2X3dm kan ha stående vågor modell längsta våglängder som (2; 4; 6)dm och om vi leker lite med ljud så motsvaras dessa av frekvenserna 340/{0,2, 0,4; 0,6) dvs frekvenserna (1700; 850; 570)Hz, fler stående vågor kan fås för högre frekvenser (kortare våglängder) men dessa är dom lägsta och fundamentala och för högtalare gissar jag att dom är dom mest kritiska för högre frekvenser känns mer lättdämpade även om jag inte förstår sånt men jag tror mig ha förstått att energiinnehållet i musiken sjunker med frekvensen.

Kapitel XXVI, Fluidmekanik

Härledning av Pascal's lag

Fluid betyder nåt som kan strömma/flöda, både gaser och vätskor kan vara fluider. När man behandlar fluider skiljer man på inkompressibla och kompressibla fluider. Vätskor är i regel inkompressibla medans gaser är kompressibla till sin natur. Första kapitlet i min lärares (Åke Fäldt) litteratur om detta behandlar Pascal's lag enligt:

Om man har en triangel av fluid och man har tryck som är normala till sidorna hos triangeln och triangelns höjd är 1 då kan man visa att

$F_{a}=p_{a}*a*1...26.1$

och

$F_{b}=p_{b}*b*1...26.2$

och

$F_{c}=p_{c}*c*1...26.3$

där a, b, c är längden hos triangelns respektive sidor.

Sidorna kommer att förhålla sig till krafterna, pga likformighet och att inget vridmoment får existera, enligt

$a:b:c=F_{a}:F_{b}:F_{c}...26.4$

eller

$a:b:c=p_{a}*a:p_{b}*b:p_{c}*c...26.5$

dvs

$p_{a}=p_{b}=p_{c}=p...26.6$

som är Pascal's lag.

Om man tittar på en hydraulisk lift så puttar vi på med en kraft (F1) över en liten area (S1), då får den inkompressibla vätskan övertrycket p1=F1/S1.

Under förskjutning dy1 av kolv_1 tillförs utifrån energin F1dy1, vid kolv_2 har vi fått övertrycket p2 som ger kraften F2 uppåt på kolven med area S2.

Under förskjutning dy2 av kolv_2 uträttar vätskan arbetet F2dy2.

Energiprincipen ger att

$F_{1}\Delta y_{1}=F_{2}\Delta y_{2}...26.7$

Inkompressibel vätska ger sedan att den förskjutna volymen är samma dvs

$S_{1}\Delta y_{1}=S_{2}\Delta y_{2}...26.8$

Division ledvis ger sedan att

$F_{1}/S_{1}=F_{2}/S_{2}...26.9$

dvs

$p_{1}=p_{2}...26.10$

Som är Pascal's princip.

Det kan vara intressant att förtydliga detta genom att istället skriva

$F_{2}=({\frac {d_{2}}{d_{1}}})^{2}F_{1}...26.11$

Dvs den hydrauliska kraften förstärks med diameterförhållandet i kvadrat, en diameterkvot på 10 gör alltså så att en hundra gånger större tyngd kan lyftas.

Nueriskt exempel

Om hävarmens kolv på domkraften är 1dm^2 och lyftplattan är 100dm^2 samt att man gissningsvis kan applicera 100kg tryckkraft på kolven, så man man lyfta 10ton.

Kapitel XXVII, Vätsketryckets beroende av djupet

Trycket på ett vätskeelement

Vi betraktar nu ett planparallellt vätskeelement med z-axeln riktad uppåt, jämviktsvillkoret är

$p(z)S-p(z+\Delta z)S=mg...27.1$

Men massan är

$m=S\Delta z\rho ...27.2$

dvs

$p(z)S-p(z+\Delta z)S=S\Delta z\rho g...27.3$

eller

$p(z)-p(z+\Delta z)=\Delta z\rho g...27.4$

Vid små dz kan vi ersätta

$p(z+\Delta z)-p(z)...27.5$

med

$p(z+\Delta z)-p(z)={\frac {dp}{dz}}\Delta z....27.6$

dvs

$-{\frac {dp}{dz}}\Delta z=\Delta z\rho g...27.7$

eller

${\frac {dp}{dz}}=-\rho g...27.8$

Integrerar man upp detta får man

$p=-\rho gz+konstant...27.9$

Vid z=0 är sedan p=p0 varför

$p=p_{0}-\rho gz...27.10$

Denna formel är lite akademisk, jag skulle vilja säga att trycket istället är

$p=p_{0}+\rho gh...27.11$

där h är vätskedjupet, vid noll meter råder normalt lufttryck (p0), sen ökar trycket med djupet.

Numeriskt exempel

Trycket under havsytan ökar med en 1atm vart tionde meter, när trycket vid havsytan (p0) är 1atm så är totaltrycket alltså 2atm vid tio meter men för större djup kan man bortse från p0 och säga att vid 100m djup så är (över)trycket hela 10atm, vid 1000m är trycket således nära 100atm vilket innebär 100kg på en enda kvatratcentimeter eller 10ton på en kvadratdecimeter som kan liknas med foten (och vikten) hos en elefant.

Kapitel XXVIII, Vätskors och gasers kompressibilitet

Tryck under ytan av en vätska

Ett mått på vätskors och gasers förmåga att komprimeras av tryck(ändringar) ger kompressibiliteten definierad av

$\kappa =-{\frac {1}{V}}({\frac {dV}{dp}})_{T}...28.1$

Mer vanligt är dock det reciproka värdet

$K=-V({\frac {dp}{dV}})_{T}...28.2$

vilket då har dimensionen tryck och gäller under konstant temperatur.

För vatten är K av storleksordningen 2E9 Pa, medans den för luft vid normalt lufttryck är 1,4E5 Pa så för att uppnå samma relativa volymsändring i vatten som i luft krävs alltså en c.a 14000 gånger större tryckändring i vatten än i luft.

Låt oss skissa på vatten på 100m djup.

Enligt 27.11 kan man skriva

$\Delta p=\rho gh=1E3*9,8*100\approx 1E6...28.3$

K=2E9 ger sedan via 28.2 att

${\frac {\Delta V}{V}}\approx {\frac {\Delta p}{K}}={\frac {1E6}{2E9}}=0,5E-3...28.4$

man kan skriva om detta som (dm=0 ty massan kan inte komprimeras)

${\frac {\Delta p}{K}}={\frac {\Delta \rho }{K}}gh={\frac {d(m/V)}{K}}gh=-{\frac {\rho _{0}}{K}}gh..28.5$

Jag får alltså att effektiva densiteten sjunker (tror dock nu att K egentligen är negativ för dV kan liksom inte öka).

Numeriskt exempel

Relativa densitetsförändringen på 100m djup i vatten är alltså på ynka 0,5 promille vilket visar att vätskor oftast kan anses vara inkompressibla.

Kapitel XXIX, Lufttryckets höjdberoende

Lufttryckets beroende av höjden

Ekvationen sedan tidigare

${\frac {dp}{dz}}=-\rho g...27.8$

gäller även för gaser.

Men för integration måste rho uttryckas som funktion av z eller p.

Allmänna gaslagen ger

$pV=n_{m}RT...29.1$

densiteten kan sedan skrivas

$\rho ={\frac {M}{V}}...29.2$

dvs

$\rho ={\frac {Mp}{n_{m}RT}}...29.3$

vilket ger

${\frac {dp}{dz}}=-{\frac {Mp}{n_{m}RT}}g...29.4$

dvs

$\int _{p_{o}}^{p}{\frac {dp}{p}}=-{\frac {Mg}{n_{m}RT}}\int _{0}^{z}dz...29.5$

vilket ger

$ln(p)-ln(p_{0})=-{\frac {Mg}{n_{m}RT}}z...29.6$

eller

$ln{\frac {p}{p_{0}}}=-{\frac {Mg}{n_{m}RT}}z...29.7$

dvs

${\frac {p}{p_{0}}}=e^{-{\frac {Mg}{n_{m}RT}}z}...29.8$

Jag får inte riktigt ihop det här, allmänna gaslagen utgår alltid från antalet mol gaspartiklar så det är diffust hur många mol man skall räkna med och därmed vad stora M och molmassan är, man skulle kunna säga att det är massan för en mol och då går n_m bort (ty ett) men varför blir det i så fall så (min lärare sluddrar om kmol men det köper inte jag).

Man kan dock tänka sig att M och n_m följer varandra så att det inte spelar nån roll vilka absoluta belopp de har, samtidigt är det faktiskt som så att M är just massan för EN mol dvs n_m=1.

Massan en enda molekyl väger är sedan molmassan delat med Avogadros tal (dvs antalet molekyler per mol) enligt

$m_{p}=M/N_{A}...29.9$

och Boltzmanns konstant är

$k={\frac {R}{N_{A}}}...29.10$

vilket ger det alternativa uttrycket (men bara om n_m är ett)

${\frac {p}{p_{0}}}=e^{-{\frac {m_{p}g}{kT}}z}...29.11$

Numeriskt exempel

Lufttrycket halveras vid ungefär 5km höjd.

Kapitel XXX, Archimedes princip

Archimedes princip

"Den lättnad han kände i badkaret överensstämde med tyngden av det av honom undanträngda vattnet"

Om man kikar på en klump i vätska och har z pekandes uppåt med F2 underifrån och F1 ovanifrån så gäller

$F_{2}-F_{1}=[p_{2}-p_{1}]S...30.1$

detta kan man också skriva

$F_{2}-F_{1}=[\rho gz_{2}-\rho gz_{1}]S=\rho g[z_{2}-z_{1}]S...30.2$

eller

$F_{2}-F_{1}=\rho gV=m_{f}g...30.3$

Observera alltså att kraften är riktad uppåt dvs det är en lyftkraft.

Det kan vara lite knepigt att intuitivt förstå detta men om man betänker att trycket i en vätska ju ökar med djupet så blir trycket under klumpen större än trycket ovanför klumpen. Jag skall kladda lite till angående det här för jag tycker det är roligt. Föreställ Er att Ni har en bit material (vi tänker oss en rektangulär klump), vad krävs för att den inte skall sjunka? Svaret är egentligen rätt enkelt men det är ändå roligt att räkna på det:

Lyftkraften då klumpen precis "hänger" under ytan måste varas lika med klumpens tyngd enligt (där indexeringen f står för fluid/vätska)

$\rho _{f}ghS=\rho _{b}ghS...30.4$

dvs

$\rho _{f}>\rho _{b}...30.5$

för att klumpen skall kunna flyta.

Man kan också se det enligt

$\rho _{f}hS=m_{b}...30.6$

där man tydligt ser att om man ökar S så räcker mindre h dvs ju större anläggningsyta ju högre upp i vattnet ligger materialet/faryget, detta innebär att V-formade skrov har den extra fördelen (förutom styrsel) att dom introducerar större yta och när dom introducerar större yta kommer dom upp ur vattnet, eventuellt blir dock friktionen pga viskositets-krafter samtidigt större men det förtäljer inte historien.

Man kan också se 30.6 på ett annat sätt

$V=hS={\frac {m_{b}}{\rho _{f}}}...30.7$

där V kallas för kroppens/fartygets displacement.

Numeriskt exempel

Ett fartyg på 1 ton har displacement (V) lika med 1m^3, fördelat på 10m^2 så blir djupet (h) 1dm

Kapitel XXXI, Ytspänning

Ytspänning

För att föra en molekyl från vätskans inre del till ytan åtgår, pga intermolekylära attraktionskrafter, energi där ytskiktet representerar en ytenergi.

Man kan teckna ytspänningen enligt:

$\gamma ={\frac {dw}{dS}}...31.1$

som alltså har enheten J/m^2.

Här citerar jag min lärare bara utan att förstå: "Det måste vara energetiskt eftersträvansvärt för en vätskelamell att kunna reducera sin fria yta så mycket som möjligt. För en tänkt fri vätska i ett gravitationsfritt rum blir sfären den ideala formen".

Om vi funderar lite på det här så har vi trots allt J/m^2 som enhet dvs ju mindre yta lamellen/vätskan kan anta ju mindre energi går åt för att anta den formen och om man har en begränsad och bestämd mängd vätska (lamellmässigt, säger vi) och vi leker med tanken att vi har två former som är möjliga där den ena är en cirkel och den andra en kvadrat så blir ju de olika areorna när bredden är lika stor

$A_{sqr}=(2r)^{2}=4r^{2}...31.2$

och

$A_{circle}=\pi r^{2}...31.3$

så att förtjänsten av att anta cirkulär form är

${\frac {A_{circle}}{A_{sqr}}}={\frac {\pi }{4}}...31.4$

dvs c.a -25%.

Men lite grand kan man faktiskt fråga sig varför minsta möjliga energiåtgång alltid är så intressant, iofs kan man titta på oss människor i det avseende för dom fleska puttar ju inte in mer energi än nödvändigt samtidigt som vissa faktiskt ändå gör det så varför MÅSTE naturen alltid antas anta det lägsta energitillståndet?

Om man tänker sig en vätskelamell med bredden L som då har två lika stora ytor (S) och en fast ram som bara är öppen i ena änden likt en endimensionell kolv där vi drar med kraften F, då ökar vätskelamellens totala (pga två sidor) area enligt

$S=S_{0}+\Delta S=S_{0}+2L\Delta x...31.5$

Arbetet Fdx har då uträttats samtidigt som vätskans ytenergi, pga 38.1, har ökat med

$\gamma \Delta S=\gamma 2L\Delta x...31.6$

eller

$\gamma 2L\Delta x=F\Delta x...31.7$

detta ger att

$\gamma ={\frac {F}{2L}}...31.9$

Gamma är således också lika med kraften per längdenhet av lamellytans begränsning.

Numeriskt exempel

En fluga väger kanske 0,1g, ytspänningen för vatten är 73mN/m detta ger att den totala längden för flugans ben om den skall kunna gå på vatten är 1,4cm. Jag tror flugor har sex ben och i så fall måste varje ben som möter ytan vara undgefär 2mm.

Kapitel XXXII, Konsekvenser av ytspänningen

En sfärisk droppe

Övertrycket under en krökt yta kan tecknas

A) Sfärisk droppe

Ytans area är då

$S=4\pi r^{2}...32.1$

Ytenergin är samtidigt enligt 31.1

$W=\gamma S=\gamma 4\pi r^{2}...32.2$

Vi tänker oss nu en pytteliten ökning av droppradien där trycket uträttar arbetet

$dw=Fdr=pSdr=p4\pi r^{2}dr...32.3$

pga definitionen av ytspänning (31.1) kan vi sedan teckna

$\gamma dS=dw=p4\pi r^{2}dr...32.4$

så med en differentiering av ytan enligt

$dS=d(4\pi r^{2})=8\pi rdr...32.5$

så får man

$\gamma 8\pi rdr=p4\pi r^{2}dr...32.6$

dvs

$p=2{\frac {\gamma }{r}}...32.7$

B) För en sfärisk bubbla gäller

$p=4{\frac {\gamma }{r}}...32.8$

Dubbla magnituden beror på att vi nu har två ytor.

Numeriskt exempel

En droppe med radien 1mm har övertrycket 146Pa eller 146N/m^2 eller 15kg/m^2 eller 1,5g/cm^2, normalt lufttryck är sedan på 1kg per kvadratcentimeter.

Kapitel XXXIII, Kapillaritet

Stigning i en kapillär

I min bok påstås det att en vätskeyta i ett kärl inte kan vara vinkelrätt mot kärlväggen, vätskeytan måste alltså krökas på det iofs allmänt kända sättet att H2O ger en konkav krökning medans Hg ger en konvex krökning, varför det blir så framgår dock inte riktigt i min studentlitteratur.

Stighöjden i en kapillär får vi sedan från följande resonemang:

I kapillären måste trycket vara Po dvs lufttrycket och eftersom kapillären är krökt åt "fel" håll så får vi en tryckreduktion enligt

$\Delta p_{r}=-2{\frac {\gamma }{r}}...33.1$

Tryckökningen pga vätskepelaren är sedan

$\Delta p_{h}=\rho gh...33.2$

med andra ord gäller

$P_{0}=P_{0}-2{\frac {\gamma }{r}}+\rho gh...33.3$

där man kan teckna

$r={\frac {r'}{cos\theta }}...33.4$

om man ser r som krökningsradien och r' som radien på kapillären/röret, pga detta kan man skriva

$2{\frac {\gamma }{r'}}cos\theta =\rho gh...33.5$

möblerar man om så kan man alltså bestämma gamma och därmed ytspänningen enligt

$\gamma ={\frac {r'\rho gh}{2cos\theta }}...33.6$

så genom att observera dels hur högt vätskan stiger dels vilken vinkel den har i förhållande till kärlväggen och genom att känna till vätskans densitet så kan man bestämma vätskans ytspänning på detta sätt.

Jag har tänkt lite på bussen idag och skulle vilja skriva om 33.3 enligt

$P_{0}-2{\frac {\gamma }{r}}=P_{0}-\rho gh...33.7$

eller ännu enklare

$\Delta p=2{\frac {\gamma }{r}}=\rho gh...33.8$

där man tydligt ser att pelarens höjd är omvänt proportionell mot radien hos kapillären.

Vänsterledet i 33.7 återspeglar sedan ambienta trycket minus tryckreduktionen ovanifrån gränsytan och högerledet återspeglar ambienta trycket minus "stapeltrycket" underifrån gränsytan för säg att vi tittar vid den krökta gränsytan då ger stapeln ett lägre tryck där (det högre trycket är ju vid "havsnivån") sen är jag dock mycket osäker på att det verkligen blir en tryckreduktion för en droppe har ju ett positivt övertryck inifrån sett, jag ser det alltså inte men möjligtvis är dr i 39.3 negativ fast då vinner man energi på att expandera bubblan.

Jag har börjat se det på ett annat sätt, säg att man har en kolv av vätska i kapillären och sen drar man kolven neråt och vätskan fastnar ju då pga ytspänningen i kapillärväggarna, då får man ju ett sug där "uppe" dvs ovanför gränsytan och då gäller genast ekv. 33.7.

Numeriskt exempel

Ett träd har kanske kapillärer motsvarande 1um (r') och vinkeln för vatten borde vara runt 45 grader, då fås att vattten kan stiga 10m från markytan på grund av kapillärkrafterna. Anser dock att 1 miljondels meter är lite väl klent men det verkar krävas att dom måste vara så klena.

Kapitel XXXIV, Hydrodynamik för ideal vätska

Flöde hos en fluid

Genom alla tvärsnitt av samma strömrör måste vätskeflödet (volym per tidsenhet) vara densamma, vätskans hastighet är ett mått på flödestätheten.

v har dimensionen längd/tid men kan då också skrivas

$v=volym/(tid*yta)...34.1$

Den volym som per tidsenhet (dvs flödet) passerar det godtyckliga ytelementet dS kan då skrivas

$d\phi =vdScos\theta ...[m^{3}/s]...34.2$

där dS är en infinitesimal area vars normal i relation till flödets riktning ger det vektoriella produkten som också kan skrivas

$d\phi =\mathbf {v} \cdot \mathbf {dS} ...34.3$

där ytelementet representeras av vektorn dS.

Här tycker jag det är intressant att tänka sig v som en flödestäthet som ger flödet när det integreras upp över ytan.

Det finns andra fall där man kan tänka på samma sätt, dessa två tänker jag på: 1) Tryck skulle kunna betraktas som en flödestäthet, summerar man upp trycket över en yta fås ju kraften [N] 2) Magnetisk flödestäthet är ju en klockren flödestäthet och om man summerar upp den över en yta så fås flödet [Wb]

Jag har kommit på det här helt själv och tycker det är lite häftigt :)

Iom att jag läst det här mycket intressanta kapitlet i min gamla lärares bok så tror jag mig fått kläm på vad kurvintegraler respektive vanliga integraler är för nåt.

En kurvintegral löper runt hela sträckan/ytan (finns alltså inga kurvintegraler för volymer vågar jag påstå) så om man t.ex bara är intresserad av vad som "flödar" igenom en yta så ska man inte satsa på kurvintegraler för dom blir noll pga att kurvintegraler tar hänsyn till både vad som kommer in och vad som kommer ut så om man har ett inflöde i nåt strömningsrör säger vi och man samtidigt har ett utflöde i samma strömningsrör som ofta är lika stort ja då blir kurvintegralen noll men om man bara tittar på flödet genom ytan så finns det ett värde, i fallet magnetisk flödestäthet kan man påstå att

$\phi =\int \mathbf {B} \mathbf {dS} ...[Wb]...34.4$

där B är flödestärheten och S arean.

Vid en sluten kurva, om ingen vätskekälla finns inom den inneslutna volymen så gäller

$\oint \mathbf {v} \mathbf {dS} =\oint \mathbf {v} \mathbf {\hat {n}} dS=0...34.5$

dvs nettoströmningen i ett strömrör är noll.

Man kan se det som så att det strömmar in saker och det strömmar ut saker men det strömmar på ett "kontrollerat" sätt (kan kanske kallas laminärt) dvs det strömmar inte hur som helst utan i enlighet med att t.ex att det inte läcker utmed strömningsrörets väggar (dvs vinkelrätt mot strömningen).

Om vi nyttjar 34.5 så får vi alltså konsekvensen att det sammanlagda vätskeflödet in och ut i ett slutet skal måste vara noll.

Eftersom ytändarnas normaler alltid pekar utåt medans vi har ett flöde inåt så kommer tecknet på flödet vara positivt i ena sidan av strömningsröret och negativt i andra sidan av strömningsröret samtidigt som vi antar att inget flöde finns vinkelrätt mot flödesriktningen, då får vi att

$v_{2}S_{2}-v_{1}S_{1}=0...34.6$

dvs flödet in är lika med flödet ut.

Med andra ord gäller

$\phi =v_{2}S_{2}=v_{1}S_{1}...34.7$

som också kallas kontinuitetsekvationen för inkompressibel fluid.

Numeriskt exempel

Om man har en å med bredden 1m och djupet 1m dvs tvärsnittsarean 1m^2 (S1) och hastigheten v1=10m/s då är flödet (vS) 10 kubikmeter per sekund, smalnar nu ån av en faktor 10 så är fortfarnde flödet 10 kubikmeter per sekund det är bara det att hastigheten i "pipen" går upp en faktor tio så nu är v2 100m/s.

Kapitel XXXV, Bernoullis ekvation

Friktionsfri laminär strömning

Om man tittar på ett strömningsrör där översta ändan är av större diameter än den nedersta ändan så kan man rätt tydligt se att nedersta ändans längd hos fluiden är längre än översta ändans och detta pga att samma volym skall passera men med olika tvärsnittsareor.

Tittar man mer krasst på dom båda volymselementen så har man att

$S_{2}v_{2}dt=S_{1}v_{1}dt=Svdt...35.1$

för volymerna är helt enkelt samma, när det sedan puttas på ovanifrån med ett tryck så uträttar trycket vid 1 arbetet:

$\Delta W_{1}=[Fdx=pdV=pSdx=pSvdt]=p_{1}S_{1}v_{1}dt...35.2$

Strömröret självt uträttar (då det "trycker ut" volymen S2v2dt) samtidigt arbetet

$\Delta W_{2}=p_{2}S_{2}v_{2}dt...35.3$

Nettotillförsel av energi blir då

$\Delta W=\Delta W_{1}-\Delta W_{2}=p_{1}S_{1}v_{1}dt-p_{2}S_{2}v_{2}dt=(p_{1}-p_{2})Svdt...35.4$

Ändringen i den lilla vätskevolymens kinetiska energi är (tänk mv^2/2):

$\Delta E_{k}={\frac {1}{2}}\rho Svdtv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}\rho Svdtv_{1}^{2}...35.5$

eller

$\Delta E_{k}=({\frac {1}{2}}\rho v_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}\rho v_{1}^{2})Svdt...35.6$

Ändringen i potentiell energi är (tänk mgh):

$\Delta E_{p}=\rho Svdtgz_{2}-\rho Svdtgz_{1}...35.7$

eller

$\Delta E_{p}=(\rho gz_{2}-\rho gz_{1})Svdt...35.8$

Energiprincipen ger nu att

$\Delta W=\Delta E_{k}+\Delta E_{p}...35.9$

dvs

$(p_{1}-p_{2})Svdt=({\frac {1}{2}}\rho v_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}\rho v_{1}^{2})Svdt+(\rho gz_{2}-\rho gz_{1})Svdt...35.10$

alltså

$p_{1}-p_{2}={\frac {1}{2}}\rho v_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}\rho v_{1}^{2}+\rho gz_{2}-\rho gz_{1}...35.11$

vilket vi kan arrangera om enligt

$p_{1}+\rho gz_{1}+{\frac {1}{2}}\rho v_{1}^{2}=p_{2}+\rho gz_{2}+{\frac {1}{2}}\rho v_{2}^{2}...35.12$

dvs

$p+\rho gz+{\frac {1}{2}}\rho v^{2}=Konstant...35.13$

som alltså är Bernoullis ekvation som dock kan vara enklare att greppa om man istället skriver

$\Delta (p+\rho gz+{\frac {1}{2}}\rho v^{2})=0...35.14$

dvs räknar man på två punkter i en laminär strömning så ändras bara parametrarna inbördes, lägesenergin kan till exempel inte ändras om inte kinetiska energin också ändras, lite diffust är detta dock.

Numeriskt exempel

Man kan kalla rhogz för lägesenergi(täthet, Ep) och 1/2rhov^2 för rörelseenergi(täthet, Ek) och för vatten på en höjd av en meter fås Ep=10kPa (1kg/m^2) och för Ek för en hastighet av 10m/s fås 50kPa (5kg/m^2), p är nog mest ett bakgrundstryck modell normalt lufttryck dvs po. Finns det en höjd (z) så kan man räkna ut Ep (aka statiska trycket), finns det en rörelse v i fluiden så kan man räkna ut Ek (aka dynamiska trycket), Ek innebär sedan att om du har en rörelse i en fluid så får du ett dynamiskt tryck. Det är fel att kalla det Ep/Ek men kopplingen till "normala" Ep/Ek blir lättare att förstå tycker jag (gastryck är sedan J/m^3 per definition).

Kapitel XXXVI, Tryck och tryckmätning

Mätning av tryck

I Bernoullis ekvation så har vi tre termer av dimensionen tryck, vid horisontell strömning faller dock lägesenergitäthetstermen (rho g z) bort och vi får

$p+{\frac {1}{2}}\rho v^{2}=Konstant...36.1$

vilket också kan skrivas

$p_{1}+{\frac {1}{2}}\rho v_{1}^{2}=p_{2}+{\frac {1}{2}}\rho v_{2}^{2}...36.2$

eller

$\Delta (p+{\frac {1}{2}}\rho v^{2})=0...36.3$

p1 och p2 kallar vi sedan det statiska trycket, medans dom andra termerna kallas det dynamiska trycket.

Dynamiska trycket är sedan lika med rörelseenergitätheten dvs den kinetiska energin per volymsenhet.

Jag finner det intressant att tryck egentligen inte är så mycket mer än energi per volymsenhet, därför kan man tänka "sedvanlig" lägesenergi och rörelseenergi med tillägget att dom nu gäller per volymsenhet (dvs är tätheter).

$p_{t}=p+{\frac {1}{2}}\rho v^{2}...36.4$

kallas sedan något oegentligt för totaltrycket, för måtning enligt bild gäller

$p_{1}+{\frac {1}{2}}\rho v_{1}^{2}=p_{2}+{\frac {1}{2}}\rho v_{2}^{2}...36.5$

och

$v_{1}S_{1}=v_{2}S_{2}...36.6$

detta gör att man kan skriva

$p_{1}-p_{2}={\frac {1}{2}}\rho v_{1}^{2}[({\frac {S_{1}}{S_{2}}})^{2}-1]...36.7$

och

$p_{1}-p_{2}=\rho 'gh...36.8$

här ser man alltså att det är trycket och inte totaltrycket som mäts, detta ger

$v_{1}={\sqrt {\frac {2\rho 'gh}{\rho [({\frac {S_{1}}{S_{2}}})^{2}-1]}}}...36.9$

där rho' är vätskan i det mätande röret.

Numeriskt exempel

Om vätskepelarens skillnadshöjd (h) är 10cm och vi har vatten (vilket man normalt dock inte mäter med) då är skillnaden i tryck 1000Pa pga rho'gh, sen är skillnaden i totaltryck 0 enligt Bernoilli och ur detta kan man sedan räkna ut v1 och ett numeriskt värde för vår skillnadshöjd, S1/S2=2 och rho'=rho för vatten blir v1=0,8m/s.

Kapitel XXXVII, Vätskors utströmning

Utströmningshastighet från en flaska

Föreställ er en behållare som är riktad horisontellt med en platt liten kolv och ett hål i botten, vilken strömningshastighet får vätskan ut genom hålet?

Här kan man nyttja Bernoulli rakt av enligt:

$p+\rho gh+{\frac {1}{2}}\rho v^{2}=konstant..37.1$

dvs här gäller då

$p_{i}+0+0=p_{0}+0+{\frac {1}{2}}\rho v^{2}...37.2$

dvs inuti behållaren finns bara pi medans utanför behållaren har vi den kinetiska delen samtidigt som strömningen är horisontell så vi har ingen lägesenergi att ta hänsyn till, därför kan man kalla

$p_{i}-p_{0}=\Delta p...37.3$

vilket ger

$v={\sqrt {\frac {2\Delta p}{\rho }}}...37.4$

Ett annat exempel på strömning är när vätska strömmar ur ett hål i botten av ett kärl, Bernoulli ger då (vänsterledet gäller inuti kärlet, högerledet utanför)

$p_{0}+\rho gh+0=p_{0}+0+{\frac {1}{2}}\rho v^{2}...37.5$

eller

$\rho gh={\frac {1}{2}}\rho v^{2}...37.6$

dvs

$v={\sqrt {2gh}}...37.7$

Jag tycker att man borde kalla

$\rho gh...37.8$

för lägesenergidensitet och

${\frac {1}{2}}\rho v^{2}...37.9$

för rörelseenergidensitet.

Detta för att saker som "delas" med volymen i själva verket är en densitet medans saker som delas med arean är en täthet och saker som delas med längden är en intensitet.

Speciellt intressant med (gas)tryck är att det har enheten J/m^3 dvs är en densitet.

Numeriskt exempel

Om vi har en vätska i kärlet och hålet på sidan enligt bild samt en höjd (h) på 1dm fås en hastighet på vätskan på 1,4m/s, observera att densitet och därmed vätsketyp inte spelar nån roll så länge den "kommer igenom" hålet, antar jag.

Kapitel XXXVIII, Hydrodynamik för reala vätskor

Visar hur viskositet kan räknas ut

Om en plan skiva (planet//bottenytan) rör sig med konstant hastighet v parallellt med botten kan man notera en laminär strömning hos vätskan med en hastighet som från 0 vid bottenytan växer linjärt till värdet v vid skivan.

Som mått på vätskans skjuvkrafter (friktionskrafter) inför vi VISKOSITETEN definierad av

$F=\eta S{\frac {v}{y}}...38.1$

eller allmänt

$F=\eta S{\frac {dv}{dy}}...38.2$

Vilket innebär att enheten för eta/viskositet är Ns/m^2

som också kan fås från (där P är impulsen)

$\eta ={\frac {dP}{dS}}...38.3$

ty

$F={\frac {dP}{dt}}...38.4$

per definition.

Sjuvspänningen kan sedan tecknas

$\tau =\eta {\frac {dv}{dy}}...38.5$

Detta säger dock inte min lärare så mycket om men jag skriver ner det ändå, tydligen är skjuvspänningen snarare trycket hos "viskositetkraften" för i övrigt gäller samma formel.

Numeriskt exempel

Viskositetskonstanten för vatten är 10^-3 Ns/m^2 så om vi har en skiva på 1m^2 och för den genom vatten på höjden 1m från botten ed en hastighet av 1m/s så bildas en friktionskraft på 10^-3N eller 0,1g (låter lite tycker jag).

Kapitel XXXIX, Strömning i ett rör

Strömning i ett rör

Vi söker hastighetsprofilen v=v(r) där r är avståndet från symmetriaxeln.

Den snabbare strömmande inre cylindern med radie r bromsas av den långsammare omgivningen med kraften

$F=\eta S{\frac {dv}{dy}}=-\eta S{\frac {dv}{dr}}...39.1$

sedan är

$S=2\pi rL...39.2$

varför

$F=-\eta 2\pi rL{\frac {dv}{dr}}=\Delta pS_{\perp }...39.3$

pga accelererande krafter på båda ändytorna, detta kan också skrivas

$F=-\eta 2\pi rL{\frac {dv}{dr}}=\Delta p\pi r^{2}...39.4$

arrangerar man om får man sedan

$dv=-{\frac {1}{\eta 2\pi L}}\Delta p\pi rdr...39.5$

eller

$dv=-{\frac {\Delta p}{2\eta L}}rdr...39.6$

vilket kan integreras enligt

$\int _{v}^{0}dv=-\int _{r}^{R}{\frac {\Delta p}{2\eta L}}rdr...39.7$

dvs

$v={\frac {\Delta p}{2\eta L}}[r^{2}/2]_{r}^{R}...39.8$

eller

$v={\frac {\Delta p}{4\eta L}}(R^{2}-r^{2})...39.9$

hastighetsprofilen är med andra ord parabolisk med lägst hastighet i periferin dvs nära rör-väggen.

Numeriskt exempel

Om man puttar på med p1=2atm och har ett mindre p2 (för rörelse) på 1atm samt ett R på en decimeter och kikar på hastgheten vid halva hela rörets radie (r=R/2) samt har en längd (L) på 1m så blir strömningshastigheten 436m/s, i mitten är sedan hastigheten 503 m/s. Jag har sedan lärt mig att det inte krävs så stor tryckskillnad för att hastigheter ska bli höga, till exempel tror jag att en ynka procent ger 40m/s (man kan härleda detta mha Bernoilli MEN bara om hastigheten är mindre än 20% av ljudets hastighet).

Kapitel XL, Totala vätskeflödet i ett rör

Totala vätskeflödet i ett rör

Genom ett ringformigt tvärsnitt vars begränsningsradier är r och r+dr (och vars area är 2pir*dr) strömmar flödet

$d\phi =d({\frac {dV}{dt}})=v\cdot dS=v2\pi rdr...40.1$

Totalt i röret flödar då

$\int d\phi =\int _{0}^{R}v2\pi rdr...40.2$

med hjälp av föregående kapitel fås då

$\int d\phi =\int _{0}^{R}{\frac {\Delta p}{4\eta L}}(R^{2}-r^{2})2\pi rdr...40.3$

dvs

$\int d\phi ={\frac {\Delta p\pi }{2\eta L}}\int _{0}^{R}(R^{2}r-r^{3})dr...40.4$

eller

$\int d\phi ={\frac {\Delta p\pi }{2\eta L}}[R^{2}{\frac {r^{2}}{2}}-{\frac {r^{4}}{4}}]_{0}^{R}...40.5$

som blir

$\phi ={\frac {\Delta p\pi }{2\eta L}}[{\frac {R^{4}}{2}}-{\frac {R^{4}}{4}}]...40.6$

dvs

$\phi ={\frac {\Delta p\pi }{2\eta L}}{\frac {R^{4}}{4}}...40.7$

eller

$\phi ={\frac {\Delta p\pi }{8\eta L}}R^{4}...40.8$

Rätt intressant att veta att flödet i ett rör går som R^4, en liten ändring av diametern ändrar alltså flödet nåt enormt!

Numeriskt exempel

Om dp=1atm och R=1dm samt L=1m så blir flödet 4000m^3/s och om nu R dubblas får man alltså 16ggr högre flöde, 4000 kubikmeter per sekund kommer sen återigen av att dp är stor. Det känns som om normalt lufttryck (1atm) faktiskt är väldigt stort!

Kapitel XLI, Överljudsströmning

Fluiders strömningshastighet

$p_{0}+{\frac {1}{2}}\rho v^{2}=konst...41.1$

vid horisontell strömning, accelereras stillastående (vo=0) luft från

$p_{0}=1atm=10^{5}Pa...41.2$

till

$0,99p_{0}...41.3$

och

$v=v_{1}...41.4$

så gäller

$p_{0}+0=0,99p_{0}+{\frac {1}{2}}\rho v_{1}^{2}...41.5$

dvs

$v_{1}={\sqrt {\frac {2\cdot 0,01p_{0}}{\rho }}}...41.6$

eller

$v_{1}={\sqrt {\frac {2\cdot 10^{3}}{1,3}}}\approx 40m/s...41.7$

Detta är alltså ett riktmärke för hur nära ljudhastigheten man kan tillämpa Bernoullis ekvation, 40/340 är 12%, 20% är vedertaget.

Bilden kommer inte från min lärobok, jag har hittat på den.

Idag kom jag på att det eventuellt finns två fall av denna situation.

Om man tittar hur en fluid måste uppföra sig när den går ur "tratten" så måste den ju följa väggarna för att formlerna skall duga till nåt.

Men jag ser plötsligt att det är skillnad på fluid och fluid för vatten skulle inte kunna följa trattens väggar, den skulle mest fortsätta går rakt fram.

En varm gas skulle däremot kunna följa tratt-väggarna för en varm gas vill expandera pga dess inre tryck (läs dess inre partiklas kinetiska energi per volymsenhet) så när den kommer ut ur trattens mynning så expanderar den bara.

Detta gör inte vatten.

Så jag har blivit lite lurad av min egen kurslitteratur för det verkar som om man inte bara utan vidare kan kalla både en gas och en vätska för en fluid för tydligen gåller inte samma premisser.

I vattenfallet kan man helt enkelt teckna kontinuitetsekvationen enligt:

$S1v1=S2v2...41.8$

eller

$Sv=konst...41.9$

där v är hastigheten.

denna tycks alltså gälla för vatten (eller lite lekfullt även för en uppochnervänd PET-flaska med jordnötter (som jag matar mina fåglar med)).

Där i fallet att utgående area är större än ingående så fås en lägre hastighet på vattnet.

Men för fallet varm gas och tratten så blir det istället att följande tycks gälla.

$p_{0}+{\frac {1}{2}}\rho {\frac {v_{0}^{2}}{2}}=p_{1}+{\frac {q1}{2}}\rho {\frac {v_{1}^{2}}{2}}...41.10$

vilket kommer från Bernoillis ekvation.

Jag tolkar denna ekvation som att det statiska trycket (p0 respektive p1) är det som ändras för allt handlar väl yterst om kraftjämvikt?

Och handlar det om (statisk) kraftjämvikt så är F0=F1 och man kan teckna

$F_{0}/S_{0}+{\frac {1}{2}}\rho {\frac {v_{0}^{2}}{2}}=F_{0}/S_{1}+{\frac {1}{2}}\rho {\frac {v_{1}^{2}}{2}}...41.11$

där således v1 måste öka i förhållande till v0 ty ytan ökar och därmed sjunker p1.

Med andra ord tycks vi ha två olika ekvationer som inte generellt gäller utan man måste titta på vilken typ av "fluid" det är.

Numeriskt exempel

Om tryckdifferensen kring normalt lufttryck är 20% fås en hastighet på 175m/s, vilket dock inte är riktigt relevant för 52% av c är större än dom 20% av c som Bernoullis sägs gälla för.

Kapitel XLII, Kontinuitetsekvationen för kompressibel gas

Uträkningsunderlag för kontinuitetsekvation

Vi kunde för den inkompressibla fluiden utnyttja kravet volymen = konstant, vilket då också uppfyller mekanikens första konserveringslag, den om massans konservering. Nu måste vi emellertid pga masskonserveringslagen modifiera sambandet

$S_{1}v_{1}=S_{2}v_{2}...34.7$

till att inkludera tätheterna enligt

$\rho _{1}S_{1}v_{1}=\rho _{2}S_{2}v_{2}...42.1$

Om vi först tänker oss en inkompressibel fluid som vatten, då gäller kontinuitetsekvationen enligt 34.7 ovan.

Men om det handlar om en gas så är den kompressibel och får olika täthet vid dom olika tvärsnittsareorna för när gas flödar in i nåt som har mindre area så borde rimligtvis dess densitet öka.

Enligt 34.7 så har vi att flödet (Volym per tidsenhet) är samma för den inkompressibla fluiden men nu har vi att massa per tidsenhet in måste vara samma som massa per tidsenhet ut egentligen kanske tom pga Newtons första lag om kraft=motkraft, eller?

Så man kan teckna 49.1 vilket kanske även kan ses som massans oförstörbarhet.

Det är kul att spekulera i vad som händer.

Om vi tar vatten så kommer det i min bild innebära att v2>v1 enligt 34.7.

Men om vi tar gas så är det svårare att se hur mycket tätare den blir men eventuellt går densiteten som S1/S2 och då ger 42.1 att det blir

$\rho _{1}S_{1}v_{1}=\rho _{1}{\frac {S_{1}}{S_{2}}}*S_{2}v_{2}...42.2$

dvs

$v_{2}=v_{1}...42.3$

dvs det sker ingen hastighetsökning alls om det gäller en gas.

Numeriskt exempel

Om vi har vanlig luft och en yta (S) på en kvadratdecimeter samt en hastighet på 1m/s så blir massflödet 13g/s.

Kapitel XLIII, Horisontell strömning av kompressibel gas

Strömning i ett rör

På gasmassan enligt

$m=\rho Sdx...43.1$

verkar den i x-led accelererande kraften

$pS-(p+dp)S=F=-dpS...43.2$

Kraftekvationen ger

$m{\frac {dv}{dt}}=-dpS...43.3$

eller

$\rho Sdx{\frac {dv}{dt}}=-dpS...43.4$

differentierar man v får man

$dv={\frac {dv}{dt}}dt+{\frac {dv}{dx}}dx...43.5$

vi är intresserade av hastighetsförändringen i rummet och inte i tiden samtidigt som hastigheten i en fix punkt alltid är densamma därför reduceras differentieringen till

$dv={\frac {dv}{dx}}dx...43.6$

och insatt i vår ekvation fås

$\rho dx{\frac {dv}{dx}}{\frac {dx}{dt}}=-dp...43.7$

dvs

$\rho dvv=-dp...43.8$

eller

$\rho vdv+dp=0...43.9$

lite kan man nog se det som

${\frac {dp}{dv}}=-v\rho ...43.10$

dvs att trycket sjunker med både rho och hastigheten för redan derivatan och minustecknet framför rho säger oss att trycket sjunker med ökande hastighet men den extra hastigheten multiplicerat med rho säger oss att denna tryckminskning snarare är kvadratiskt minskandes med hastigheten.

Den sista ekvationen är originellt nog lika med en differentiering av Bernoulli ekvation dvs

$p+{\frac {1}{2}}\rho v^{2}=konst...43.11$

för horisontell strömning och differentieringen blir

$dp+\rho vdv=0...43.12$

Men om Bernoullis ekvation hade gällt för en kompressibel gas så skulle differentieringen även få göras för rho med resultatet

$dp+\rho vdv+{\frac {1}{2}}v^{2}d\rho ...43.13$

vilket alltså är fel.

Numeriskt exempel

Vid en hastighet på 40m/s och luft fås en tryckförändring på -52Pa per m/s, 40m/s skulle då innebära en trycksänkning på 2080Pa vilket är 2% av normalt lufttryck, detta stämmer inte riktigt med tidigare uträkningar där 1% tryckminskning motsvarade just 40m/s men i vilket fall ser man att mycket små förändringar av normalt lufttryck ger rätt höga hastigheter hos luften.

Kapitel XLIV, Överljudsströmning

Visar en longitudinell våg i till exempel luft

Vid strömningshastiheter kring eller över ljudhastigheten c spelar det så kallade Mach's Tal

$\mu ={\frac {v}{c}}...44.1$

en avgörande roll i den teoretiska behandlingen av problemen.

Från akustiken lånar vi uttrycket för ljudhastigheten

$c={\sqrt {\frac {dp}{d\rho }}}...44.2$

som låter oss skriva

$\mu ^{2}={\frac {v^{2}}{c^{2}}}=v^{2}{\frac {d\rho }{dp}}=v^{2}{\frac {d\rho }{dv}}{\frac {dv}{dp}}...44.3$

som med hjälp av

${\frac {dp}{dv}}=-v\rho ...44.10$

ger

$\mu ^{2}=v^{2}{\frac {d\rho }{dv}}\cdot (-{\frac {1}{\rho v}})...44.4$

dvs

$\mu ^{2}=-{\frac {v}{\rho }}{\frac {d\rho }{dv}}...44.5$

Numeriskt exempel

Om hastigheten är 40m/s dvs Mach-talet (my) är 40/340=0,12 då är förändringen av densiteten relativt relativt densiteten för luft -0,05%, för 200m/s blir resultatet -0,23%, densiteten sjunker alltså med hastigheten (om än med mycket lite)

Fritänkande, försök till bevis av ljudhastighetsformeln

Klassisk fysik enligt tidigare ger

$\rho Sdx{\frac {dv}{dt}}=-dpS...43.4$

som kan skrivas om som

$\rho dx{\frac {dv}{dt}}=-dp...43.5$

differentierar man vänsterledet får man (differentiering av differentialer är noll)

$d\rho (dx{\frac {dv}{dt}})=-dp...44.6$

eller

$d\rho vdv=-dp...44.7$

eller

$vdv={\frac {-\partial p}{\partial \rho }}...44.8$

här har jag ett teckenfel för rho bör rimligtvis öka om trycket ökar dvs drho/dp bör vara positivt här och om det är så gäller

${\frac {v^{2}}{2}}={\frac {\partial p}{\partial \rho }}...44.9$

där jag faktisk tolkar denna ekvation som

$({\frac {v}{\sqrt {2}}})^{2}={\frac {\partial p}{\partial \rho }}...44.10$

eller

$v_{eff}={\sqrt {\frac {\partial p}{\partial \rho }}}...44.11$

ty vi snackar mest sinusiala rörelser här.

Kapitel XLV, Raketforskning

Överljudsströmning medels Laval-Dysa

Kontinuitetsekvationen för kompressibel gas lyder ju

$\rho vS=konstant_{A}...45.1$

som också kan skrivas

$ln(\rho vS)=konstant_{B}...45.2$

Logaritmisk utveckling ger sedan

$ln\rho +lnv+lnS=konstant_{B}...45.3$

differentiering ger nu

${\frac {d\rho }{\rho }}+{\frac {dv}{v}}+{\frac {dS}{S}}=0...45.4$

dvs

${\frac {dS}{S}}=-({\frac {dv}{v}}+{\frac {d\rho }{\rho }})=-{\frac {dv}{v}}(1+{\frac {v}{dv}}{\frac {d\rho }{\rho }})=-{\frac {dv}{v}}(1+{\frac {v}{\rho }}{\frac {d\rho }{dv}})=-{\frac {dv}{v}}(1-\mu ^{2})...45.5$

från 51.5, alltså gäller

${\frac {dS}{S}}=[\mu ^{2}-1]{\frac {dv}{v}}...45.6$

som kan utvecklas som

$ln{\frac {S_{2}}{S_{1}}}=[\mu ^{2}-1]ln{\frac {v_{2}}{v_{1}}}...45.7$

Slutligen har vi två speciella fall:

1) Vid underljudsströmning dvs

$\mu <1...45.8$

är

$\mu ^{2}-1<0...45.9$

varför, som vi väntar oss, en ökning av gasströmmens tvärsnittsarea (dS>0) medför att dv<0 dvs en minskning av v (jfr kontinuitetsekvationen för inkompressibel gas ty låga hastigheter dvs v1S1=v2S2).

2) Vid överljudsströmning dvs

$\mu >1...45.10$

är

$\mu ^{2}-1>0...45.11$

varför, i strid med vad som förväntas, en ökning av strålens tvärsnittsarea medför ökning av hastigheten (jämför med kontinuitetsekvationen för kompressibel gas ty höga hastigheter dvs rho1v1S1=rho2v2S2).

1) innebär att vi aldrig genom successiv reduktion av en strålkanals tvärsnittsarea kan uppnå ljudhastigheten (detta vore ju den enkla och självklara metoden om Bernoullis ekvation gällde), visserligen innebär en minskning av S samtidig ökning av v MEN endast då my<1 eller v<c.

2) ger en fingervisning hur en strålkanal skall konstrueras för att ge v>c, i Lavaldysan bringas först gasen (my<1) nära c genom en kort förträngning för att därefter vidga sin tvärsnittsarea pga dysans form.

Numeriskt exempel

Om my^2-1=0,1 och S2/S1=2 så fås att v2/v1 blir runt 1000, dvs om vi på "vanligt sätt" trissat upp hastigheten i pipen till säg c (teoretiskt max) så blir gashastiheten ut från dysan 340 000 m/s! Ett my^2-1 på 0,1 innebär sedan att my=1,05 dvs hastigheten i pipen måste vara marginellt högre än c (på nåt sätt).

Kapitel XLVI, Snell's brytningslag och Fresnel's ekvationer

Hur elektromagnetiska vågor bryts

Reflektion och transmission av en elektromagnetisk våg

Visar hur en plan våg transmitteras när den infaller mot ett tunnare medium , den visar även vad infallsplan är

Det här kapitlet är ganska långt ifrån mina ambitioner med att försöka vara behjälplig med att bygga en fungerande fusionsreaktor men det är ett kapitel i min kurslitteratur som jag ändå tragglat mig igenom, ingen kunskap är dålig kunskap.

Jag levererar tre bilder, Snell's brytningslag är mycket viktig och behandlar hur ljus bryts och varför, den andra bilden visar hur ljus reflekteras och transmitteras, den tredje bilden visar vad som händer när ljus infaller mot ett optiskt tunnare medium, den visar även vad infallsplan (plane of incidence) är för nåt.

Snell's brytningslag grundar sig på att tiden för ljuset att gå sträckan dsin(O1) är lika med tiden för ljuset att gå dsin(O2) för annars blir det fel i fas och eftersom tid kan skrivas som sträcka genom hastighet där hastighet är c/n pga brytningsindex så kan man skriva detta som

${\frac {dsin(\theta _{1})}{c/n_{1}}}={\frac {dsin(\theta _{2})}{c/n_{2}}}...46.1$

eller

$n_{1}\cdot sin(\theta _{1})=n_{2}\cdot sin(\theta _{2})...46.2$

som är Snell's brytningslag.

Utöver detta finns reflektionslagen som i min kurslitteratur sägs vara ett specialfall av Snell's brytningslag men jag klassar det uttalandet som skitsnack samtidigt som alla vet att om man sparkar en boll snett mot en vägg så kommer den studsa lika snett åt andra hållet dvs utfallsvinkeln är lika med infallsvinkeln och man behöver inte vara forskare för att förstå det :D

För formens skull skriver jag ändå reflektionslagen enligt

$\theta _{i}=\theta _{r}...46.3$

där index i indikerar infallande stråle och index r indikerar reflekterad stråle.

Man kan förmodligen se härledningen av denna formel som härledningen för Snell men att man befinner sig i samma medium och då är brytningsindex och därmed hastighet lika dvs både ljushastigheten och brytningsindex kan förkortas bort.

Nu behöver vi veta hur elektromagnetisk strålning beter sig i gränsskikt, följande regler gäller enligt Maxwell:

$E_{t1}=E_{t2}...46.4$

$H_{t1}=H_{t2}...46.5$

$D_{n1}=D_{n2}...46.6$

$B_{n1}=B_{n2}...46.7$

dessa regler ger enligt min lärare

$({\frac {E_{r}}{E_{i}}})_{\perp }=-{\frac {sin(\theta _{1}-\theta _{2})}{sin(\theta _{1}+\theta _{2})}}...46.8$

och

$({\frac {E_{r}}{E_{i}}})_{\parallel }={\frac {tan(\theta _{1}-\theta _{2})}{tan(\theta _{1}+\theta _{2})}}...46.9$

och nu ska vi härleda dessa uttryck för vad ska man med formler till om man inte förstår vart dom kommer ifrån?

Först har jag fått lära mig att följande gäller (redigerad efter egen övertygelse)

$E_{i}=E_{r}+E_{t}...46.10$

vilket låter rimligt, ser det som att inkommande energi delas upp i reflekterad och transmitterad energi.

Nedan nämns infallsplanet som är vinkelrätt (och därmed normal) mot planet strålen träffar, man kallar sedan E_parallell för nåt som ligger i infallsplanet (dvs i y-led), tycker det känns rätt onödigt att komplicera saken på detta sätt för strålarna träffar ju en yta/plan och en del reflekteras med vinkel uppåt och en del transitteras med vinkel neråt samtidigt som boundary-kriterierna (hittar inget bättre ord) är väldefinierade både normalt och tangentiellt till detta det "riktiga" infallsplanet (aka planet)

Men enligt litteraturen och Physics Forums gäller för den vinkelräta biten följande (alla vinklar är alltid relaterade till normalen till den yta strålen infaller på)

$E_{\perp }=E_{i}cos(\theta _{i})...46.11$

och E_parallell som är parallell mot infallsplanet

$E_{\parallel }=E_{i}sin(\theta _{i})...46.12$

Reflektionslagen lyder sen som sagt

$\theta _{i}=\theta _{r}...46.13$

dvs reflektionsvinkeln är lika med infallsvinkeln (jämfört med gränsytans normal), dessutom lyder i detta fall speciellt nedanstående formel för de tangentiella komponenterna där vi alltså snackar om dom komponenterna som är parallella med planet men vinkelräta mot infallsplanet samtidigt som cos per definition är vinkelrätt mot planet, jag fattar ingenting.

$H_{1t}=H_{2t}...46.14$

där

$H={\frac {B}{\mu }}...46.15$

Enligt 54.10 kan man alltså säga att följande gäller för den vinkelräta delen

${\frac {B_{i}}{\mu _{i}}}cos(\theta _{i})={\frac {B_{r}}{\mu _{r}}}cos(\theta _{i})+{\frac {B_{t}}{\mu _{t}}}cos(\theta _{t})...46.16$

Både H och E är är alltså kontinuerlig i den tangentiella delen av gränsövergången (se 46.14), nu gäller

$\mu _{i}=\mu _{r}\approx \mu _{t}...46.17$

ty omagnetiska material såsom t.ex glas har my väldigt nära my för vaakum, som också kallas my_0, dessutom gäller

$F=qE=qvB...46.18$

vilket är en klassisk formel men faktumet att E=vB härleds egentligen på ett annat sätt, nu får vi således

${\frac {E_{i}}{v_{i}}}cos(\theta _{i})={\frac {E_{r}}{v_{r}}}cos(\theta _{i})+{\frac {E_{t}}{v_{t}}}cos(\theta _{t})...46.19$

som eftersom

$v={\frac {c}{n}}...46.20$

och c är konstant samtidigt som nr=ni ger

$n_{i}E_{i}cos(\theta _{i})=n_{i}E_{r}cos(\theta _{i})+n_{t}E_{t}cos(\theta _{t})...46.21$

Här nyttjas sedan den, i original, skumma formeln ovan dvs

$E_{t}=E_{i}+E_{r}...46.10'$

som dock inte kan gälla för energidensiteten är

$W_{e}={\frac {1}{2}}\epsilon E^{2}...46.22$

dvs det finns ingen chans att transmitterad energi är större än infallande energi så jag anser detta vara akademiskt dravel men har kvar resten av uträkningarna för att jag lagt ner en massa arbete på att koda upp dom, villfarelsen har jag för övrigt fått av Physics Forums (dvs den senaste 46.10).

Notering: PF har faktiskt rätt för om man tittar på de tangentiella komponenterna i planet så blir det som så att Ei och Er faktiskt summeras och av kontinuitetsskäl blir då summan på "andra sidan" Et dvs transmitterat E-fält är lika med inkommande E-fält PLUS reflekterat E-fält hur konstigt det än låter, det mest konstiga är dock att min initialt felaktiga approach faktiskt leder till ett riktigt resultat.

$n_{i}E_{i}cos(\theta _{i})=E_{r}(n_{i}cos(\theta _{i})+n_{t}cos(\theta _{t}))+n_{t}E_{i}cos(\theta _{t})...46.23$

dvs

$({\frac {E_{r}}{E_{i}}})_{\perp }={\frac {n_{i}cos(\theta _{i})-n_{t}cos(\theta _{t})}{n_{i}cos(\theta _{i})+n_{t}cos(\theta _{t})}}...46.24$

Nu gäller Snell's brytningslag dvs

$n_{i}sin(\theta _{i})=n_{t}sin(\theta _{t})...46.25$

där n_i är infallsvinkeln jämfört med normalen och n_t är pss transmitterad vinkel, om n_t löses ut så fås

$n_{t}=n_{i}{\frac {sin(\theta _{i})}{sin(\theta _{t})}}...46.26$

och insatt i ovanstående ekvation så fås

$({\frac {E_{r}}{E_{i}}})_{\perp }={\frac {n_{i}cos(\theta _{i})-n_{i}{\frac {sin(\theta _{i})}{sin(\theta _{t})}}cos(\theta _{t})}{n_{i}cos(\theta _{i})+n_{i}{\frac {sin(\theta _{i})}{sin(\theta _{t})}}cos(\theta _{t})}}...46.27$

Nu blir det "bara" en massa trigonometri :)

Först, n_i går uppenbarligen bort sen börjar vi med att förlänga täljare och nämnare med

$sin(\theta _{t})...46.28$

då fås

$({\frac {E_{r}}{E_{i}}})_{\perp }={\frac {cos(\theta _{i})sin(\theta _{t})-sin(\theta _{i})cos(\theta _{t})}{cos(\theta _{i})sin(\theta _{t})+sin(\theta _{i})cos(\theta _{t})}}...46.29$

eller

$({\frac {E_{r}}{E_{i}}})_{\perp }={\frac {sin(\theta _{t})cos(\theta _{i})-sin(\theta _{i})cos(\theta _{t})}{sin(\theta _{t})cos(\theta _{i})+sin(\theta _{i})cos(\theta _{t})}}...46.30$

Nu finns det en trigonometrisk lag som säger att

$sin(\alpha )cos(\beta )={\frac {1}{2}}[sin(\alpha -\beta )+sin(\alpha +\beta )]...46.31$

använder vi detta och observerar att

$sin(-\alpha )=-sin(\alpha )...46.32$

så får vi

$({\frac {E_{r}}{E_{i}}})_{\perp }=-{\frac {sin(\theta _{i}-\theta _{t})}{sin(\theta _{i}+\theta _{t})}}...46.33$

som dock bara gäller den vinkelräta biten, allt måste göras om för den parallella biten och där tror jag att ansatsen är

${\frac {B_{i}}{\mu _{i}}}sin(\theta _{i})={\frac {B_{r}}{\mu _{r}}}sin(\theta _{r})+{\frac {B_{t}}{\mu _{t}}}sin(\theta _{t})...46.34$

vilket borde innebära att man bara byter ut cos mot sin i den vinkelräta formeln men jag kommer inte göra den uträkningen dock har jag svaret dvs

$({\frac {E_{r}}{E_{i}}})_{\parallel }={\frac {tan(\theta _{i}-\theta _{t})}{tan(\theta _{i}+\theta _{t})}}...46.35$

Polarisationsvinkeln är definierad som vinkeln mellan Ei och infallsplanet, om vi kallar denna vinkel för alpha så fås

$Ei_{\parallel }=E_{i}cos(\alpha )...46.36$

och

$Ei_{\perp }=E_{i}sin(\alpha )...46.37$

sen vet vi att energidensiteten (normalt kallad energitätheten eller intensiteten) är

$I=\epsilon {\frac {1}{2}}E^{2}...[J/m^{3}]...46.38$

vilket också kan ses som ett elektromagnetiskt tryck, detta ger

$I\propto E^{2}...46.39$

pga detta kan man skriva

$Ii_{\parallel }=I_{0}cos^{2}(\alpha )...46.40$

och

$Ii_{\perp }=I_{0}sin^{2}(\alpha )...46.41$

och med användande av ovan samt

$E_{r\perp }=-E_{i\perp }{\frac {sin(\theta _{i}-\theta _{t})}{sin(\theta _{i}+\theta _{t})}}...46.42$

så får man

$Ir_{\perp }=I_{0}sin^{2}(\alpha ){\frac {sin^{2}(\theta _{i}-\theta _{t})}{sin^{2}(\theta _{i}+\theta _{t})}}...46.43$

Som är den ena av Fresnels Ekvationer, denna behandlar alltså dom gentemot infallsplanet vinkelräta komponenterna.

Jag har nu försökt räkna ut dom parallella bitarna, jag tror mig kommit på att min ovanstående ansats är fel och detta pga att man måste se på dom normala bitarna i det här fället vilket innebär att

$D_{1n}=D_{2n}...46.44$

borde gälla istället, att det blir på det här viset har att göra med att vi nu tittar på komponenter som är normala till gränsytan (och därmed parallella till infallsplanet), i förra fallet tittade vi ju på komponenter som var tangentiella till gränsytan fast här är det snurrigt igen för sinus är parallellt med planet och därmed vinkelrätt mot infallsplanet, allt blir dock rätt men återigen fattar jag ingeting, dock sägs fäljande gälla

$D=\epsilon E...46.45$

varför man istället kan skriva

$\epsilon _{i}E_{i}sin(\theta _{i})=\epsilon _{i}E_{r}sin(\theta _{i})+\epsilon _{t}E_{t}sin(\theta _{t})...46.46$

som eftersom

$\epsilon _{r}=n^{2}...46.47$

övergår i

$n_{i}^{2}E_{i}sin(\theta _{i})=n_{i}^{2}E_{r}sin(\theta _{i})+n_{t}^{2}E_{t}sin(\theta _{t})...46.48$

sen tror jag att den skumma formeln fortfarande gäller dvs

$E_{t}=E_{i}+E_{r}...46.49$

detta ger

$E_{i}(n_{i}^{2}sin(\theta _{i})-n_{t}^{2}sin(\theta _{t}))=E_{r}(n_{i}^{2}sin(\theta _{i})+n_{t}^{2}sin(\theta _{t}))...46.50$

eller

$({\frac {E_{r}}{E_{i}}})_{\parallel }={\frac {n_{i}^{2}sin(\theta _{i})-n_{t}^{2}sin(\theta _{t})}{n_{i}^{2}sin(\theta _{i})+n_{t}^{2}sin(\theta _{t})}}...46.51$

nu är åter

$n_{t}=n_{i}{\frac {sin(\theta _{i})}{sin(\theta _{t})}}...46.52$

så att vi får

$({\frac {E_{r}}{E_{i}}})_{\parallel }={\frac {n_{i}^{2}sin(\theta _{i})-n_{i}^{2}{\frac {sin^{2}(\theta _{i})}{sin^{2}(\theta _{t})}}sin(\theta _{t})}{n_{i}^{2}sin(\theta _{i})+n_{i}^{2}{\frac {sin^{2}(\theta _{i})}{sin^{2}(\theta _{t})}}sin(\theta _{t})}}...46.53$

eller

$({\frac {E_{r}}{E_{i}}})_{\parallel }={\frac {sin(\theta _{i})-{\frac {sin^{2}(\theta _{i})}{sin(\theta _{t})}}}{sin(\theta _{i})+{\frac {sin^{2}(\theta _{i})}{sin(\theta _{t})}}}}...46.54$

och här ser man direkt att det blir

$({\frac {E_{r}}{E_{i}}})_{\parallel }={\frac {sin(\theta _{t})-sin(\theta _{i})}{sin(\theta _{t})+sin(\theta _{i})}}...46.55$

nu blir det att ta till lite klurig trigonometri och för att slippa koda så mycket så skippar jag att vinkelsummorna och vinkeldifferenserna skall halveras

$sin(\alpha )-sin(\beta )=2sin(\alpha -\beta )cos(\alpha +\beta )...46.56$

respektive

$sin(\alpha )+sin(\beta )=2sin(\alpha +\beta )cos(\alpha -\beta )...46.57$

När vi sätter in detta skall vi vara medvetna om att det är en kvot vilket medger vissa extra trick enligt

$({\frac {E_{r}}{E_{i}}})_{\parallel }={\frac {2sin(\theta _{t}-\theta _{i})cos(\theta _{t}+\theta _{i})}{2sin(\theta _{t}+\theta _{i})cos(\theta _{t}-\theta _{i})}}...46.58$

om vi nu delar både täljare och nämnare med

$\cos(\theta _{t}-\theta _{i})...46.59$

så faller nåt intressant ut

$({\frac {E_{r}}{E_{i}}})_{\parallel }={\frac {tan(\theta _{t}-\theta _{i})cos(\theta _{t}+\theta _{i})}{sin(\theta _{t}+\theta _{i})}}...46.60$

som även kan skrivas

$({\frac {E_{r}}{E_{i}}})_{\parallel }={\frac {tan(\theta _{t}-\theta _{i})}{tan(\theta _{t}+\theta _{i})}}...46.61$

vilket är rätt enligt litteraturen men skall egentligen vara

$({\frac {E_{r}}{E_{i}}})_{\parallel }={\frac {tan({\frac {\theta _{t}-\theta _{i}}{2}})}{tan({\frac {\theta _{t}+\theta _{i}}{2}})}}...46.62$

enligt dom trigonometriska lagarna.

Om vi kör på med vad litteraturen säger så ger detta den andra Fresnelska ekvationen enligt

$Ir_{\parallel }=I_{0}cos^{2}(\alpha ){\frac {tan^{2}(\theta _{i}-\theta _{t})}{tan^{2}(\theta _{i}+\theta _{t})}}...46.63$

Jag finner två fel i ovanstående uträkningar där det ena är att transmitterad elektrisk fältstyrka (E_t) inte kan vara större än infallande elektriska fältstyrka (E_i) pga energiprincipen, det andra felet ligger i litteraturens variant av den parallella energidensiteten (54.62) ty vinklarna ska halveras.

Detta är som sagt bara en svammelbok så jag svamlar på genom att säga att jag har fel ovan, Physics Phorums har rätt hur konstigt det än ser ut för om ni tittar i min senaste bild ovan och kollar in sinus för alla "strålar", tar man sedan hänsyn till "pilarna" så pekar alla sinuskomponeter av E-fälten i samma riktning samtidigt som

$E_{2t}=E_{1t}...46.64$

och faktiskt Kirschoffs spänningslag gäller för gränsskiktets E-fält enligt

$\oint F\cdot dl=q\oint E\cdot dl=0...46.65$

Jag kommer återkomma till det här senare i min bok och känner inte för att djupdyka här och nu så mycket men om Ni tänker er en liten rektangel med bredden w (och obetydlig höjd) som på ovansidan går i Region 1 för att sedan gå ner i Region 2 och att ni tar Kirschoff på denna potentialvandring så får Ni

$(E_{it}+E_{rt})\Delta w-E_{tt}\Delta w=0...46.66$

där vi alltså bara tittar på de till gränsskiktet tangentiella bitarna (aka i x-led och benämnd t), på ovansidan samverkar alltså de tangentiella fälten medans på undersidan blir det minus för riktningen är i negativ x-led om man börjat i positiv x-led ovanifrån, här ser Ni att PF har rätt, dock kan man lite leka med mitt energitänk modell att vi kollar hur energikvoten eventuellt kan bli att se ut genom sedvanlig formel ovan (54.38) dvs

${\frac {W_{out}}{W_{in}}}={\frac {\epsilon _{2}E_{tt}^{2}}{\epsilon _{1}(E_{it}^{2}+E_{rt}^{2})}}...46.67$

som kan skrivas om enligt (ty theta_r=theta_i)

${\frac {W_{out}}{W_{in}}}={\frac {\epsilon _{2}(E_{t}\cdot sin(\theta _{t}))^{2}}{\epsilon _{1}\sin(\theta _{i})^{2}(E_{i}^{2}+E_{r}^{2})}}...46.68$

eller

${\frac {W_{out}}{W_{in}}}={\frac {\epsilon _{2}sin(\theta _{t})^{2}}{\epsilon _{1}sin(\theta _{i})^{2}}}{\frac {E_{t}^{2}}{E_{i}^{2}+E_{r}^{2}}}...46.69$

Jag vet verkligen inte men om det inte finns förluster så kanske denna ändå alltid är ett, ett sätt att se det är att theta_t alltid är mindre OMM n2>n1 vilket samtidigt innebär att theta_i är större dvs kvoten kompenseras här, den första termen kan alltså typ "alltid" vara ett.

Man kan på liknande sätt visa dom normala bitarna (cosinus) enligt

$D_{2n}=D_{1n}...46.70$

där

$D=\epsilon E...46.71$

Men jag gör inte det här för detta kapitel har blivit komplicerat nog, nu siktar jag på att gå vidare med min bok.

Numeriskt exempel

Om man har ett dielektrikum med brytningsindex (n) på 3 så blir ljushastigheten 10^8 m/s i dielektrikat och om den infallande vågen kommer från et medium modell luft med n=1 samt har en infallsvinkel på 45 grader så blir den transmitterade vinkeln på 14 grader som alltså bryts mot normalen pga av tätare medium.

Kapitel XLVII, Specialfall av Fresnel's ekvationer

Visar hur en plan våg transmitteras när den infaller mot ett tunnare medium

När alpha är 45 grader vilket gäller för cirkulärpolariserat och opolariserat ljus så fås, ty både sin^2(45) och cos^2(45)=1/2:

$Ir_{\perp }={\frac {I_{0}}{2}}{\frac {sin^{2}(\theta _{i}-\theta _{t})}{sin^{2}(\theta _{i}+\theta _{t})}}...47.1$

respektive

$Ir_{\parallel }={\frac {I_{0}}{2}}{\frac {tan^{2}(\theta _{i}-\theta _{t})}{tan^{2}(\theta _{i}+\theta _{t})}}...47.2$

Sen har vi specialfall 1:

$\theta _{i}=\theta _{t}=0...47.3$

dvs vinkelrätt infall, för små vinklar gäller

$Ir_{\parallel }=Ir_{\perp }={\frac {1}{2}}I_{0}[{\frac {\theta _{i}-\theta _{t}}{\theta _{i}+\theta _{t}}}]^{2}={\frac {1}{2}}I_{0}[{\frac {{\frac {\theta _{i}}{\theta _{t}}}-1}{{\frac {\theta _{i}}{\theta _{t}}}+1}}]^{2}...47.4$

eftersom Snell ger

$n_{i}sin\theta _{i}=n_{t}sin\theta _{t}...47.5$

men att vi kör små vinklar så får vi att sinus är ungefär lika med vinkeln dvs

$n_{i}\theta _{i}=n_{t}\theta _{t}...47.6$

som kan skrivas

${\frac {\theta _{i}}{\theta _{t}}}={\frac {n_{t}}{n_{i}}}...47.7$

och därmed

$I_{r}=I_{r_{\perp }}+I_{r_{\parallel }}=I_{0}[{\frac {{\frac {n_{t}}{n_{i}}}-1}{{\frac {n_{t}}{n_{i}}}+1}}]^{2}...47.8$

dvs

$I_{r}=I_{0}[{\frac {n_{t}-n_{i}}{n_{t}+n_{i}}}]^{2}\propto [{\frac {\Delta n}{\Sigma n}}]^{2}...47.9$

Ir är då alltså den reflekterade intensiteten, från luft mot glas är den bara 4%.

Specialfall 2:

Om ljus infaller mot en gränsyta under en sådan infallsvinkel att

$\theta _{i}+\theta _{t}=90grader...47.10$

så blir

$I_{r_{\parallel }}=0...47.11$

denna vinkel

$\theta _{i}...47.12$

kallas alltså för Brewstervinkeln eller polarisationsvinkeln.

Den reflekterade strålen är alltså fullständigt polariserad vinkelrätt mot infallsplanet, detta inträffar enligt Snell's brytningslag då

${\frac {n_{t}}{n_{i}}}={\frac {sin\theta _{i}}{sin(90-\theta _{i})}}=tan(\theta _{i})...47.13$

Intensiteten blir om det infallande ljuset är opolariserat

$I_{r}=Ir_{\perp }={\frac {I_{0}}{2}}sin^{2}(\theta _{i}-\theta _{t})...47.14$

Specialfall 3:

Om strålen reflekteras mot ett medium med lägre brytningsindex så har ekvationen

$sin(\theta _{i})={\frac {n_{t}}{n_{i}}}sin(\theta _{t})...47.15$

ingen reell lösning i

$\theta _{t}...47.16$

om

$sin(\theta _{i})>{\frac {n_{t}}{n_{i}}}...47.17$

dvs vi får totalreflektion.

Detta är grunden för fibroptikens stora praktiska tillämpningar, med fiberoptik kan ljus överföras långa sträckor med mycket små förluster.

Den här ekvationen är lite svår att förstå så jag måste fundera vidare på den, helt klart är i alla fall att om man har en fiber och infallsvinkeln är stor (vilket den ju är hos en långsmal fiber) då reflekteras all intensitet och därmed energi tillbaka in i fibern men hur detta sker har jag svårt för att fullt ut greppa, kanske man kan se det som att ljus bryts från normalen när man har lägre brytningsindex "utanför" vilket ju gör att efter en viss infallsvinkel så bryts strålen in i "manteln" (och innanför).

Numeriskt exempel

Om n_i är 3 och n_t är 1 så blir infallsvinkeln för totalreflektion 20 grader, denna vinkel måste alltså minskas för att få transmission dvs ljus igenom skiktet. I en fiber vill man dock ha totalreflektion men då måste man ha ett brytningsindex hos manteln som är mindre än fiberns samtidigt som man måste skicka in ljuset i en vinkel större än gränsvinkeln för totalreflektion.

Kapitel XLVIII, Superposition

Visar hur komplexa vektorer adderas

Detta är mycket basalt men väldigt intressant och lärorikt för säg att vi har två vågor

$z_{1}=A_{1}e^{j(wt+\delta _{1})}...48.1$

och

$z_{2}=A_{2}e^{j(wt+\delta _{2})}...48.2$

superpositionsprincipen ger då den resulterande svängningen som

$z=z_{1}+z_{2}=(A_{1}e^{j\delta _{1}}+A_{2}e^{j\delta _{2}})e^{jwt}...48.3$

eller

$z=Ae^{j\delta }e^{jwt}...48.4$

Jag borde nu rita ett vektordiagram men jag orkar inte det, istället ska jag försöka förklara i ord för låt det komplexa talet

$A_{1}e^{j\delta _{1}}...48.5$

vara en vektor med liten vinkel relativt x-axeln (realdelen av talet) sen låter vi det adderas med ett komplext tal till enligt

$A_{2}e^{j\delta _{2}}...48.6$

med större vinkel relativt x-axeln, det intressanta nu är att resultanten får en vinkel som är summan av dom båda vektorernas vinklar, amplituden hos resultanten är sedan ännu mer spännande för den blir uppdelad på cos och sin enligt Pythagoras sats likt:

$z^{2}=(A_{1}cos(\delta _{1})+A_{2}cos(\delta _{2}))^{2}+(A_{1}sin(\delta _{1})+A_{2}sin(\delta _{2}))^{2}...48.7$

detta kan man utveckla till

$A_{1}^{2}cos^{2}(\delta _{1})+2A_{1}A_{2}cos(\delta _{1})cos(\delta _{2})+A_{2}cos^{2}(\delta _{2})+A_{1}^{2}sin^{2}(\delta _{1})+2A_{1}A_{2}sin(\delta _{1})sin(\delta _{2})+A_{2}^{2}sin^{2}(\delta _{2})...48.8$

eller

$A_{1}^{2}(cos^{2}(\delta _{1})+sin^{2}(\delta _{1}))+A_{2}^{2}(cos^{2}(\delta _{2})+sin^{2}(\delta _{2}))+2A_{1}A_{2}((cos(\delta _{1})cos(\delta _{2})+sin(\delta _{1})sin(\delta _{2}))...48.9$

och pga trigonometriska ettan kan detta förenklas till

$A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}((cos(\delta _{1})cos(\delta _{2})+sin(\delta _{1})sin(\delta _{2}))...48.10$

Sen finns det tydligen en trigonometrisk regel som säger att

$cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta =cos(\alpha -\beta )...48.11$

vilket ger

$A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}cos(\delta _{1}-\delta _{2})...48.12$

Eftersom intensiteten är proportionerlig mot amplituden i kvadrat så kan den resulterande intensiteten skrivas:

$I=I_{1}+I_{2}+2{\sqrt {I_{1}I_{2}}}cos\delta ...48.13$

Om vi antar att A1=A2 så får vi sedan två specialfall

Fall I: Konstruktiv interferens

$\delta =0+n2\pi ,n=heltal...48.14$

dvs z1 och z2 är då i fas och pga att A1=A2 så får vi

$I_{1}=I_{2}...48.15$

och

$I=I_{1}+I_{2}+2{\sqrt {I_{1}I_{2}}}cos(0+n2\pi )=I_{1}+I_{2}+2{\sqrt {I_{1}I_{2}}}=4I_{1}...48.16$

Fall II: Destruktiv interfrens

$\delta =\pi +n2\pi ,n=heltal...48.17$

dvs z1 och z2 är i motfas och pga att A1=A2 så får vi

$I_{1}=I_{2}...48.18$

och intensiteten blir då

$I=I_{1}+I_{2}+2{\sqrt {I_{1}I_{2}}}cos(\pi +n2\pi )=I_{1}+I_{2}-2{\sqrt {I_{1}I_{2}}}=0...48.19$

Om vi fortfarande sätter I1=I2 men har en godtycklig fasskillnad så får vi

$I=2I_{1}(1+cos\delta )=2I_{1}[1+2cos^{2}{\frac {\delta }{2}}-1]=2I_{1}2cos^{2}{\frac {\delta }{2}}...48.20$

dvs

$I=4I_{1}cos^{2}{\frac {\delta }{2}}...48.21$

Jag tycker dock att denna omskrivning är tramsig, ska genomgående försöka köra enligt original dvs

$I=2I_{1}(1+cos\delta )...48.22$

för då kan man enkelt se släktskapet med intensitetsformlerna vi ovan härlett, annars blir det liksom "wow, man kan skriva om den här formeln för att det går och jag är duktig på sånt, typ"

Numeriskt exempel

Om vi har två vågor med amplituden 10 och de är sinusformade då är det rimligt att intensiteten per våg är av storleksordningen 100, om då inget fasskift finns så är den summerade intensiteten 400.

Kapitel XLIX, Youngs dubbelspaltexperiment

Youngs berömda dubbelspaltförsök

Pga att det finns två och mycket smala spalter i Youngs dubbelspaltexperiment så kan ljuset när det belyser spalterna gå till höjden y på skärmen på två sätt och då via endera spalt.

Det kommer nu finnas en bestämd fasrelation mellan de elektriska fälten i spalterna.

De är i fas mitt på skärmen dvs vi har ett maxima där (inte så konstigt att tänka sig ty samma vågfront belyser de båda spalterna och sen skall bara vågorna propagera fram till skärmen).

För små vinklar kan vi sedan skriva

$sin(\theta )=\tan(\theta )={\frac {y}{L}}...49.1$

fasskillnaden kan skrivas

$\delta =k\Delta x=k\cdot dsin(\theta )={\frac {2\pi }{\lambda }}dsin(\theta )={\frac {2\pi }{\lambda }}d\cdot {\frac {y}{L}}...49.2$

I maxima förstärker strålarna varandra pga att delta, och därmed den obefintliga fasskillnaden, är m*2pi vilket ger

${\frac {2\pi }{\lambda }}d\cdot {\frac {y}{L}}=m\cdot 2\pi ,m=heltal...49.3$

dvs första "fransen" bortanför principalmaxima ligger vid m=1 och

$y={\frac {L}{d}}\lambda ...49.4$

där jag kallar kvoten L/d för "Lambdaförstärkning".

Pga små spaltbredder gäller sedan i praktiken

$I=2I_{1}(1+cos\delta )=2I_{1}(1+cos({\frac {2\pi }{\lambda }}d\cdot {\frac {y}{L}}))...49.5$

Allmänt gäller

$I_{1}<I...49.6$

men bara när interferensen är konstruktiv.

Vågtalet (k) är ett intressant tal men det grötar till saker och ting fast dess användning underlättas om man tänker fysisk "vägskillnad" (dx) som då är relaterat till lambda för att sedan om man multiplicerar med k (2pi/lambda) få det något mer diffusa begreppet kallat "fasskillnad" (kdx=delta enligt ovan) allting kompliceras ytterligare av att "optisk vägskillnad" egentligen stavas nkdx dvs brytningsindex gånger fasskillnaden, där n dock som bekant är hastighetsminskningen relativt ljushastigheten i det optiska mediumet.

Numeriskt exempel

Om man vill göra ett liknande experiment och vill ha ett första y på 1dm samt kör våglängden 700nm så måste slitsavståndet d i fallet 2m till väggen vara på ynka 14um, för bara 1cm mellan maxima räcker det med 140um (0,14mm).

Kapitel L, Interferens i reflekterat ljus

Interferens

Om man kikar i min ritning nedan så är det inte svårt att konstatera att villkoret för konstruktiv interferens är

$\phi _{B}-\phi _{D}=2\pi \cdot m...50.1$

dvs så länge varven snurrar ett helt varv och adderas så blir det förstärkning, för destruktiv interferens gäller sedan

$\phi _{B}-\phi _{D}=\pi +2\pi \cdot m...50.2$

fasskillnaden här är som synes pi vilket innebär att vågorna är helt ur fas modell att när ena går upp så går andra ner och när man då adderar dom så blir summan noll.

För att beräkna fasskillnaden mellan B och D utnyttjar vi att

$\phi _{B}-\phi _{D}=(\phi _{B}-\phi _{A})-(\phi _{D}-\phi _{A})...50.3$

Här tycker jag dock att följande är tydligare

$\phi _{B}-\phi _{D}=(\phi _{B}-\phi _{A})+(\phi _{A}-\phi _{D})...50.4$

Totala fasändringen

$\phi _{D}-\phi _{A}...50.5$

för stråle 1 erhålles genom att till den fasändring som uppkommer pga reflektion mot tätare medium addera fasändringen utmed vägen AD

För en våg

$s(x,t)=Asin(wt-kx)...50.6$

är fasskillnaden mellan två punkter dx (i vågens utbredningsriktning) lika med

$k\Delta x...50.7$

Fasändringen utmed AD är således

$kAD={\frac {2\pi }{\lambda }}AD...50.8$

vilket pga av att vi har reflektion mot tätare medium ger

$\phi _{D}-\phi _{A}=\pi +{\frac {2\pi }{\lambda }}AD...50.9$

Stråle 2 reflekteras mot ett optiskt tunnare medium vid nedre plattytan vilket inte ger upphov till någon extra fasändring, fasdifferensen mellan svängningen i B och A är då

$\phi _{B}-\phi _{A}=k'(AF+FB)={\frac {2\pi }{\lambda '}}(AF+FB)...50.10$

där lambda' är våglängden i glasplattan given av

$\lambda '={\frac {\lambda }{n}}...50.11$

dvs hastigheten i optiska medium med brytningsindex >1 är mindre än i vakuum, detta ger

$\phi _{B}-\phi _{A}={\frac {2\pi }{\lambda }}n(AF+FB)...50.12$

vilket man kan skriva om som

$\phi _{B}-\phi _{A}=k\cdot n\cdot \Delta x...50.13$

där

$\Delta x...50.14$

också kallas för vägskillnaden medans

$k\Delta x...50.15$

kallas för fasskillnaden, och

$kn\Delta x...50.16$

kallas för den optiska vägskillnaden, vilket genom att repetera ovanstående av lämplighet

$\phi _{B}-\phi _{D}=(\phi _{B}-\phi _{A})-(\phi _{D}-\phi _{A})...50.17$

ger

$\phi _{B}-\phi _{D}={\frac {2\pi }{\lambda }}n(AF+FB)-(\pi +{\frac {2\pi }{\lambda }}AD)...50.18$

Här gäller

$AF=FB={\frac {d}{cos\beta }}...50.19$

och pga Snell gäller

$1\cdot sin\alpha =n\cdot sin\beta ...50.20$

vilket ger

$AD=AB\cdot sin\alpha =2dtan\beta \cdot sin\alpha =2dtan\beta \cdot nsin\beta =2dn{\frac {sin^{2}\beta }{cos\beta }}...50.21$

för ovan gäller helt enkelt

$tan\beta ={\frac {sin\beta }{cos\beta }}...50.22$

varav följer

$\phi _{B}-\phi _{D}={\frac {2\pi }{\lambda }}n{\frac {2d}{cos\beta }}-\pi -{\frac {2\pi }{\lambda }}2dn{\frac {sin^{2}\beta }{cos\beta }}={\frac {4\pi nd}{\lambda cos\beta }}(1-sin^{2}\beta )-\pi ={\frac {4\pi nd}{\lambda }}cos\beta -\pi ...50.23$

tricket här är alltså trigonometriska ettan

$1-sin^{2}\beta =cos^{2}\beta ...50.24$

Vi får alltså destruktiv interferens om

$\phi _{B}-\phi _{D}=\pi +2\pi \cdot m={\frac {4\pi ndcos\beta }{\lambda }}-\pi ...50.25$

Högerledets pi kan flyttas över till vänsterledet varvid m kan ökas med ett men detta spelar ingen roll så vi släpper det, istället fås

$2ndcos\beta =m\lambda ...50.26$

som alltså är villkoret för utsläckning och att villkoret skiljer sig från Young har att göra med det extra fassprång man får vid reflektion mot tätare medium, jag brukar kalla detta "Ej OK" för normalt blir det ju förstärkning i detta fallet.

Konstruktiv interferens fås sedan när

$2ndcos\beta =(2m+1){\frac {\lambda }{2}}...50.27$

vilket är mitt föredragna sätt att skriva det samtidigt som detta ser ut som ett minimum (Ej OK).

Lite extra intressant är att min lärare påstår att samma formler gäller om vi har tätare medium utanför skiktet fast även i detta fallet reflekteras ena strålen mot ett optiskt tätare medium, om man tänker efter.

Dom här härledningarna är viktiga för fortsatta studier, det är därför jag lagt krut på dom.

Numeriskt exempel

Om man har en glasbit i luft och belyser den med infallsvinkeln 45 grader samt att den har brytningsindex 4 (vilket ger en transmitterad vinkel på Beta=10 grader) och med en tjocklek på 10 micrometer så fås första (kortaste våglängden) utsläckning för en våglängd på 78um vilket är en vågländ bortanför det synliga spektrat så tjockleken måste krympas, 0,1um ger 780nm som jag gissar är synligt ljus (förmodligen blått ljus).

Kapitel LI, Antireflexbehandling av ytor

Antireflexbehandling av en yta

Om

$n_{1}<n_{2}<n_{3}...51.1$

och infallet är vinkelrätt/normalt så fås för destruktiv interferens

$2n_{2}d=(2m+1){\frac {\lambda }{2}}...51.2$

för att cos(beta) är ett och BÅDA strålarna har relekterats en gång mot tätare medium dvs deras fasskillnad är noll, med andra ord blir tänket nu "OK" ty udda halva lambda ger utsläckning medans hela lambda ger förstärkning, minsta möjliga tjocklek (m=0) blir således

$d={\frac {\lambda }{4n_{2}}}...51.3$

Nu vet vi sedan förut att

$I_{r}=I_{i}[{\frac {\Delta n}{\sum n}}]^{2}...51.4$

Här får vi att

$I_{r}=I_{i}[{\frac {\Delta n_{12}}{\sum n_{12}}}]^{2}...51.5$

och

$I_{tr}=I_{t}[{\frac {\Delta n_{23}}{\sum n_{23}}}]^{2}...51.6$

Om den förlorade reflektionsintensiteten är av storleksordningen 1% så kan vi sätta

$I_{t}\approx I_{i}...51.7$

dvs

$I_{trt}=I_{tr}...51.8$

eller

$I_{trt}\approx I_{i}[{\frac {\Delta n_{23}}{\sum n_{23}}}]^{2}=I_{tr}...51.10$

För utsläckning kräver vi att

$I_{r}=I_{trt}...51.11$

vilket innebär

$[{\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}]^{2}=[{\frac {n_{2}-n_{3}}{n_{2}+n_{3}}}]^{2}...51.12$

detta ger

$n_{2}^{2}=n_{1}n_{3}...51.13$

eller

$n_{2}={\sqrt {n_{1}n_{3}}}...51.14$

Vi har alltså

$d={\frac {\lambda }{4n_{2}}}...51.15$

där

$n_{2}={\sqrt {n_{3}}}...51.16$

om n_1=1.

Jag har själv lite svårt att följa det här och kanske jag förtydligar men om man tänker att det förloras väldigt lite i intensitet vid reflektion (r) och transmission (t) så underlättas det.

Nueriskt exempel

Om man vill få bort reflektioner från till exempel ett par glasögon och glasögona befinner sig i luft (n1=1) och det tredje skiktet (läs glaset) har brytningsindes 4 (n3) då behövs ett brytningsindex hos antireflexskiktet på 2 (n2) och om våglängden är 700nm så krävs en tjocklek hos antireflexskiktet på 88nm.

Kapitel LII, Newtons ringar

Newtons ringar

Newtons ringar innebär cirkulära ringar (destruktiv interferens) som interferensmönster, arrangemanget består av en planslipad uppochnervänd typ glasbit där undersidan har en mycket stor krökningsradie (R).

Om man tittar en liten bit in under "huven" så har man att d är höjden och rm radien.

Eftesom en av strålarna har reflekterats mot optiskt tätare medium (vilket jag brukar kalla "Ej OK") så har man att för destruktiv interferens gäller

$2nd=m\lambda ...52.1$

vilket är samma som 50.26 ovan fast med transmissionsvinkeln (Beta) pga vinlelrätt infall lika med 0 som alltså innebär utdämpning.

Detta är inte så konstigt för en stråle kommer in, en annan stråle kommer in OCH reflekteras mot tätare medium vilket ger den ett fassprång på pi och i det klassiska Young-fallet fanns inga sådana fassprång varvid ovanstående ekvation i det fallet indikerar förstärkning.

Om radien i ring nummer m är rm så gäller pga Pythagoras sats

$r_{m}^{2}+(R-d)^{2}=R^{2}...52.2$

varav

$r_{m}^{2}=2Rd-d^{2}\approx 2Rd...52.3$

ty d^2 är så litet, således

$r_{m}^{2}=2Rd=2R\cdot {\frac {m\lambda }{2n}}=m\cdot {\frac {R\lambda }{n}}=mR\lambda '...52.4$

där n i praktiken är 1 (luft).

Numeriskt exempel

En Newtonlins som har krökningsradien (R) 1m och brytningsindex 4 har en första utsläckande ringradie (r_m) på 0,4mm vid våglängden 700nm, med en krökningsradie på 10m fås den första ringradien vid 4mm. Stor krökningsradie är i detta fallet inget problem.

Kapitel LIII, Diffraktion i enkelspalt

Sinc-puls från en enkelspalt

Ett element med bredden ds i mitten av spalten (s=0) ger i en punkt (P) bidraget

$dy_{0}=a\cdot ds\cdot sin(wt-kx)...53.1$

där a är en konstant som beror av den inkommande vågens intensitet och avståndet till observationsplanet.

I förhållande till detta bidrag har bidraget dys från andra delar av spalten den ytterligare fasförskjutningen

$k\Delta x=k\cdot s\cdot sin\theta ....53.2$

där b är spaltens bredd och s en punkt i spalten, formeln liknar formeln för Young om man byter s mot d dvs att den differentiella vägskillnaden är s*sin(theta) medans fasskillnaden är k gånger detta värde.

Vi får alltså

$dy_{s}=a\cdot ds\cdot sin(wt-k(x+s\cdot sin\theta ))...53.3$

och den resulterande fältstyrkan erhålles genom integration mellan gränserna s=-b/2 och s=b/2.

För att underlätta beräkningen adderar vi dock först symmetriskt belägna element två och två

$dy=dy_{s}+dy_{s-}=a\cdot ds[sin(wt-k(x+s\cdot sin\theta )+sin(wt-k(x-s\cdot sin\theta )]=...53.4$

$a\cdot ds[sin[(wt-kx)-k\cdot s\cdot sin\theta ]+sin[(wt-kx)+k\cdot s\cdot sin\theta ]]=...53.5$

$2a\cdot ds\cdot sin(wt-kx)cos(k\cdot s\cdot sin\theta )...53.6$

där vi har nyttjat att

$sin(\alpha -\beta )+sin(\alpha +\beta )=2sin\alpha cos\beta ...53.7$

Totala amplituden Y i P fås genom integration mellan s=0 och s=b/2 dvs

$Y=2asin(wt-kx)\int _{0}^{\frac {b}{2}}cos(k\cdot s\cdot sin\theta )ds=...53.8$

$=ab{\frac {sin(k/2\cdot bsin\theta )}{k/2\cdot bsin\theta }}sin(wt-kx)...53.9$

Om vi nu sätter

$ab=A_{0}...53.10$

och

$k/2\cdot bsin\theta =\beta ...53.11$

blir den med vinkeln theta varierande amplituden alltså

$A=A_{0}{\frac {sin\beta }{\beta }}...53.12$

Intensiteten är proportionell mot amplituden i kvadrat och vi får alltså

$I\propto A_{0}^{2}{\frac {sin^{2}\beta }{\beta ^{2}}}=I_{0}{\frac {sin^{2}\beta }{\beta ^{2}}}...53.13$

Vi skall nu studera hur intensiteten varierar med vinkeln theta:

1) När vinkeln theta går mot noll så går alltså beta mot noll och vi får

${\frac {lim}{\beta ->0}}{\frac {sin\beta }{\beta }}=1...53.14$

Rakt fram är alltså beta noll och vi får ett intensitetsmaximum (som också kallas principalmaximum).

2) Vi får sedan utsläckning när

$\beta =+/-m\pi ..53.15$

fast INTE när m=0 dvs i principalmaximum, alla andra multiplar av pi ger utsläckning.

Som exempel kan nämnas (m=1)

$\beta =\pi ...53.16$

vilket ger

$bsin\theta =\lambda ...53.17$

3) Mellan dessa minima finns sekundära minima, vi söker läget för dessa:

${\frac {1}{I_{0}}}{\frac {dI}{d\beta }}={\frac {d}{d\beta }}[{\frac {sin^{2}\beta }{\beta ^{2}}}]=0...53.18$

vilket ger

${\frac {\beta ^{2}2sin\beta cos\beta -2\beta sin^{2}\beta }{\beta ^{4}}}=0...53.19$

eller

$\beta tan(\beta )-tan^{2}(\beta )=0...53.20$

alltså

$tan\beta -\beta =0...53.21$

Lägena för sekundärmaxima ges approximativt av

$\Delta x=bsin\theta =(2m+1){\frac {\lambda }{2}}...53.22$

vilket inte gäller för m=0 ty man kan visa att för pi eller lambda halva som vägskillnad så är intensiteten noll, det är intressant att notera att principalmaximat alltså har en utsträckning om lambda (pi åt vardera håll).

Numeriskt exempel

Om beta är pi (alltså första min) samt bredden hos spalten (b) är 1mm och våglängden är 700nm så avlänkas 0,04 grader, alltså behövs mycket mindre b så om b istället är 0,1mm fås avlänkkningen 0,4 grader som på 2 meters avstånd blir 1,4cm.

Kapitel LIV, Upplösningsförmåga

Upplösningsförmåga medels enkelspalt

Det första interferensminimat ligger på avståndet y från principalmaximats centrum, för första minimat (m=1) gäller

$bsin\theta =\lambda ...54.1$

om L är mycket större än y så kan vi skriva

$sin\theta \approx tan\theta ={\frac {y}{L}}...54.2$

vilket ger

$b{\frac {y}{L}}=\lambda ...54.3$

eller

$y={\frac {L}{b}}\lambda ...54.4$

där vi får den gamla hederliga lambda-förstärkningen som jag brukar kalla den dvs höjden (y) är avståndet (L) delat med "våglängdsdimensionen" (modell att man har en spalt eller nåt som begränsar ljuset) gånger våglängden.

Förutom en rätt patetisk justering av denna formel så gäller den för cirkulära öppningar såsom en kikare också.

Med andra ord vill jag teckna

${\frac {y}{L}}\approx {\frac {\lambda }{b}}...54.5$

där b är diametern hos kikaren.

Formeln kommer ifrån ett kriterium som kallas Rayleighs kriterium, där upplösningsförmågan specificeras som att det ena principalmaximat sammanfaller med det andras första minimum (vi har ju två prylar/objekt vi försöker separera).

Numeriskt exempel

Om man kikar en kilometer bort med 700nm och har en objektivöppning (b) på 5cm blir upplösningsförmågan 1,4cm , jag fattar inte riktigt det här för allt grundar sig på att L<<y där L är avståndet och y är höjden (i horisonten!). Men kanske man kan se det som så att y måste få plats i objektivet? I så fall är maximalt avstånd b^2/lambda dvs 3,6km.

Kapitel LV, Samverkan mellan interferens och diffraktion

Mönstret från en enkelspalt

Interferensfransarnas intensitet (amplitud i kvadrat) kan i t.ex Youngs dubbelspaltexperiment tecknas

$I_{tot}=I_{1}+I_{2}+2{\sqrt {I_{1}I_{2}}}cos\delta =2I(1+cos\delta )...55.1$

om I1=I2=I och där

$\delta =kdsin\theta \approx kd{\frac {y}{L}}...55.2$

Om nu spalterna har utsträckning i förhållande till våglängden så tillkommer en diffraktionsterm som vi redan härlett för enkelspalt dvs

$I\propto sinc^{2}\beta ={\frac {sin^{2}\beta }{\beta ^{2}}}...55.3$

uttrycket för den totala intensiteten blir då

$I\propto {\frac {sin^{2}\beta }{\beta ^{2}}}(1+cos\delta )...55.4$

där

$\beta ={\frac {k}{2}}\Delta x={\frac {k}{2}}bsin\theta ={\frac {\pi bsin\theta }{\lambda }}...55.5$

där b är spaltbredden och d är avståndet mellan spalterna.

Det är intressant plotta den här funktionen, speciellt har detta gjorts i min litteratur för d=3b och eftersom jag inte har nån möjlighet att utföra en sådan plot (annat än på min HP28SX) så ska jag försöka beskriva den och sinc^2-delen (63.3) har en huvudlob (principalmaxima) rakt fram som är typ sinusformad och av bredden +/-pi, därefter är den nästan nollad amplitudmässigt men det finns lite sekundärmaxima också, hängs sedan uttrycket för interferensfransarnas intensitet (63.1) på så blir sinc^2 typ envelopen för intensiteten dvs principalmaxima "hackas upp" i mindre sinusformade delar.

Numeriskt exempel

Några värden för sinc-funktionen är 1 för vinkeln noll, 0,9 för vinkeln 45 grader, 0,63 för vinkeln 90 grader och 0,3 för vinkeln 135 grader. En käck matematisk regel jag lärt mig är sedan L'hospitales regel för vill man ta gränsvärdet för en funktion så kan man derivera täljare och nämnare för sig, för sinc-funktionen blir det då cosinus för vinkeln i täljaren och 1 i nämnaren där man lätt ser att sätter man in det luriga värdet noll så blir funktionens gränsvärde 1.

Kapitel LVI, Diffraktion i gitter

Visar hur ett gitter är uppbyggt

Ett transmissionsgitter ser ut som Young's dubbelspaltexperiment med skillnaden att antalet spalter är mångdubbelt flera, gitterformeln säger att

$dsin\theta =m\lambda ...56.1$

som alltså på samma sätt som för Young innebär villkoret för maxima.

Vi väljer nu en våglängd och studerar hur intensiteten varierar med vinkeln theta.

Min ritning för Young gäller, vi får bara "multiplicera" den.

Vi bestämmer oss för att sätta fasvinkeln till noll i översta spalten, fältstyrkan i denna spalt kan då tecknas:

$y=a\cdot sinwt...56.2$

fasen för ljuset från närmaste spalt ligger då före (tänk er brytning neråt) med

$\delta =k\Delta x=kdsin\theta ...56.3$

För spalten därefter blir fasvinkeln

$2\delta ...56.4$

osv, vi summerar sedan för hela gittret (totalt N belysta spalter) och erhåller den amplitud som hela gittret ger upphov till enligt

$Y=asin(wt)+asin(wt+\delta )+asin(wt+2\delta )+...+asin(wt+(N-1)\delta )...56.5$

Intensiteten är dock enklare att beräkna om vi använder oss av komplexa tal och beräknar den komplexa amplitud som hela gittret ger upphov till enligt

$Ae^{j\phi }=a(1+e^{j\delta }+e^{j2\delta }+e^{j3\delta }+...+e^{j(N-1)\delta })...56.6$

Högerledet är summan av en geometrisk serie med N termer och kvoten

$e^{j\delta }...56.7$

vilket ger

$Ae^{j\phi }=a{\frac {1-e^{jN\delta }}{1-e^{j\delta }}}...56.8$

detta är ampliduden men för intensiteten så kvadrerar vi amplituden och tricket är nu att man konjugatkompletterar vilket förenklar beräkningarna avsevärt även om anledningen är lite diffus

$I=Ae^{j\phi }*Ae^{-j\phi }=A^{2}=a^{2}{\frac {(1-e^{jN\delta })(1-e^{-jN\delta })}{(1-e^{j\delta })(1-e^{-j\delta })}}...56.9$

Som kan skrivas

$I\propto {\frac {1-(e^{jN\delta }+e^{-jN\delta })+1}{1-(e^{j\delta }+e^{-j\delta })+1}}={\frac {2(1-cosN\delta )}{2(1-cos\delta )}}={\frac {1-cosN\delta }{1-cos\delta }}...56.10$

där det finns en trigonometrisk formel som säger att

$1-cos\alpha =2sin^{2}{\frac {\alpha }{2}}...56.11$

vilket ger att

$I\propto {\frac {sin^{2}{\frac {N\delta }{2}}}{sin^{2}{\frac {\delta }{2}}}}...56.12$

men jag tycker återigen att man förlorar korrelationen med verkligheten genom att gå via måhända käcka trigonoimetriska identiteter så jag kommer köra på med att intensiteten för ett gitter är

$I\propto {\frac {1-cosN\delta }{1-cos\delta }}...56.13$

denna term kallas interferenstermen för N spalter.

Intensiteten för nollte ordningen innebär

$\theta ->0=\delta ->0...56.14$

dvs

${\frac {lim}{\delta ->0}}{\frac {1-cosN\delta }{1-cos\delta }}...56.15$

Enligt l'hospitales regel kan detta gränsvärde evalueras genom derivering av täljare och nämnare, dvs

${\frac {lim}{\delta ->0}}{\frac {1-cosN\delta }{1-cos\delta }}=>{\frac {NsinN\delta }{sin\delta }}=N...56.16$

Intensiteten i framåtriktningen är alltså proportionell mot N.

Detta innebär att vi för intensiteten I_theta i riktningen theta från gittrets normal kan skriva

$I_{\theta }=I_{0}{\frac {sin^{2}\beta }{\beta ^{2}}}{\frac {1-cosN\delta }{1-cos\delta }}...56.17$

när delta då är multiplar av 2pi så maximeras funktionen och intensiteten blir proportionerlig mot N ty 56.16 anger limes och vi har 0/0.

Maximum blir alltså för delta lika med multiplar av 2pi.

När det gäller för vilka värden på delta som interferenstermen har minimum så kan man resonera som så att täljaren blir noll oftare än nämnaren, täljaren blir noll när

$N\delta =m\cdot 2\pi ...56.18$

dvs

$\delta ={\frac {m}{N}}2\pi ...56.19$

där m är 0, 1, 2 osv.

Enligt tidigare har vi att

$\delta =k\Delta x=kdsin\theta ...56.3$

och pga

$k={\frac {2\pi }{\lambda }}...56.20$

har vi att

$dsin\theta (min)={\frac {\lambda }{N}},{\frac {2\lambda }{N}},...{\frac {(N-1)\lambda }{N}},...max...,{\frac {(N+1)\lambda }{N}}...56.21$

Mellan två principalmaxima finns (N-1) minima och (N-2) sekundära maxima, sekundärmaximas intensitet blir alltmer försumbar då antelet spalter (N) ökar.

Numeriskt exempel

Om spalterna är nära varandra i förhållande till våglängden så spelar enbart fasskillnaden roll. Om m är fem och N är 10 blir fasenskillnaden för minima pi som alltså ger intensiteten (I) noll. Om faskillnaden är pi/2 blir intensiteten proportionell mot 2 som är första maximum efter principalmaxima. Jag är osäker på detta.

Kapitel LVII, Gitterupplösning

Gittermönster

Vi anser att två spektrallinjer av lika styrka nätt och jämt kan skiljas åt om den enas principalmaximum sammanfaller med det minimum som ligger bredvid den andras principalmaxim.

Beteckna våglängderna med

$\lambda ...57.1$

respektive

$\lambda +\Delta \lambda ...57.2$

maxima för våglängden lambda bestäms av gitterformeln (på samma sätt som för Young) dvs

$dsin\theta =m\lambda ...57.3$

och närmast liggande minima bestäms av

$dsin\theta ={\frac {(mN+1)\lambda }{N}}...57.4$

Jag förstår inte riktigt m i den här formeln för om man tittar på 64.21 så är närliggande minima antingen

${\frac {(N-1)\lambda }{N}}...57.5$

eller

${\frac {(N+1)\lambda }{N}}...57.6$

så varför mN plötsligt?

För knapp upplösning ska dock minimat sammanfalla (vinkeln lika) med principalmaximum för våglängden

$\lambda +\Delta \lambda ...57.7$

dvs

$dsin\theta =m(\lambda +\Delta \lambda )...57.8$

detta ger

$(m+{\frac {1}{N}})\lambda =m(\lambda +\Delta \lambda )...57.9$

dvs

${\frac {\lambda }{N}}=m\Delta \lambda ...57.10$

vilket innebär

${\frac {\lambda }{\Delta \lambda }}=mN...57.11$

Kvoten

${\frac {\lambda }{\Delta \lambda }}...57.12$

kallas gittrets upplösningsförmåga som alltså är lika med produkten av spektrets ordning och antalet linjer i gittret, upplösningsförmågan är alltså beroende av ordningen (m) som man eventuellt kan tänka som hur "skarpt" strålarna är brutna för ju lägre m desto rakare går strålen men att upplösningen skulle vara bättre för hur hög ordning det är på brytningen det tycker i alla fall jag är skumt, fast om man tänker sig en skärm på ett visst avstånd från gittret så ju skarpare det bryts desto längre hypotenusa och när hypotenusan blir längre så blir avstånden mellan maxima längre varvid man kan få högre upplösning.

Numeriskt exempel

Om vi avser en ordning (m) lika med antalet spalter (N) på 10 och en våglängd på 700nm så blir upplösningen 7nm, 5:e peaken (m=5) ger istället 14nm.

Kapitel LVIII, Kärnfysik

Det här kapitlet handlar om hur atomer och atomkärnor är uppbyggda och hur dom beter sig.

Kärnan består av protoner och neutroner (speciellt, men inte enbart, utanför kärnan finns elektroner), protonernas massa är ungefär 1836 elektronmassor medan neutronernas massa är ungefär 1838 elektronmassor.

Protoner och neutroner är således mycket tyngre än elektroner.

Protoner och neutroner kallas vid ett gemensamt namn nukleoner.

Kärnor kan således karaktäriseras av:

1) Antalet protoner=laddningstalet=protontalet=atomnumret Z

2) Antalet neutroner=neutrontalet N

3) Antalet nukleoner=nukleontalet=masstalet A

En atomkärna specificeras således som

$X_{Z}^{A}...58.1$

[Det här är det närmaste jag kommer för Z och A ska egentligen vara på andra sidan X men jag kan inte koda för det.]

Isotoper har sedan samma Z men olika A dvs olika antal neutroner (ty det är protonantalet Z som bestämmer grundämnet).

Det här älskar jag för det är lika enkelt som Occams Razor:

Man har uppfunnit begreppet neutroner (laddning 0, massa=proton+2me) men man har av olika anledningar inte kunnat acceptera att en neutron skulle kunna bestå av en proton+elektron där jag tänker att en av elektronerna helt enkelt är bindningsenergin för alla vet ju att massa är samma som energi (vilket man emellertid accepterar när det kommer till en typ av sönderfall som kallas K-elektroninfångning fast då ur synvinkeln att en proton+elektron kan ge en neutron, väldigt inkonsekvent och konstigt tycker jag).

Det sättet kompetent folk dissar att n=p+e är två stipulat: 1) Heisenbergs osäkerhetsrelation tycks säga att man inte riktigt kan veta vart partikeln befinner sig inom ett visst avstånd, avståndet här är radien hos en proton dvs ungefär 10^-15m (R), detta tycker jag lite kan jämföras med hur en gitarrsträng svänger för dess frekvens är minst att noderna är ändarna så man har alltså att våglängden är av storleksordningen R, dvs vi kan inte riktigt veta vilket delsegment hos strängen som ger ljudet för det är ju hela strängen som ger ljudet, nåt sånt tror jag det blir.

Samtidigt finns det en konstant som stavas h, denna konstant kallas Plank's konstant och symboliserar Heisenbergs osäkerhetsrelation enligt

$p\approx {\frac {h}{R}}...58.2$

där h har enheten [Js] dvs h kan också skrivas

$h=Et...58.3$

Min litteratur räknar sedan ut att

$pc=-34+15+19+8=100MeV...58.4$

som egentligen är 200MeV men kontentan blir att pc=200MeV.

Elektronens viloenergi är

$m_{0}c^{2}=-30+17+19=1MeV...58.5$

vilket stämmer bra med vad det ska vara dvs~0,5Mev.

Det intressanta nu är att om man nyttjar Einsteins formel för "relativistisk energi" så får man att

$E_{k}=E_{tot}-m_{0}c^{2}={\sqrt {(pc)^{2}-(m_{0}c^{2})^{2}}}-m_{0}c^{2}\approx pc...58.6$

dvs

$E_{k}\approx pc=200MeV...58.7$

Här påstår man att bindning av en elektron med denna energi kräver en potentialbrunn om minst djupet 200MeV, ett djup som inte kan förklaras ur Coulombkrafterna, på avståndet 10^-15m från en proton skulle elektronens energi vara

${\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e}{R}}=1,4MeV...58.8$

2) Sen finns det en annan motsägelse som är lite mer flummig:

Elektronens till spinnet kopplade magnetiska moment är runt

$M_{e}={\frac {eh}{2m_{e}}}...58.9$

vilket är >> än något förekommande kärnmagnetiskt moment av storleksordningen

$M_{p}={\frac {eh}{2m_{p}}}...58.10$

där m_e är elektronens massa och m_p är protonens, ekvationerna skall egentligen innehålla h_bar dvs

$\hbar ={\frac {h}{2\pi }}...58.11$

men det är så löjligt ointressant (jag anser nämligen att om man bara ligger inom en magnitud fel/rätt så räcker det för diskussionen).

Visserligen elimineras det magnetiska momentet vid parning (spinn + 1/2 -1/2) av elektroner men var tar en udda "oparad" elektrons magnetiska moment vägen, frågar min litteratur?

Jag tycker att det som här rätt taffligt nyttjas dvs Heisenbergs osäkerhetrelation är lite flummig för varför skulle det t.ex finnas en konstant för vart en partikel kan befinna sig?

Hur har man bevisat det?

Om h inte riktigt stämmer så faller ju hela resonemanget och en neutron kan visst bestå av en proton+elektron och som vi skall se senare så rimmar det resonemanget väldigt bra.

Numeriskt exempel

För att en elektron termiskt skall kunna penetrera en proton på 1,4MeV så krävs en kT på samma energi dvs 10^10K och detta motsvarar en termisk hastighet på över ljushastigheten (c), teoretiskt.

Fritänkande, osäkerhetskonservering

Visar två olika former av samma temperaturmedelvärde

Det är känt att laddning är oförstörbar och dessutom gäller att summa laddning i ett slutet system är noll.

Laddning brukar betecknas med q och har enheten As.

Tittar man på enheten allena så ser man att A och s kan ha helt olika värden för samma q.

Så det är inte orimligt att q är konstant och jag kallar det laddningskonservering.

Planks konstant h som lär vara bevisad iom fotoelektriska effekten har enheten Js och den kommer tydligen ifrån Heisenbergs osäkerhetsrelation varvid jag härmed döper h till osäkerhetskonservering, således gäller

$q=[As]...58.12$

och

$h=[Js]...58.13$

Det är intressant vad laddning egentligen är, jag har hört talas om att det har med spinn att göra men jag tycker det låter för flummigt för mig att förstå.

Vad är sen h?

Som vid q kan man kanske se det som att om tidsaxeln är i x-led så är energin (eller strömmen) i y-led och den area som Js bygger upp är konstant och lika med h.

Jag tvivlar lite på denna konstant men vågar mig inte på några gissningar, detta förhållande köper jag dock

$E=mc^{2}=pc=hf...58.14$

där dock fotonen egentligen inte har nån vilomassa ty den far alltid fram med ljusets hastighet MEN iom Einstein så kan man räkna ut en ekvivalent massa ty energi är massa, ur denna formel får man också att

$h=p\lambda ...58.15$

där lambda typ är ett minavstånd likt radien på en proton men detta gäller alltså bara för fotoner, för "vanliga" partiklar med massa tror jag följande ungefär gäller

$E=mv^{2}=pv=kT...58.16$

vilket är sant om partikeln bara har en frihetsgrad samtidigt som en halv magnitud fel av små/stora tal spelar noll roll, laddningskonservering innebär sedan

$\sum _{n=1}^{N}q_{n}=0...58.17$

Jag har lurat lite på Ek och den klassiska MEDELVÄRDES-formeln

$Ek={\frac {mv^{2}}{2}}...58.18$

och att det motsvarar en temperatur enligt ovan.

Den kinetiska energin (Ek) är som sagt en medelenergi motsvarande en viss temperatur.

Jag har försökt titta på vilket temperaturspann detta kan ha för vad är egentligen medelenergi?

Om två partiklar av samma massa och hastighet krockar dead on så bör det bli som i bijard dvs båda kommer att stanna fullständigt och båda partiklarnas hastigheter blir kortvarigt noll, vilket motsvaras av 0K.

Det bör alltså i en gas eller plasma finnas situationer där vissa partiklar "når" 0K.

Samtidigt tror jag att om medelvärde fortfarande gäller så bör temperaturen åt andra hållet inte pendla till mer än 2T.

Här kan man dock spekulera i hur kort eller lång tid "0K-partiklarna" existerar, finns det lite längd på tiden så kan pulsen uppåt (t1) nå lite temperaturer men min amatörmässiga bedömning är att Tk>10T inte är nåt att hoppas på.

Men jag vet inte, jag bara spekulerar :)

Känner f.ö till att det finns nåt som kallas Stefan-Bolzman:fördelning men jag tror inte riktigt på den.

Fritänkande, bindningsenergi

Jag har klurat lite på vad bindningseneri är och det är lite förvirrande för varje snubbe som skriver litterarur i ämnet envisas med att använda olika beteckningar.

Men jag tror att jag fattat att den beteckning som min litteratur Fysik 2 har (och är avskriven här) bara skiljer sig i beteckning jämfört med den huvusakliga litteratur jag studerar dvs Cheng.

Således är Eb=Vb.

Potential (V) är genast en energi i eV men för Joule måste man multiplicera med elementarladdningen.

Så jag ser Vb som energi as is.

Eb är alltså bindningsenergin hos atomkärnor och jag tror att jag har kommit på att det är samma som Vb enligt

$Vb={\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}b}}...58.19$

där b är radien hos partikeln som då alltså ökar med atomnumret, Vb ökar ändå pga att effektiv radie hos kärnan inte ökar lika mycket som antalet protoner.

Cheng visar vilken energi som går åt att bygga en kärna av laddning, jag bara kopierar in den här

$W={\frac {3Q^{2}}{20\pi \epsilon _{0}b}}[J]...58.20$

som förutom multiplikationen med Q, som är standard för Joule, inte skiljer sig nämnvärt (3/5-delar) mot min första formel ovan, energin för att bygga en proton uppgår alltså till storleksordningen 1MeV (fast om protonen redan finns?)

Jag har hamnat lite före nedan med mitt fritänkande (som aldrig är att ta på nåt stort allvar) och allt ligger lite ur fas men jag vill ändå skriva ut Vb för en proton enligt

$Vb={\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}b}}=1,4MeV=2,3*10^{-13}J...58.21$

I eV så låter allt astronomiskt men i Joule låter det löjligt lite även om energin är stor, man kan tänka sig en foton och dess energi modell

$E=hf={\frac {hc}{\lambda }}...58.22$

där vi vet att våglängden för synligt ljus är av storleksordningen 1um, detta ger fotonens energi som 0,2eV, temperaturen för att termiskt penetrera en proton på 1,4MeV blir sedan ungefär

$Vb=kT...58.23$

dvs ungefär 19GK :D

I ITER har jag fått reda på så har dom tänkt försöka med 10keV, vilket är en bra bit från den energi som krävs, personligen är jag tveksam till om en faktor hundra funkar trots den Boltzmanska fördelningen, jag tror att man måste upp i minst Vb/10.

Sen, efter mycket funderande tror jag att följande gäller

$m_{a}=m_{p}+E_{b}...58.24$

där mp är summan av alla partiklar som kärnan består av vars totala massa alltså är MINDRE än atommassan!

Rätt skumt om det inte vore för Einstein och

$E=mc^{2}....58.25$

för den formeln funkar åt båda hållen dvs energi har massa.

Detta är fel, se nedan.

Kapitel LIX, Kärnans radie

Modell av väteatomen

Beskrivningen av det här är lite flummigt, det finns tydligen ett antal olika försök att bestämma kärnradien men jag listar bara två:

1) Rutherfords spridningsförsök nyttjande elektronbefriade He-kärnor (alfa-partiklar) mot tunna metallfolier, han kom fram till att atomens massa är till mer än 99,9% sannolikhet koncentrerad inom en kärna av diameter 10^-14m.

2) Spridning av myoner ger tydligen ett bättre resultat, med hjälp av dessa (207m_e) så har man en förmånligare vågfunktion, vad nu det innebär.

I samma veva nämns dock hur en enelektronatom i grundtillståndet har det mest sannolika avståndet kärna-elektron enligt:

$r_{B}={\frac {4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}}{me^{2}}}\approx 1A...59.1$

där A står för Å som i Ångström (100pm) vilket tydligen inte kan kodas, svaret kallas sedan Bohr-radien.

Kärnans radie har uppmäts till:

$r=r_{0}A^{1/3}m...59.2$

där

$r_{0}\approx 10^{-}15m...59.3$

Detta empiriska samband mellan kärnradie och masstal visar att det kan vara befogat att tala om "kärnmateria" med konstant täthet ty

$n={\frac {A}{{\frac {4}{3}}\pi r^{3}}}={\frac {A}{{\frac {4}{3}}\pi r_{0}^{3}(A^{\frac {1}{3}})^{3}}}\propto {\frac {A}{(A^{\frac {1}{3}})^{3}}}=1...59.4$

Enligt min litteratur är sedan n oberoende av masstalet (A) med god noggrannhet, detta innebär således att densiteten för all kärnmateria är samma för varje kärna väger lika mycket per volymsenhet ty dom består mest av kärnpartiklar som typ väger samma, ett numeriskt värde kan ungefär fås av

$\rho ={\frac {m_{p}}{{\frac {4}{3}}\pi r_{0}^{3}}}\propto {\frac {m_{p}}{r_{0}^{3}}}\approx -27+3*15=10^{18}kg/m^{3}...59.5$

Den tätaste "jordliga" materian jag hittar i Physics Handbook är typ Guld med en densitet på runt 22000 kg/m^3, det ni!

Kärnmateria har blivit mitt nya fascinerande begrepp för föreställ Er digniteten, precis allt vi ser runt omkring oss består av samma kärnmateria, visst de består också av många olika grundämnen i alla möjliga olika konstellationer/molekyler men faktumet att alla dessa grundämnen består av samma kärnmateria fascinerar mig. För ett ganska rejält antal år sedan fascinerades jag av att precis allt levande består av DNA (tror bestämt detta även gäller växter även om proteinsyntesen blir klurig...) och detta är lite av samma uppvaknande.

Numeriskt exempel

Tätheten hos kärnmateria blir således 10^45st/m^3, vilket är samma som 10^39st per kubikcentimeter!

Kapitel LX, Härledning av Bohr-radien

Kraftmodell av väteatomen

Det finns en längre härledning av detta men jag kör nu den enkla jag "kommit på" dvs Fc=F där Fc är den columbska kraften mellan två olikladdade partiklar och F är centrifugalkraften eller

${\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}={\frac {mv^{2}}{r}}...60.1$

ur detta får man sedan hastigheten v som

$v={\sqrt {\frac {e^{2}}{m4\pi \epsilon _{0}r}}}...60.2$

sen gäller enligt sägen

$p\lambda =h...60.3$

där jag nyttjat Heisenbergs osäkerhetsrelation, antar man sedan att elektronen måste genomlöpa minst en hel period per varv dvs den måste komma tillbaka i svansen där den började så kan man skriva

$p2\pi r=h...60.4$

eller på snobbspråk

$pr=\hbar ...60.5$

där p är impulsen mv, med andra ord har vi

$mvr=\hbar =m{\sqrt {\frac {e^{2}}{m4\pi \epsilon _{0}r}}}r...60.6$

dvs

$r_{B}={\frac {\hbar ^{2}4\pi \epsilon _{0}}{me^{2}}}...60.7$

som är en knapp Ångström stor

Numeriskt exempel

Hastigheten hos elektronen runt en proton (läs väte) medels Bohr-radien är 1,6 miljoner meter per sekund (0,005c).

Fritänkande, har en partikel med massa energin pc?

Om vi börjar med Heisenberg så borde man kunna skriva

$p\lambda /n=h...60.8$

dvs varför är våglängden ett helt varv bara?

Det kan väl lika gärna vara ett antal våglängder (n)?

Räknar vi på det så kan vi börja med

$p2\pi r/n=h...60.9$

ur detta får vi att

$pr/n=\hbar ...60.10$

som enligt ovan kan skrivas om enligt

$mvr/n=m{\sqrt {\frac {e^{2}}{m4\pi \epsilon _{0}r}}}r/n=\hbar ...60.11$

dvs

$mvr/n={\sqrt {\frac {me^{2}r}{4\pi \epsilon _{0}}}}/n=\hbar ...60.12$

så att

$r={\frac {4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}n^{2}}{me^{2}}}...60.13$

Detta säger mig att elektronbanans radie kan var större än den Bohrska radien rB så varför är rB den rätta?

Heisenberg säger att elektronbanan genomlöper ett antal hela våglängder (eller en enda våglängd benämnd lamda motsvarande omkretsen i det här fallet) så den måste efter ett varv komma tillbaka till där den började.

Men vad säger att detta är sant?

Eftersom lambda är en våglängd så är den även sinusformad vanligtvis, med andra ord har elektronbanan enligt Heisenberg en amplitud i sin cirkulära sinusformade bana ty det är bara då som elektronen kan komma tillbaka till där den började dvs om banans omkrets är ett helt antal våglängder.

Och om elektronen beskriver en sinusformad cirkulär bana, vilken amplitud har den?

I grunden har vi alltså Heisenbergs osäkerhetsrelation enligt, och jag repeterar

$p\lambda =h...60.14$

man kan sedan skriva om denna relation enligt

$p{\frac {c}{f}}=h...60.15$

eller

$pc=hf...60.16$

som inte är lika med

${\frac {mv^{2}}{2}}...60.17$

vilket är brukligt för partiklar med massa.

pc-ekvationen gäller väl sen bara för masslösa partiklar som fotoner?

Varför gäller den plötsligt, som i Bohr-radiens fall, även för partiklar med massa?

Nej, jag tror inte på Heisenbergs osäkerhetsrelation, tycker den är för bekväm.

Fritänkande, analys av Heisenbergs osäkerhetsrelation

Följande postulat

$\Delta E_{k}\cdot \Delta t=h...60.18$

kan eventuellt skrivas om som

$dE_{k}\cdot dt=h...60.19$

eller

$d({\frac {mv^{2}}{2}})\cdot dt=h...60.20$

vilket ger

$mvdv\cdot dt=h...60.21$

eller

$p{\frac {dx}{dt}}\cdot dt=h...60.22$

Notering: blir verkligen differentialen dv samma som dx/dt, är det inte v som är dx/dt?

här ser man att eftersom dt är lika för själva observationen som för bestämmandet av hastigheten så får man

$pdx=h...60.23$

Här kan man dock fundera över vad dx verkligen är, dock har vi från energin hos en foton

$E=pc=hf...60.24$

vilket jag tror Einstein har bevisat iom den fotoelektriska effekten, denna sista ekvation skrivs dock mer allmänt som

$p\lambda =h...60.25$

Där vi har ett tydligt "sinusialt" lambda, dock tror jag mig kommit på att en elektrons bana kan skrivas

$r=r_{0}e^{j(wt-kr\phi )}...60.26$

där

$k={\frac {2\pi }{\lambda }}...60.27$

dvs våglängden (lambda) blir till ett enda varv om vi skall kunna beskriva dess rörelse matematiskt, jag tror att det inte skiljer sig så mycket från en våg som breder ut sig i rummet, i båda fallen har dom en våglängd.

Så ett varv för elektronen är en enda lambda och det är det som är osäkerheten modell

$pdx=p\int _{0}^{2\pi }rd\phi =p2\pi r=p\lambda ...60.28$

Så det verkar som så att lambda i fallet foton är "samma" som lambda vad gäller ett enda varv för elektronen, man tycks alltså ha en osäkerhet i rummet motsvarande en lambda.

Dock är det osäkert varför man kan duplicera fotonens masslösa osäkerhet på partiklar med massa, fotonen har en klockren sinusial våglängd modell c/f men det har inte partiklar med massa.

Jag har själv räknat ut det, ur vedertagen formel enligt ovan, men varför är impulsen gånger lambda just h för partiklar med massa också?

Att den är det för masslösa partiklar som fotonen torde vara bevisat.

Den cirkulära bana som elektronen beskriver enligt den klassiska fysiken måste inte vara sinusial men om den är det så passar Heisenbergs osäkerhetsrelation medels lambda från fotoelektriska effekten bättre.

Eftersom detta är en svammelbok så fortsätter jag bara från ovan utan att rätta mig.

Idag tror jag mig kommit på att våglängden för elektronbanan faktiskt måste vara sinusial enligt

$r=r_{B}+A_{r}e^{j(wt-kr_{B}\phi )}...60.29$

ty banan har radien rB men elektronen måste ha en liten amplitud (A_r) för att det skall finnas nån våglängd överhuvudtaget!

Det är liksom rörelsen runt kärnan som inte bara är cirkulär utan även sinusial.

Här uppstår då frågan om hur många lambda ett varv verkligen utgörs av och varför det måste vara endast ett varv, för det kan ju lika gärna vara säg tre lambda per varv och när jag ovan räknat ut att radien då går som n^2 så motsvaras faktiskt hela n=3 av bara en magnitud till i radie.

Så vad är det som säger att det bara är ett varv?

Om man får tro Heisenberg så innebär visserligen ett helt varv som lambda minimal impuls och hastighet ty lambda är som störst då.

Men varför maximera lambda på det här sättet?

Det enda jag tror mig kommit på är att det är ovisst vad lambda innebär när det gäller partiklar med massa, för fotoner funkar det dock klockrent för dom har ju redan en lambda.

Kul dock att jag tror mig kommit på att elektronbanan ingalunda bara är cirkulär utan även sinusialt cirkulär dvs elektronen "wobblar" medans den cirklar runt kärnan, amplituden vore dock spännande att veta.

Om den inte wobblar faller Heisenberg.

Kapitel LXI, Kärnans massa

Bindningsenergin hos några kärnor

Det har lite flummigt definierats en massenhet som kallas u som är lika med 1/12 gånger massan för den neutrala kolatomen (dvs inklusive alla sex massmässigt futtiga elektroner)

Jag tycker dock att denna definition är fullständigt onödig och kommer framledes använda protonmassan istället, detta för att protonmassan kan anges som 1,007276u...

Så varför inte köra protonmassan rakt av?

Nu till nåt som i alla fall förvånar mig, den faktiska kärnans massa gånger c^2 är enligt Einstein energin hos kärnan men det som fascinerar är att om man ser till alla nukleoners massa gånger c^2 så är den större, skillnaden kallas bindningsenergi.

Tanken på bindningsenergi är naturligtvis inte så konstig för kärnan måste hållas ihop av nåt (speciellt för att protonerna ju har samma laddning) och man kanske kan se det som så att för att kärnan skall upplösas i dess beståndsdelar så krävs det att man tillför energi motsvarande bindningsenergin.

Så det finns alltså en liten differens i massa (faktiskt) mellan vad beståndsdelarna (protoner och neutroner) väger och vad kärnan väger, jag finner detta en aning skumt men så är det (differensen i massa gånger c^2 är alltså bindningsenergin).

Jag gör ett försök att teckna "energiekvationen" för en atomkärna:

$m^{k}(A,Z)*c^{2}+E_{b}=[Z*m_{p}+N*m_{n}]*c^{2}...61.1$

En mycket intressant ekvation ty kärnans massa är mindre än beståndsdelarna, Z är alltså antalet protoner och N är antalet neutroner.

Vi gör lite numeriska beräkningar:

$\rho _{Au}=19300kg/m^{3},Z=79...61.2$

$\rho _{Li}=530kg/m^{3},Z=3...61.3$

$\rho _{H^{1}}=90kg/m^{3},Z=1...61.4$

sen säger vi att

$\rho *4*10^{-45}+m(Eb)=2Z*m_{p}...61.5$

ungefär för neuronens massa skiljer bara två elektronmassor från protonens massa vilket är mindre än en promille, tittar vi på uträkningen får vi för Guld

$7,7*10^{-41}+m(Eb)=2,6*10^{-25}...61.6$

kvoten mellan masspartiklarna som kärnan fysiskt består av och kärnans faktiska massa är alltså hela

$kvot=3,4*10^{15}...61.7$

Kan ni fatta?

Vi gör ett till test och testar för Lithium, en lätt metall:

$2,1*10^{-42}+m(Eb)=1*10^{-26}...61.8$

här är kvoten

$kvot=4,8*10^{15}...61.9$

vi tar ännu ett exempel och studerar en ren proton, detta ger

$3,6*10^{-43}+m(Eb)=1,67*10^{-27}...61.10$

dvs kvoten är

$kvot=4,4*10^{15}...61.11$

I alla tre fallen är alltså kvoten av storleksordningen Peta.

Intressant är dessutom att det krävs bindningsenergi för att hålla ihop en ensam proton, jag ställer mig frågande till detta.

Men om det stämmer så tycker jag detta är helt otroligt!

Att byggstenarna hos en kärna har så otroligt mycket större massa än vad kärnan verkligen väger förvånar mig nåt enormt.

Man kan dock ifrågasätta detta men det torde lite vara bevisat iom nåt så hemskt som att atombomger fungerar.

Man verkar alltså kunna summera med att

$m(Eb)=partikelmassan...61.12$

och detta med stor noggrannhet ty kvoten är löjligt hög och det här gör alltså att kärnan egentligen "bara" är ren energi.

Slutligen tycker jag vi reder ut u-begreppet genom att säga:

${\begin{bmatrix}Massenhet&Neutron&Proton&Elektron\\u&1,008665&1,007276&5,48597\\m_{p}&1,001&1&0,00055\\m_{e}&1838&1836&1\\\end{bmatrix}}...61.13$

Så Ni ser, att ha protonmassa som "u" är mycket smidigare samtidigt som jag egentligen gillar elektronen som "u" ännu bättre, man slipper ju då decimaler för alla nuffror blir liksom större än 1.

Om man plottar bindningsenergin per nukleon dvs Eb/A så får man en rätt speciell graf, den går upp snabbt till c.a 9Mev, sen planar den ut och sjunker tom för högre masstal (A), den är f.ö inte helt linjär utan den gör skarpa hopp också, t.ex är Eb/A för $He^{4}$ runt 7MeV samtidigt som den för nästa grundämne $Li^{6}$ bara är 5,5Mev och för nästa grundämne igen $Be^{8}$ så vänder det uppåt och blir till c.a 7MeV igen.

Plottar man däremot Eb för hela kärnan och därmed alla nukleoner (A) så blir den grafen rätt fascinerande mycket nära en rät linje där jag precis räknat ut att man kan approximera den räta linjen med runt

$Eb\approx -30+8,7A...[MeV]...61.14$

där A är det så kallade masstalet (dvs samtliga nukleoner där nukleoner inbegriper både protoner och neutroner) samtidigt som denna formel bara gäller för A>5 och det approximativt, konstanten 8,7 är alltså lägre för A<5 men samtidigt högre för typiskt A>100.

Numeriskt exempel

Lithium har masstalet (A) 6 vilket ger en skattad bindningsenergi (Eb) med min formel på 22MeV, Physics Handbook (PH) säger emellertid 32MeV, om jag byter ut masstalet till 12 så får jag 74 medans PH säger 92 men om min konstant (8,7) byts mot 10,3 så interpoleras det bättre (32 respektive 94). Jag kikade precis i PH och testade både stora och små masstal, alla bindningsenergier blev rätt inom 10% med min korrigerade formel, vid riktigt höga masstal som 235 (dvs Uran, som är bland dom tyngsta grundämnen som finns) så felar det dock +20%, men den approximativa formeln på Eb=10A-30 är lätt att komma ihåg och tom hyfsat exakt.

Kapitel LXII, Kärnkrafter

Kärnkrafter

Coulombkrafterna eller dom elektrostatiska krafterna kan tecknas

$F_{c}={\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}...62.1$

vilket innebär

$F_{c}\propto {\frac {1}{r^{2}}}...62.2$

Dom gravitationella krafterna kan sedan tecknas

$F_{g}=G{\frac {Mm}{r^{2}}}...62.3$

där M är den stora massan (typ jorden) och m den lilla massan samt G gravitationskonstanten.

Båda krafterna går som 1/r^2 vilket ger

${\frac {F_{g}}{F_{c}}}={\frac {GMm*4\pi \epsilon _{0}}{q^{2}}}...62.4$

Om vi nu jämför de gravitationella attraktionskrafterna mellan två neutroner och de elektrostatiska krafterna mellan två protoner (masskillnaden proton-neutron år i det närmaste försumbar dvs ynka 2me eller en promille) så får vi en proportion på c.a

${\frac {F_{g}}{F_{c}}}={\frac {-10-27-27+1-11}{-19-19}}=10^{-36}...62.5$

Enligt min litteratur ska det dock vara 10^-38 vilket ger ett par magnituder fel men det viktiga är att de gravitationella krafterna INTE har nåt att göra med varför kärnor håller ihop, en enkel tanke är att protoner ju har samma laddning (plus) och hur skall dom kunna samlas i en kärna?

Stabiliteten hos en kärna förutsätter således en attraktionskraft mellan nukleonerna.

Det existerar tydligen, då gravitationskrafterna uppenbarligen inte räcker till, speciella kärnkrafter med den egenskapen att kompensera Coulumbrepulsionen så att två eller flera protoner med lika laddning kan hållas ihop inom en kärna.

Vi har varit inne på det tidigare men det tål att repeteras dvs ALLT består av vad man kan kalla kärnmateria och man kan räkna ut densiteten enligt

$\rho \approx {\frac {A*m_{p}}{\pi r^{3}}}={\frac {A*m_{p}}{\pi r_{0}^{3}(A^{1/3})^{3}}}\approx {\frac {m_{p}}{r_{0}^{3}}}...62.6$

Sen vet vi ju att r_0 är lite drygt E-15 och protonens massa (m_p) är ungefär E-27, så ett estimat av densiteten hos ALL materia är ungefär

${\frac {m_{p}}{r_{0}^{3}}}=-27+(15*3)=E18/m^{3}...62.7$

Betänk sen att vatten har densiteten E3/m^3...

E18...:D

En galen Japan (Yukawa) fick en ide' 1935 som 1947 bevisades och i grunden är denna teori lite flummig.

Kärnfysiker använder gärna energibegrepp men jag tycker det blir lite luddigt i det här sammanhanget för vad är det vi diskuterar?

Vi diskuterar inte energier, vi diskuterar ju mer krafter (jag tycker tom potentialer är lättare att få grepp om) dvs hur kan en kärna proppfull av plus-laddade partiklar hållas ihop, det är vad vi diskuterar.

Man kan dock skriva de båda aktuella potentialerna i energiform typ E=qU och i fallet Yukawa är det inte elementarladdningen vi multiplicerar potentialen med för att få energin utan det något kufiska "f".

$V_{c}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{r}}...[eV]...62.8$

"Yukawa-potentialen" är sedan

$V_{y}=-fe^{-{\frac {r}{r_{0}}}}{\frac {1}{r}}...[eV]...62.9$

Jag tycker potential är lättare att begripa än energi, Vc till exempel klingar av som 1/r dvs ju längre bort man typ för en elektron från en kärna desto lägre potential får elektronen och den sjunkande potentialen är en indikation på hur stor kraft som en elektron dras mot kärnan.

Yukawa-potentialen går dock exponentiellt och därmed snabbare mot noll än Coulomb så att "systemet" på lite större avstånd domineras av Vc dvs summan av Yukawa och Coulomb blir större än noll, vilket är att förvänta då vi ju har en kärna som är enbart positivt laddad och vi avlägsnar oss därifrån samtidigt som Yukawa är ENBART kärnkrafter.

Här har man alltså försökt anpassa Yukawa-potentialen till den Coulombska potentialen så att det enda som egentligen skiljer är ett tecken.

MEN det är inte så lite det för utan Yukawa-potentialen/kraften så skulle det inte finnas några atomkärnor/atomer för nånting MÅSTE hålla ihop kärnan med alla lik-laddade partiklar/nukleoner dvs alla protoner.

Personligen tycker jag detta är lite av en fabrikation för vad vet man egentligen om detta? Det enda man egentligen vet är att atomerna finns OCH att dom troligtvis består av flertalet protoner MED samma (repulsiva) laddning.

Så dom hålls ihop av nånting och vänder man på bladet får man reda på att det som håller ihop protonerna, typ, är nåt som så vackert kallas pi-mesoner med en massa runt 260me.

Yukawa tänkte ut det här 1935, 1947 upptäcktes sedan den första pi-mesonen.

Lite roligt är sedan hur min lärobok förklarar hur pi-mesoner funkar (eller snarare proton-proton sammanhållningen):

Föreställ Er att Ni tittar på en tennismatch och att matchen går på nyspolad is, när då ena gubben får en boll (fråga mig inte hur) mot sig och sen slår på den bollen då glider hen ju baklänges, eller hur?

På samma sätt blir det naturligtvis på andra sidan nätet.

Säg sen att båda gubbarna får en hink med bollar och att dom, på nåt diffust sätt, föses intill varandra, om då gubbarna börjar plocka bollar från varandras hinkar då får man faktiskt fenomenet, om man tänker efter, att gubbarna får en kraft som drar dom ännu mer emot varandra.

Tanken är skum men om man tänker efter är det inte så skumt för vad är det som händer?

Jo, bollarna har MASSA så i princip är det som att dra i ett handtag fastsvetsat i en vägg (när man tar i bollarna) fast attraktionskraften är mycket mycket mindre MEN den finns där så det är liksom ett litet handtag du drar i när du plockar upp bollen (kallas också Newtons första lag, tror jag).

Med risk för att kladda ner saker skulle jag nu vilja reda ut begreppen kraft, E-fält, potential och energi och jag gör det "Coulomskt" och via Maxwell's ekvationer:

Kraften mellan två laddningar kommer ur

$\oint DdS=\oint \epsilon EdS=\int \rho dV=Q...62.10$

om vi nu ser på E som rundstrålande, rho som volymsladdningstätheten och att vi befinner oss i vakuum så fås

$\epsilon _{0}E4\pi R^{2}=Q...62.11$

ty vi har sfärisk yta och man kan se det som en sfärisk fält-intensitet som faktiskt kan inbegripa både ljudkällor, termiska källor som solen och isotropiska ljuskällor dvs

$E={\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}R^{2}}}...62.12$

Nu är kraften F på en partikel med laddningen q (som jag dock inte vet hur jag skall bevisa)

$F=qE={\frac {qQ}{4\pi \epsilon _{0}R^{2}}}...62.13$

Vi har nu att stora Q är en mängd laddningar i en volym som vi har "summerat" upp så Q borde vara större än q men normalt skriver man den här ekvationen som

$F=qE={\frac {Q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}R^{2}}}...62.14$

Där det dock underförstås att man tar hänsyn till hur många elementarladdningar (q) man har, speciellt applicerbart om vi t.ex tänker oss en enkeljoniserad atom av Helium där då q=1 medans Q=2 ty vi har en elektron men två protoner.

Då var kraftekvationen klar, E-fältet hade vi ju dock redan innan och jag repeterar

$E={\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}R^{2}}}...62.15$

vilket alltså är ett q "mindre" relativt kraftekvationen (om man ser det från det hållet), potentialen fås sedan genom integration mot fältet och från oändligheten där (potentialen är noll) till R

$U=-\int EdR=-\int _{-\infty }^{R}{\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}R^{2}}}dR...62.16$

som blir

$U=[{\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}R}}]_{-\infty }^{R}={\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}R}}...62.17$

Denna ekvation är i eV redan, för att få Joule får man multiplicera med q (aka e)

Numeriskt exempel

En protons potential är på 1,4MeV, en elektrons potential är på 17MeV vilket ungefär är en faktor 10 mer.

Kapitel LXIII, pi-mesoner

Bild på hur den masslösa fotonen är en vågrörelse som inte en partikel av massa är

Yukawa förklarade existensen av kärnkrafter genom att införa en ny typ av elementarpartiklar med en massa mellan nukleonernas och elektronens samt med så kort livslängd $\Delta t$ att det brott mot energiprincipen som partikelns massa innebär (energi=mc^2) ursäktas av den tolerans Heisenbergs osäkerhetsrelation medger dvs

$\Delta E*\Delta t=h...63.1$

Personligen köper jag inte den här ekvationen för den är för bekväm och används typ jämt i gränslandet mellan verklighet och teori, vore intressant att veta hur man kom fram till den dock för jag hittar ingen logisk anledning och förklaring till varför det är på det här sättet saknas i ALL litteratur, allt som nämns är typ "de Broglie-våglängd" och "Heisenbergs osäkerhetsrelation" men ingen förklaring om varför och hur.

Jag ska dock köra på med vad jag tror, Heisenbergs osäkerhetsrelation kan enligt litteraturen också skrivas

$\Delta p*\Delta x=h...63.2$

eller

$\Delta v*\Delta x={\frac {h}{m}}...63.3$

Säg sedan att vi mäter partikeln vid en viss position, i exakt denna position kan vi inte veta hastigheten för det kräver en position till (och tiden där emellan) så vi har en osäkerhet i position när vi försöker mäta hastigheten, i detta fallet gissar jag att man kan skriva osäkerhetsrelationen som

$v*\Delta x={\frac {h}{m}}...63.4$

för v är bestämt (dock inte hur v har varierat mellan positionerna, men som ett medelvärde).

Här är alltså osäkerheten avståndet mellan dom båda mätpunkterna ($\Delta x$) men hur vänsterledet kan ha uppfunnits till att vara begränsad till en konstant (i princip Planck's konstant delat med massan), det begriper inte jag.

En annan insikt jag tror mig ha när det gäller osäkerhetsrelationen är att man kan eventuellt titta på hur en gitarrsträng svänger, den svänger som en stående våg och den längsta våglängden (dvs lägsta frekvensen) är 2L där L är längden på strängen.

Min tanke här är att man inte riktigt kan veta vilket delelement av strängen som ger tonen, därför kan en elektron inte bestämmas vara på nån specifik plats på strängen för den är typ på hela strängen.

Så om man har ett avstånd där man önskar beräkna elektronens position så befinner den sig över hela "lambda/2" dvs den buk som infinner sig för stående vågors längsta våglängd där man bara har två noder dvs där strängen är fäst.

Osäkerheten är alltså lambda/2 (eller helt enkelt avståndet).

Sen påstår de Broglie att

$p\lambda =h...63.5$

som kan skrivas om enligt

$v\lambda ={\frac {h}{m}}...63.6$

Här har jag en fundering, om man t.ex tar toppen/mitten av en buk (dvs en stående våg som alltså INTE breder ut sig utan bara svänger) och tittar på hur amplituden (A) beter sig i rummet, då har man att den först går upp A sen går den ner 2A och så går den upp A igen dvs den genomlöper 4A per period.

Detta gör den på tiden T.

Så medelhastighet i y-led är 4A/T, detta kan man sätta in i ovanstående formel och få

${\frac {4A}{T}}\lambda ={\frac {h}{m}}...63.7$

som också kan skrivas

$4Af\lambda ={\frac {h}{m}}...63.8$

eller

$4Ac={\frac {h}{m}}...63.9$

eller

$4A={\frac {h}{mc}}...63.10$

vilket ungefär ger

$A\approx {\frac {\hbar }{mc}}...63.11$

Ett mer politiskt korrekt sätt att visa det på är, säg att störningen kan skrivas

$s(t)=Asin(wt)...63.12$

(fas)hastigheten är då

$v={\frac {ds}{dt}}=wAcos(wt)...63.13$

med maximal fashastighet får man

$v\lambda =wA\lambda =2\pi fA\lambda =2\pi cA...63.14$

sen är detta enligt sägnen alltså lika med h/m vilket ger

$2\pi cA={\frac {h}{m}}...63.15$

eller

$A={\frac {\hbar }{mc}}...63.16$

eftersom detta inte riktigt stämmer med de Broglie enligt ovan dvs

$\lambda ={\frac {h}{p}}={\frac {h}{mv}}...63.17$

så tänker jag att kanske man kan se det som så att hastigheter när det gäller partiklar alltid är mindre än E8 så att

$A>{\frac {\hbar }{mc}}...63.18$

dvs v är alltid mindre än c och på nåt nästan barnsligt sätt skulle jag vilja teckna

$\lambda _{y}>{\frac {\hbar }{mc}}...63.19$

för det måste finnas nån slags vertikal mekanisk våglängd också som typ är beroende av hur hårt strängen spänns, lägstafrekvensen/tonen är ju densamma för strängen rör sig bara fortare med större amplitud men den mekaniska amplituden blir en slags våglängd, tycker jag.

Idag har jag kommit på att jag faktiskt inte är helt ute och cyklar.

Om vi tittar på de Broglie-våglängden fast uttryckt från impulsens håll (p) så kan man skriva den som

$p={\frac {h}{\lambda }}...63.20$

och eftersom

$\lambda ={\frac {c}{f}}...63.21$

så har man att

$p={\frac {hf}{c}}...63.22$

dvs

$pc=hf...63.23$

vilket är två olika sätt att teckna energin för en foton.

Analogin med mitt tänk får man sedan om man tänker

$pc=mvc=hf...63.24$

vilket gör att

$v={\frac {hf}{mc}}...63.25$

och

$v/f=\lambda ={\frac {h}{mc}}...63.26$

där skillnaden gentemot min uträkning bara skiljer 2pi, det intressanta är dock att man just får pc=hf=E.

Jag kan inte mycket om uttrycket pc men hf köper jag för det har Einstein bevisat gäller men jag köper det inte för att just han har bevisat det, jag köper det för hans teori om den fotoelektriska effekten låter rimlig.

Fotoelektriska effekten är egentligen en rätt simpel teori att förstå, om man har en sluten krets med typ en rördiod och belyser katoden så krävs det att fotonens energi (hf) överstiger utträdningsarbetet (w) för en elektron i metallen för att det skall kunna flyta en ström, Einstein påstår sedan att all fotonenergi lämnas över till elektronen.

Här är det emellertid lite tveksamt om man kan applicera hf på en elektron eller ens pc på en elektron ty båda uttrycken är liksom tillägnade fotonen.

Kinetisk energi vet vi ju normalt annars kan skrivas som

$E_{k}={\frac {mv^{2}}{2}}...63.27$

Jag förstår inte riktigt hur det här går ihop.

pc och därmed "impulsenergi" måste jag forska mer i men jag köper rakt av att fotoner har energin hf och att detta kan mätas genom att nyttja en känd metalls utträdningsarbete (w) samt lägga på en microampere-meter där ström kommer börja flyta när fotonenergin (hf) överstiger utträdningsarbetet enligt

$E_{k}=hf-w...63.28$

Observera dock att här överlämnas energi från fotonen till elektronen som också kallas att fotonen växelverkar med elektronen.

Nu har emellertid elektronen fått fotonens energi så visst, man borde kunna säga att i detta specifika fall så har i princip elektronen energin hf.

Jag tvivlar dock på att man alltid kan säga att elektronen har energin hf.

Jag köper att en fotons energi är hf.

Jag är dock tveksam till om energin också kan skrivas pc men jag är bara tveksam till det pga att jag inte förstår rörelsemängd eller impuls (p), man kan dock se pc för en foton som ju är masslös och bara kan färdas med ljusets hastighet som att det egentligen står pc=mc^2 där, trots att den inte har nån massa, man kan beräkna en ekvivalent massa enligt E/c^2 dvs hf/c^2, antar jag.

Men i praktiken finns ju inget m hos fotonen men däremot har den impuls (p) och kraft kan man skriva som

$F={\frac {dp}{dt}}...63.29$

dvs impulsens förändring i tid.

Denna impuls kan man faktiskt bevisa genom att nyttja en evakuerad glaskropp med metall-vingar där vingarna på ena sidan är svarta medans vingarna på andra sidan är blanka.

Nu har jag en amatörmässig spekulation när man belyser detta objekt (vad det nu heter): 1) Lyser man på det hållet där vingarna är svarta så blir impulsen p ty svart absorberar 2) Lyser man på det hållet där vingarna är blanka så blir impulsen 2p ty blankt reflekterar

Därför snurras det med svart före.

Jag vete fasen om jag har rätt i detta men i det svarta fallet så stoppas ju bara fotonen upp dvs all sin impuls ger den till den svarta vingen, i det blanka fallet vet vi ju att likt vi sparkar en boll mot en vägg så blir hastigheten emot en lika stor som infallshastigheten vilket ju innebär, pga att hastighet är en vektor, att förändringen i hastighet är 2v och då är det bara att hänga på massan (m) och man har således dubbla impulsen när vingen är blank, gissar jag.

Så fotoner har impuls (p) för att dom uppenbarligen kan utöva en kraft i samband med reflektion mot ytor (tror f.ö det finns rätt flummiga planer på rymdraketer nyttjandes fotoners impuls)

Jag köper att fotoner har impuls (p).

Eftersom fotoner är masslösa samtidigt som dom flyger fram med c så kan man inte direkt teckna p=mc, visst rent formellt kan man räkna ut en massa från hf/c^2 och då skulle p bli hf/c men här är vi tillbaka i pc=hf och det stämmer ju faktiskt enligt vedertagna principer.

Jag brukar dock se det som så att jag blundar för fotonens "massa" och bara tänker att den färdas med c så att impulsen blir p (och inte mc, ty den har ju ingen verklig massa, det är onekligen lite filosofiskt det här :) ).

Det är dock enkelt att hänga på ett c till när man ser det fiktiva uttrycket mc så att man får mc^2 dvs energin fast för att dölja m=0 så verkar det som om man skriver pc istället.

Jag har svårt för att fatta pc (gäller verkliga livet också dvs PC=Personal Computer :) )

Fast nu kommer jag på att pc faktiskt åtminstone kan vara generellt gällandes för partiklar, detta säger jag inte för att min kurslitteratur säger det utan jag säger det för att jag börjar tro det.

För vad är p för allt utom fotoner?

Jo, det är mv.

Men att energin skulle motsvara pc, eller tydligare när det gäller godtyckliga partiklar, mvc tål att sovas på :)

En annan sak som tål att sovas på är de Broglies våglängd och Heisenbergs osäkerhetsrelation.

Jag har varit mycket skeptisk till detta men idag kom jag på nåt som gör att de Broglie verkar rimligt, såhär går beviset:

$\Delta v*\Delta x=h/m...63.30$

där förändringen i hastighet aldrig är samtidig med förändringen i läge, man växlar bara likt partiell derivata, detta kan man alltså skriva om enligt

$v*\Delta x=h/m...63.31$

där vi bara är intresserade av förändringen i läge (hastigheten kräver ju två lägen för att kunna bestämmas), delar vi detta med observationstiden så får vi

${\frac {v\Delta x}{\Delta t}}={\frac {h}{m\Delta t}}...63.32$

som är lika med

$v^{2}={\frac {h}{m\Delta t}}...63.33$

och pga Einstein kan man skriva

$m={\frac {E}{c^{2}}}={\frac {hf}{c^{2}}}...63.34$

dvs ekvationen blir

$v^{2}\ ={\frac {hc^{2}}{hf\Delta t}}={\frac {c^{2}}{\Delta tf}}...63.35$

där det är rätt tydligt att

$\Delta tf...63.36$

måste vara större än 1 (annars blir ju hastigheten större än c), således tycks

$\Delta t>{\frac {1}{f}}...63.37$

gälla, inom elektrotekniken kallar man

${\frac {1}{f}}...63.38$

för periodtiden T men sånt fattar inte fysiker fast vi fattar sånt för vad är det som händer här? Jo det som händer är att vi har räknat ut att observationstiden måste vara längre än periodtiden, huge surprise för annars kan vi ju inte frekvensbestämma signalen!

Så för att kunna mäta en signal måste man helt enkelt observera signalen under minst en klockperiod (T), det går alltså inte att frekvensbestämma/mäta signalen annars (om den inte är fullständigt symmetrisk)

Jag har utgått från de Broglie vars teorier jag inte riktigt köpte men har landat i att hans teorier tycks stämma.

Jag tycker inte det är nåt snack om Einsteins teorier vad beträffar fotoelektriska effekten för den är enkelt empiriskt bevisbar så totalt efter att ha försökt kritisera dessa kloka människor så ger jag mig, Heisenberg, de Broglie och Einstein har rätt.

Nu återstår nya studier i form av vågor som min kurslitteratur har hittat på, beskrivning av vågor med komlexa tal typ

$Ae^{j\alpha }...63.39$

gör livet fascinerande enkelt, undrar om elementarpartiklarna beter sig lika enkelt?

Efter denna långa elaborering som inte blev att handla om pi-mesoner kan vi repetera

$\Delta E*\Delta t=h...63.40$

Under tiden $\Delta t$ är massan enligt Einstein

$m={\frac {\Delta E}{c^{2}}}={\frac {\hbar }{\Delta tc^{2}}}...63.41$

tillåten, flummar min kurslitteratur med (jag behåller hbar här, tycker annars att h räcker för diskussionen).

Attraktionen mellan nukleoner köper jag skulle kunna vara en följd av utbyte av så kallade pi-mesoner, gravitationella krafter mellan protoner funkar ju liksom inte och elektrostatiska (Coulombska) krafter funkar naturligtvis inte heller för dom är repulsiva för lika laddning.

Den till pi-mesonen hörande kraftfältet måste således under livstiden $\Delta t$ kunna spänna över typiska nukleon-nukleon avstånd, säg R.

Med

$R=\Delta tc...63.42$

som är lika med kraftfältets största tänkbara utbredning på tiden $\Delta t$ eller

$\Delta t=R/c...63.43$

insatt i uttrycket ovan får vi

$m\approx {\frac {\hbar }{{\frac {R}{c}}*c^{2}}}={\frac {\hbar }{Rc}}=260m_{e}...63.44$

Yukawas utbyteskrafter och utbytespartiklar infördes av honom på rent teoretiska grunder 1935. 1947 upptäcktes den första pi-mesonen med en massa av den föreslagna storleksordningen! Tre olika pi-mesoner är inblandade i de tre slagen av växelverkan, jag nämner inte dom för det är akademiskt.

Numeriskt exempel

Jag anser att hbar bara kan nyttjas för cirkulära rörelser modell p*lambda=mv*2pi*r=h som blir mvr=hbar (där mvr kallas för banimpulsmomentet) och gäller för elektronbanan runt protonen i väte, så det är lite konstigt att hbar nyttjas för pi-mesonens massa där jag dock vid nyttjande av hbar får att massan blir 386m_e men då har jag nyttjat R=10^-15m som är lite på en höft vad gäller proton-proton:avståndet.

Kapitel LXIV, valda delar ur speciella relativitetsteorin (SR)

Visar hur en punkt flyttar sig en sträcka med ljusets hastighet

Jag börjar med att säga att begreppet "speciella" tycks mena att i denna teori avser man likformig rörelse dvs inga accellerationer förekommer.

Jag tar upp det här för jag är intresserad av varifrån den relativistiska formeln för massa egentligen kommer, denna formel är

$m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}...64.1$

För det första ska det sägas att om man läser mellan raderna hos min kurslitteratur så är denna formel faktiskt tagen ur luften, den är gjord det för att fysikerna hellre ville att impulslagen skulle vara invariant (typ oberoende av hastighet/tid), så istället för att impulserna skulle dras med SR-faktorn dvs

${\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}...64.2$

så lät dom massan dras med SR-faktorn istället.

Man kan nämligen visa att om man har två koordinatsystem (s respektive s') med vertikala rörelser hos t.ex två pistolkulor som träffar varandra så blir det en ändring av impuls i det ena koordinatsystemet (s) och denna ändring är legendariskt 2p eller 2mu (där jag köper hastighetsbenämningen för vertikal rörelse), i s' är dock impulsändringen

$\Delta p=2mv{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}...64.3$

och det är detta jag inte begriper.

Samtidigt begriper jag att när man nu velat behålla impulslagen (utan SR-konstigheter) så måste man göra om massan enligt inledningen så då har man alltså offrat massans invarians för impulsens invarians och ovanstående uttryck blir utan SR-faktorn.

Fast detta är väl knappast samma som att säga att massan är relativ, det är ju bara en teoretisk konsekvens.

Eftersom jag är intresserad av vart sjuttsingen den relativa massan kommer ifrån måste vi titta på Lorenz-transformationen och vi börjar från början:

Säg att vi har två koordinatsystem (ks) där ljusets hastighet (c) är maximal hastighet och ljuset utbreder sig isotropiskt i båda ks, då får vi att radien i respektive ks kan skrivas:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=(ct)^{2}...64.4$

respektive

$x^{\prime ^{2}}+y^{\prime ^{2}}+z^{\prime ^{2}}=(ct^{\prime })^{2}...64.5$

då har vi två olika ks med två olika radier ct respektive ct' som liksom breder ut sig sfäriskt, jag fattar inte riktigt det här men på nåt sätt försöker man (linjärt) mappa dessa ks och när man gör det får man

$x^{\prime }=px+st=p(x-vt)...64.6$

respektive

$t^{\prime }=qx+rt...64.7$

Här mappas sedan de olika ks ihop genom att skriva (not. kan man alltid skarva funktioner som är noll?)

$x^{2}-c^{2}t^{2}=x^{\prime ^{2}}-c^{2}t^{\prime ^{2}}...64.8$

där y och z inte ingår ty vi avser bara räkna på en dimension åt gången

Nu blir det en massa jobbig algebra där jag fått lära mig nåt jag inte förstår men som är viktig för att få löst detta dvs att p=r, tar det dock i steg

$x^{2}-c^{2}t^{2}=p^{2}(x-vt)^{2}-c^{2}(qx+rt)^{2}...64.9$

detta kan utvecklas som

$x^{2}-c^{2}t^{2}=p^{2}(x^{2}-2vxt+v^{2}t^{2})-c^{2}(q^{2}x^{2}+2qxrt+r^{2}t^{2})...64.10$

Här är det ytterst tveksamt varför två mellantermer går bort för det kan dom bara göra om qr=vt, eller om nån parameter är noll vilket dom uppenbarligen inte är, så varför går mellantermerna bort?

Identifierar man övriga koefficienter så får man

$x^{2}-c^{2}t^{2}=p^{2}(x^{2}+v^{2}t^{2})-c^{2}(q^{2}x^{2}+r^{2}t^{2})...64.11$

dvs framför x^2

$1=p^{2}-c^{2}q^{2}...64.12$

respektive framför t^2

$c^{2}=c^{2}r^{2}-p^{2}v^{2}...64.13$

ur första ekvationen får vi att

$q^{2}={\frac {p^{2}-1}{c^{2}}}...64.14$

ur andra ekvationen får vi

$p^{2}={\frac {c^{2}(r^{2}-1)}{v^{2}}}...64.15$

här substitueras konstigt nog r mot p (jag fattar nu kanske detta) varvid man får

$p^{2}={\frac {c^{2}(p^{2}-1)}{v^{2}}}...64.16$

eventuellt kan denna substitution bero på att

${\frac {\Delta t}{t}}={\frac {\Delta x}{x}}...64.17$

detta kan också skrivas

${\frac {\frac {dx}{dt}}{\frac {x}{t}}}={\frac {c}{c}}=1...64.18$

ty gemensamt för de båda ks är ljushastigheten som ju är konstant dvs den relativa förändringen i position i det ena ks kräver samma relativa förändring i tid i andra ks för utan tid kan ingen förändring ske, att x/t=c får man om man tittar på definitionsfunktionen för en dimension där man ser att x följer ct, ovanstående ger sen med lite mellanspel

$p^{2}v^{2}=c^{2}(p^{2}-1)...64.19$

eller

$c^{2}=p^{2}(c^{2}-v^{2})...64.20$

eller

${\frac {c^{2}}{(c^{2}-v^{2})}}=p^{2}...64.21$

dvs

$p^{2}={\frac {1}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}...64.22$

där jag kallat nämnaren för SR-faktorn i kvadrat.

Om vi sen tar uttrycket för p^2 och stoppar in i uttrycket för q^2 och jag repeterar

$q^{2}={\frac {p^{2}-1}{c^{2}}}...64.23$

där alltså

$p^{2}={\frac {1}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}...64.24$

så får vi att

$q^{2}={\frac {{\frac {1}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}-1}{c^{2}}}...64.25$

dvs

$q^{2}={\frac {1}{c^{2}-v^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}...64.26$

eller

$q^{2}={\frac {c^{2}-(c^{2}-v^{2})}{c^{2}(c^{2}-v^{2})}}...64.27$

eller

$q^{2}={\frac {v^{2}}{c^{2}(c^{2}-v^{2})}}...64.28$

eller

$q^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {v^{2}}{c^{2}-v^{2}}}...64.29$

eller

$q^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {v^{2}/c^{2}}{1-v^{2}/c^{2}}}...64.30$

dvs

$q^{2}={\frac {v^{2}}{c^{4}}}{\frac {1}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}...64.31$

Nu kan vi således teckna transformen och jag repeterar att vi hade

$x^{\prime }=p(x-vt)...64.32$

respektive

$t^{\prime }=qx+rt...64.33$

insättning av p och q ger

$x^{\prime }={\frac {x-vt}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}...64.34$

respektive (r=p)

$t^{\prime }={\sqrt {{\frac {v^{2}}{c^{4}}}{\frac {1}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}x+{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}t...64.35$

eller

$t^{\prime }={\frac {v}{c^{2}}}{\frac {x}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}+{\frac {t}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}...64.36$

som kan skrivas om enligt

$t^{\prime }={\frac {t+vx/c^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}...64.37$

Enligt min litteratur är tom det här riktigt (möjligtvis förutom ett tecken).

Nu ska vi ta och titta på nåt jag räknat kors och tvärs på men som jag inte får nån ordning på dvs hastighetstransformationerna.

Här kastar jobbigt nog min kurslitteratur om benämningarna vilket är typiskt lektorerer som alltid måste stila och hitta på sina egan jävla beteckningar för emedan vi hitintills räknat med att ks' rör sig så rör sig nu plötsligt ks istället OCH hastigheten blir negativ, varför i sjuttsingen komplicera saker på det sättet när man försöker LÄRA UT saker, jag fullkomligt hatar sånt, bara nån slags stilande, jag blir så irriterad på kurser som alltid envisas med egna beteckningar, vad är det för fel på standard, då kan man satsa på lärandet där det behövs.

Jag kommer skita i detta och låtsas som om jag bara får fel på ett tecken :)

I x-led har vi alltså

$x^{\prime }={\frac {x-vt}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}...64.38$

sett ur det primmade systemet, sett ur det oprimmade systemet sägs det istället bli

$x={\frac {x^{\prime }+vt^{\prime }}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}...64.39$

differentialen blir då

$dx={\frac {dx^{\prime }+vdt^{\prime }}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}...64.40$

Men om vi nu deriverar med avseende på tid blir det knas i min värld, det enklaste resultatet är nedan

${\frac {dx}{dt}}={\frac {{\frac {dx^{\prime }}{dt^{\prime }}}+v}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}...64.41$

men så kan det inte bli för vad som händer är egentligen att en produkt deriveras modell

${\frac {d}{dt}}(f(t)*g(t))=f^{\prime }(t)g(t)+f(t)g^{\prime }(t)...64.42$

där i det här fallet

$f(t)=dx^{\prime }+vdt^{\prime }...64.43$

och

$g(t)=(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})^{-{\frac {1}{2}}}...64.44$

och deriverar man på detta sätt får man

${\frac {dx}{dt}}={\frac {{\frac {dx^{\prime }}{dt^{\prime }}}+v}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}+{\frac {dx^{\prime }+vdt^{\prime }}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}(-1/2)(-2v{\frac {dv}{dt}}/c^{2})...64.45$

där dv/dt=0 pga ingen acceleration så deriveringen blir

${\frac {dx}{dt}}={\frac {{\frac {dx^{\prime }}{dt^{\prime }}}+v}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}...64.46$

MEN det blir det inte, resultatet sägs bli

${\frac {dx}{dt}}={\frac {{\frac {dx^{\prime }}{dt^{\prime }}}+v}{1+{\frac {v}{c^{2}}}{\frac {dx^{\prime }}{dt^{\prime }}}}}...64.47$

eller

$u_{x}={\frac {u_{x}^{\prime }+v}{1+{\frac {v}{c^{2}}}u_{x}^{\prime }}}...64.48$

och jag fattar ingenting :D

Jag avslutar med några formler som jag även försöker bevisa, antag att en måttstav ligger stilla längs x'-axeln i s' och uppmättes ha längden Lo av en person i s' dvs av en person som är stilla relativt måttstaven. Längden fås som skillnaden i x'-värdena dvs Lo=x2'-x1'. En person i s ser staven röra sig i positiva x-axelns riktning och mäter stavens längd L genom att SAMTIDIGT mäta ändpunkternas x-koordinater (märk att mätningarna är samtidiga endast i s dvs t1=t2 men t1' är inte lika med t2') enligt Lorenztransformationen ovan får man således

$SR={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}...64.49$

ty t1=t2 pga att längden mäts samtidigt i s dvs

$L_{0}=x_{2}^{\prime }-x_{1}^{\prime }={\frac {x_{2}-vt_{2}}{SR}}-{\frac {x_{1}-vt_{1}}{SR}}={\frac {x_{2}-x_{1}}{SR}}={\frac {L}{SR}}...64.50$

och därmed (Lo är alltså i det primmade systemet, för det är ju den längden som försöks mätas)

$L=L_{0}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}...64.51$

som kallas för längdkontraktionen, sen har vi

En klocka står stilla relativt s' och registrerar två händelser vid tiderna t1' och t2' på samma ställe (enligt s') säg vid xo'. Tidsintervallet To=t2'-t1' är således mätt av en person som står stilla relativt den punkt där händelserna inträffar. Enligt s är tidsintervallet mellan dessa två händelser (där To är i det primmade systemet och försöks mätas av s)

$T=t_{2}-t_{1}={\frac {t_{2}^{\prime }+vx_{2}^{\prime }/c^{2}}{SR}}-{\frac {t_{1}^{\prime }+vx_{1}^{\prime }/c^{2}}{SR}}={\frac {t_{2}^{\prime }-t_{1}^{\prime }}{SR}}={\frac {T_{0}}{SR}}...64.52$

ty hastigheten i/relativt det primmade systemet är noll och då är v=0

$T={\frac {T_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}...64.53$

som kallas för tidsdilationen, slutligen har vi

$V=V_{0}{\sqrt {1-{\frac {V_{0}^{2}}{c^{2}}}}}...64.54$

som jag lite hittat på och som jag kallar hastighetskontraktionen dvs att V är den riktiga hastigheten korrigerad med hjälp av SR-faktorn men den stämmer och underlättar kalkyleringar av verkliga hastigheter, bara att trycka in Vo om man har nåt i närheten av c, sen får man man V som den verkliga hastigheten, observera att om man räknar ut V på detta sätt så får aldrig Vo>c dvs endast situationer där man får Vo<c (och i detta fallet, nära c) så kan man nyttja "kontraktionsformeln", observera sen att även om V=dx/dt=L/t så stämmer det inte att nyttja ovanstående formler på det sättet, lustigt nog.

Slutligen vill jag visualisera en formel som jag inte hittar härledningen av nånstans dvs varken i min kurslitteratur eller i Wikipedia eller på nätet överhuvudtaget, denna formel beskriver den relativistiska energin enligt

$E^{2}=(pc)^{2}+(m_{0}c^{2})^{2}[=mc^{2}]...64.55$

jag hittar alltså ingen härledning av den här formeln men jag bifogar en visualisering som kanske kan bidra till viss förståelse, speciellt är ju pc och moc^2 katetrar i en triangel och om man krämar på med pc så tappar moc^2 alltmer betydelse och energin går mot pc för höga hastigheter v (då ju pc=mvc).

Den kinetiska energin sägs sedan vara

$E_{k}=E^{2}-m_{0}c^{2}=mc^{2}-m_{0}c^{2}[=(pc)^{2}+(m_{0}c^{2})^{2}-m_{0}c^{2}]...64.56$

där m alltså sägs vara

$m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}...64.57$

vilket jag dock fått lära mig är taget ur "luften" för fysikerna ville alltså rädda impulsens invarians så dom gjorde så att massan blev invariant istället vilket ju knappast är samma som att säga att massan verkligen är relativ, hallå eller :)

Numeriskt exempel

Om 1kg rör sig med hastigheten 0,9c sägs dess massa bli 2,3kg vilket jag vägrar tro på (för hur ska massa kunna öka? Det finns ju inget mer fundamentalt), om sen v0 är c så är v egentligen noll, också det är sjukt. Allt handlar egentligen om påfundet med konstant impuls (mv) för när hastigheten går ner måste massan då gå upp. I grund och botten tror jag det är Einsteins fel när han upptäckte att en fotons energi fullständigt överlämnas till en elektron (Fotoelektriska effekten) vilket ställer till det pga att hf(foton)=Ek(elektron) vilket ger att Ek/f är konstant (och lika med h) osv. Den högsta hastighet (v) man kan komma upp i enligt relativitetsteorin ovan är v=0,5c (v0-3dB), massans sägs då gå upp med roten ur två.

Fritänkande, impulsens invarians

Jag fattar inte mycket av ovanstående SR som mest är avskrivit från min lärobok i Fysik II för typ fem år sedan..

Fast idag tror jag mig kommit en liten bit i förståelsen då jag även tidigare hänvisat till att allt grundar sig på den fotoelektriska effekten som Einstein kom på och, som det verkar, Heisenberg har "förtydligat".

Om man bara tecknar den bevisade fotoelektriska effekten så kan man teckna den som

$E=hf...64.58$

Detta har alltså Einstein bevisat och därmed kan man nog se det som obestridligt men detta får enorma kosekvenser ty man kan differentiera ekvationen och får då

$d(E)=hdf...64.59$

eller

$d(pc)=hdf...64.60$

ty vi snackar foton här, eller

$cdp+pdc=hdf...64.61$

nu finns dock ingen variation i c så vi får

$cdp=hdf...64.62$

eller

$c{\frac {dp}{df}}=h...64.63$

men

$df={\frac {1}{dt}}...64.64$

dvs

$cdp*dt=h...64.65$

och

$c={\frac {dx}{dt}}...64.66$

även i fallet ljusets hastighet, så kvar blir

$dp*dx=h...64.67$

Nu till vad jag tror mig kommit på, visualisera den Bohrska elektronbanan, den har bara en enda längd på omloppsbanan (vi kan kalla den lambda) och om du försöker detektera elektronen så kan du aldrig på förhand veta vart den är, det enda man kan veta är att den återkommer inom periodtiden för omloppet eller inom lambda som vi kan tolka som dx.

Så osäkerheten blir omloppssträckan dvs lambda.

Det samma gäller om vi tittar på en fonton med "riktig" lambda för vi kan fortfarande inte veta vart den befinner sig inom lambda MEN vi vet att den befinner sig där nånstans, så osäkerheten blir även där lambda.

Eftersom lambda är en konstant samtidigt som h är en konstant så MÅSTE dp vara en konstant dvs rörelsemängden, eller impulsen, är mycket riktigt invariant.

Vilket får nästan komiska följder vad gäller SR för om p är konstant så är mv konstant.

Men eftersom vi vet att till exempel hastighet är relativ och alltså sjunker netto med höga hastigheter, så MÅSTE massan öka med högra hastigheter!

Allt för att impulsen är invariant.

Det är ju heltsjukt :)

Fritänkande, impulsens invarians del II

Egentligen tror jag att den fotoelektriska effekten skall skrivas

$hf-W_{u}-{\frac {m_{e}v^{2}}{2}}+qU=0...64.68$

där Wu är det kända utträdesarbetet ur metallen som man kompenserar bort med en accelerationsspänning, U, allt summeras således till

${\frac {m_{e}v^{2}}{2}}=hf...64.69$

där elektronen får hela fotonens energi, differentierar vi denna ekvation får vi

$pdv=hdf...64.70$

Som kan skrivas om som

$p{\frac {dx}{dt}}\cdot d(1/f)=h...64.71$

och alltså

$pdx=h...64.72$

eller

$p\lambda =h...64.73$

om man t.ex tittar på elektronbanan hos en väte-atom där

$\lambda =2\pi r...64.74$

Eftersom lambda är konstant och h är konstant så måste p vara konstant eller invariant som fysikerna säger, vi kan dock också titta på nåt kul med min felskrivning i ovanståendce fritänkande nämligen

$pc=hf...64.75$

Nu tittar vi alltså på en foton istället för en partikel med massa och differentierar vi denna så får vi återigen att

$pdc+cdp=hdf...64.76$

där differentialen hos c ju är noll ty invariant, dvs ekvationen reduceras till

$cdp=hdf...64.77$

där p dock är

$m_{ekv}c...64.78$

i det här fallet för även om fotonen är masslös så har den ekvivalent massa och energi från sin frekvens (hf) enligt

$pc=m_{ekv}c*c=m_{ekv}c^{2}...64.79$

enligt klassisk Einsteinsk princip, detta gör att vi kanske kan differentiera p ändå enligt

$c(m_{ekv}*dc+cdm_{ekv})=hdf...64.80$

där dc återigen går bort men vi får

$c^{2}dm_{ekv}\cdot dt=h...64.81$

men här står det ju

$dE\cdot dt=h...64.82$

vilket är den klassiska formeln för osäkerheten i energi vad gäller tid, jag har dock i det här fallet nyttjat att dp ingalunda är noll dvs p är inte invariant här.

Lite skumt för i första fallet är verkligen p invariant men här är den det inte, dock känner jag man inte kan applicera hf på en foton utan vidare utan hf måste appliceras på en partikel med massa som den fotoelektriska effekten går ut på dvs all fotonenergi överlämnas till elektronen, tror att fysikerna kallar detta för foton-elektron växelverkan.

Fritänkande, differentieringen av fotoelektriska effekten

Man har kommit på att sambandet

$E_{k}=hf...64.83$

som jag vill skriva om som

$h=ET...64.84$

där T är periodtiden hos fotonen sägs kunna differentieras enligt

$h=dE\cdot dT...64.85$

och ur detta drar man stora växlar modell att partiklar kan bryta mot energiprincipen så länge som dT är litet sen blir impulsen invariant så massan ökar med hastigheten, genom att differentiera "en gång till" kan man nämligen skriva

$h=d(mv^{2}/2)dT=mvdvdT=mv{\frac {dx}{dt}}dT...64.86$

och då observationstiden (dT) är samma som tiden man mäter hastigheten med (dt) så får man

$h=mvdx=pdx...64.87$

där x är att tolka som en minimal våglängd vad jag har förstått, är den 2pir kan man skriva ekvationen som

$h=p2\pi r...64.88$

eller

$\hbar =pr...64.89$

där r är en (ban)radie, här får alltså fysikerna fram att för ett visst avstånd (r) så är p konstant dvs mv är konstant och här börjar raljerandet med speciella relativitetsteorin (SR), jag ställer mig alltså skeptisk till det och jag gissar att eftersom inte hastigheten kan gå över c som SR-faktorn pekar på så måste istället massan gå mot oändligheten.

Vilket sofistikerat skkitsnack!

Men hitintills tror jag mig hänga med men fysikerna tycks inte kunna differentiera för hur ska man kunna gå från

$h=ET...64.90$

till

$h=dEdT...64.91$

?, det ska väl ändå bli

$0=dET+EdT...64.92$

eller hur?, där jag får

$0=mvdvT+{\frac {mv^{2}}{2}}dT...64.93$

detta innebär att

$Tdv=-{\frac {1}{2}}vdT...64.94$

som kan skrivas om som

${\frac {dv}{v}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {dT}{T}}...64.95$

vilket uppintegrerat blir

$ln{\frac {v_{2}}{v_{1}}}=-{\frac {1}{2}}ln{\frac {T_{2}}{T_{1}}}...64.96$

som kan reduceras till

${\frac {v_{2}}{v_{1}}}={\sqrt {\frac {T_{1}}{T_{2}}}}...64.97$

och det är det jag tycker formeln säger dvs kvoten av den högre hastigheten (v2) och den lägre hastigheten (v1) motsvaras av roten ur den inversa kvoten av tiderna, om man med andra ord ökar hastigheten gäller en kortare tid.

Jag vet som vanligt inte vad jag snackar om men fysikernas differentiering av formeln stämmer inte.

Kapitel LXV, Fusion

Visar hur elementär fusion går till

Bindningsenerin per nukleon visade på en tänkbar möjlighet att utvinna kärnernergi dvs om vi lyckas slå ihop vätekärnor (enklast i teorin är deuteriumkärnor) till en alfa-partikel modell

$H_{1}^{1}+n_{0}^{1}->H_{1}^{2}...65.1$

och två gånger denna process så får man

$He_{2}^{4}...65.2$

Så påstår min kurslitteratur att i runda tal 28MeV skulle frigöras.

I min litteratur läser jag om praktiska svårigheter och dom påstår bl.a att det finns en potentialkulle på runt 1 MeV som alltså finns mellan den yttre repulsiva delen och den attraktiva inre delen som måste övervinnas för att två protoner (eller två deuteriumkärnor) skall kunna bindas till varandra.

Såhär står det alltså i min litteratur men nu tänker jag fritt, den yttre delen bör vara attraktiv pga elektron/kärna där vi har negativt laddade elektroner och en positivt laddad kärna dvs de Coulombska krafterna regerar, den inre delen handlar om Yukawa-krafter dvs attraktiva krafter som håller ihop kärnan modell pi-mesoner, detta stämmer inte med min litteratur.

Idag försöker man termiskt övervinna denna potentialkulle, räknar man då på vilken temperatur som krävs så är det minst sagt intressant:

Om vi först nyttjar det fundamentala i Maxwells fördelningsfunktion så har vi att

$n_{i}\propto e^{-{\frac {E_{i}}{kT}}}...65.3$

där ni är jontätheten och om vi sätter Ei=1MeV (om nu det är sant) och Ei/kT=1 för att få en rimlig sannolikhet för 1/e är en klassisk nivå så får vi

$T={\frac {E_{i}}{k}}\approx {\frac {+6-19}{-23}}=+10=10^{10}K...65.4$

Inte helt lätt att fixa

Jag tycker vi borde titta lite närmare på den Maxwellska fördelningsfunktionen, lite lustigt är den fördelad kring den (vektoriella) hastigheten noll, det är den första observationen.

Den andra observationen är att sannolikheten för att hitta en partikel med hastigheten (+/-) oändligheten är noll.

Alla partiklar finns således inom +/- oändligheten i hastighet, bara detta är rätt intressant.

Integrerar man upp den Maxwellska fördelningsfunktionen så får man den totala partikeltätheten (eller sannolikheten 1 om man hellre vill det, vilket samtidigt är lite intressant för man säger då att partiklarna befinner sig inom oändlighetsgränserna, naturligtvis).

Ska man vara rättvis skall formeln ovan egentligen skrivas:

$n(v)=n_{0}e^{-{\frac {mv^{2}/2}{kT}}}...65.5$

Och tittar man nu på den här fördelningsekvationen så ser man att om hastigheten går mot oändligheten så är antalet partiklar som har hastigheten oändligheten noll stycken, om hastigheten är noll så är antalet partiklar lika med alla partiklar som vi sprutat in i Tokamaken.

Pga fördelningsfunktionen har vi således att det finns partiklar som har hastighet MELLAN noll och oändligheten OAVSETT temperatur och eftersom hastighet i kvadrat motsvarar temperatur så finns det partiklar som har en temperatur nära dom 10^10K litteraturen påstår och även om det är VÄLDIGT få partiklar som har tillräckligt temperatur så räcker det faktiskt att endast två har det för när deras fusion startar så frigörs i runda tal 28MeV och detta innebär en temperatur på runt 10^11K enligt

$E_{eV}=kT/q=28MeV=>T=10^{11}K...65.6$

vilket tom är mer än vad min pessimistiska litteratur hävdar.

Jag vill således hävda att för att en fusionsreaktion skall kunna starta så räcker det med att ett enda par protoner fusionerar och detta betyder att man kan ligga MYCKET långt ifrån Ek=kT, gäller mest att ha en MASSA partiklar.

n_0 ovan är för övrigt inte riktigt den usprungliga partikeltätheten för den räknar man ut genom att

$\int _{\infty }^{\infty }Ae^{-{\frac {mv^{2}/2}{kT}}}dv==1...65.7$

dvs sannolikheten att partikeln finns inom hastighetsgränserna +/- oändligheten är 100%.

Integralen

$\int e^{-x^{2}}dx...65.8$

kan lösas genom ansatsen

$I^{2}=\int e^{x^{2}}*\int e^{y^{2}}=\int e^{x^{2}+y^{2}}=\int e^{r^{2}}...65.9$

nu går vi över till polära koordinater och får

$I^{2}=\int \int e^{-r^{2}}rdrd\phi =2\pi \int e^{-r^{2}}rdr...65.10$

dvs

$I^{2}=2\pi [-{\frac {1}{2}}e^{-r^{2}}]=-\pi [e^{-r^{2}}]_{0}^{\infty }...65.11$

och således

$I^{2}=-\pi [e^{-\infty }-e^{0}]=\pi ...65.12$

alltså

$I={\sqrt {\pi }}$

Om vi repeterar ovanstående ekvation enligt

$\int _{-\infty }^{\infty }Ae^{-{\frac {mv^{2}/2}{kT}}}dv==1...65.13$

så kan man skriva den på formen (här har jag dock tappat minustecknet men principen håller ändå)

$\int _{-\infty }^{\infty }Ae^{(v({\frac {m}{2kT}})^{\frac {1}{2}})^{2}}dv==1...65.14$

nu kan vi göra variabelbytet

$\int _{-\infty }^{\infty }A({\frac {2kT}{m}})^{\frac {1}{2}}e^{(v({\frac {m}{2kT}})^{\frac {1}{2}})^{2}}d[v({\frac {m}{2kT}})^{\frac {1}{2}}]==1...65.15$

Då fås alltså att

$A({\frac {2kT}{m}})^{\frac {1}{2}}I=A({\frac {2kT}{m}})^{\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}=1...65.16$

fast i praktiken är det inte lika med ett utan partikeltätheten som jag dock tycker är lite skumt för enheten passar inte, jag skulle hellre vilja säga att ettan byts mot det faktiska antalet partiklar (N) som samtidigt ger A

$A=N({\frac {m}{2\pi kT}})^{\frac {1}{2}}...65.17$

Fördelningsfunktionen blir således och som då visar antal partiklar per hastighet

$N({\frac {m}{2\pi kT}})^{\frac {1}{2}}*e^{-{\frac {mv^{2}/2}{kT}}}...65.18$

Här är det dock lite konstigt för i princip säger fördelningsfunktionen att vi har 100% sannolikhet för att det finns partiklar med hastigheten noll men hur hastigheten kan vara noll för en partikel i till exempel ett plasma på säg miljoner grader, det förstår inte jag, att däremot mängden partiklar som har en högre kinetisk energi jämfört med kT blir allt lägre ju större kvoten mellan kinetisk energi och kT blir känns rimligt.

Ett bättre sätt att se det är nämligen att nyttja den Maxwellska fördelningsfunktionen fullt ut och titta på hastigheten hos partiklarna, OMM hastigheten är mycket hög relativt kT så är antalet partiklar som har den hastigheten väldigt låg.

I en gas finns alltså partiklar som har högre termisk hastighet än "kT" men antalet blir snabbt väldigt liten ty funktionen är exponentiell och om man t.ex tar att man har Ek=10kT så blir partikelkvoten 4,5E-5 dvs om vi har 4,5E5 partiklar så finns bara en enda partikel kvar som har energin 10kT.

Så tolkar jag det i alla fall.

Samtidigt förstår jag inte vad som händer vid v=0, när vi integrerar upp fördelningsfunktionen så får vi egentligen att det blir till en sannolikhet modell att integralen blir ett för att alla partiklar finns inom Gaussklockan dvs inom +/-oändligheten i hastighet vilket ju låter rimligt och nivån motsvarande Ek=kT motsvarar 1/e dvs motsvarande 37% av alla partiklar (eller sannolikhet) som finns i systemet låter också rimligt dvs ju högre kvoten Ek/kT är desto färre partiklar finns det med den hastigheten/energin.

Men vad händer vid noll?

Jag fattar inte det.

Att det finns färre och färre partiklar när Ek successivt överstiger kT låter mycket rimligt, det är tom rimligt att man beräknar mängden av dessa partiklar genom att multiplicera fördelningsfunktionen med partikelantalet MEN då stämmer det inte när det gäller v=0 för det innebär att 100% av partiklarna står still (eller att det är en 100-procentig sannolikhet för att det finns partiklar som står still, men denna nivå funkar ju klockrent annars dvs om Ek~kT så varför funkar den inte för v=0?), det köper inte jag. Visst finns det en sannolikhet för att partiklar kan ha hastigheten noll även vid hög temperatur MEN jag anser inte det är sannolikt ty värme definieras mha partiklars rörelse/vibration dvs finns det temperatur så finns det rörelse (och tvärt om).

Den här biten av fördelningsfunktionen är minst sagt diffus.

Notering: Om två partiklar med samma massa frontalkrockar så blir faktiskt hastigheten hos dom båda partiklarna noll en stund och därmed har dom 0K i temperatur, detta vet folk som spelar biljard.

Ett tag trodde jag att litteraturen hade fel och tänkte mig en fördelningsfunktion som såg ut såhär

$n(v)=n_{0}e^{-{\frac {{\frac {m}{2}}(v-v_{0})^{2}}{kT}}}...65.19$

där fokus ligger på avvikelse från v=v_0 och inte på v=0, för om fokus ligger på v_0 så finns alltid en energi eller hastighet skild från 0 dvs det triviala fallet där v=v_0 kommer fortfarande inträffa MEN det är vid en hastighet som inte är noll och då blir det rimligare att säga att partikelantalet vid v=0 blir en funktion av Ek(v_0)/kT, dvs inte 100%, jag fattar inte riktigt vad jag svamlar om men fördelningsfunktionen kring noll lämnar mer att förstå.

Hans Bethe har sedan föreslagit en process som tänks ske i stjärnor modell vår sol och har fått hans namn dvs Bethe-processen där utgångspunkten är sex stycken protoner, nästa steg är sedan att två protoner har fusionerat till var sin deuterium-atom och med hjälp av den "tredje" protonen får man Helium-3 och eftersom man nu har två Helium-3 så fusioneras dom och man får Helium-4 plus två protoner.

Denna process är inte trivial, man får också ett gäng positroner och neutrinos så jag ska försöka få med det också genom att skriva

$2X:H_{1}^{1}+H_{1}^{1}->D_{1}^{2}+\beta ^{+}+v+Q1...65.20$

där $\beta ^{+}$ kallas positron och är elektronens anti-partikel och v kallas neutrino som har med spinnkonservering att göra.

Här nyttjar man en neutron för att skapa Deuterium, jag envisas med att säga att en neutron består av en proton plus en elektron, detta stämmer inte exakt när det gäller massan för massan för en neutron är två elektronmassor större än för en proton MEN kanske en av massorna nyttjas som bindningsenergi vilket ju är samma sak som massa enligt Einstein.

Så amatörteoretiskt krävs en elektron också för att protonen skall bli till en neutron OCH att partikeln sen skall bli till Deuterium.

Vi räknar lite på Q1, jag har ett trick som jag inte riktigt vet funkar men jag har ingen u-tabell i min Physics handbook så jag kan inte direkt extrahera massor för atomer, DÄREMOT har jag en utförlig tabell på bindningsenergier (Eb) hos en mängd atomkärnor och iom att man kan räkna

$m_{k}+E_{b}=\sum (nukleoner)...65.21$

där m_k är kärnans massa.

Om vi nu tittar på ekvationen ovan så har vi att

$p+n=D...65.22$

och

$Q=[begynnelsemassan-slutmassan]c^{2}...65.23$

då har vi att

$[m_{k}(D)]c^{2}=[\sum nukleoner]c^{2}-E_{b}[J]...65.24$

dvs

$[m_{k}(D)]c^{2}=[1836+1838]m_{e}c^{2}-E_{b}[J]...65.25$

eller

$Eb(D)=2,2MeV=2,2/0,5=4,4*m_{e}c^{2}...65.26$

ty viloenergin hos en elektron är c.a 0,5MeV varvid

$[m_{k}(D)]c^{2}=3674m_{e}c^{2}-4,4m_{e}c^{2}\approx 3670m_{e}c^{2}...65.27$

Nu har vi alltså att den sprängda massan är 3674m_e medans Deuterium-kärnan är på 3670m_e vilket vi egentligen visste för Eb var ju på 2,2/0,5=4,4m_e~4m_e.

Här kan vi annars se att en kärnas energi är mycket större än bindningsenergin.

Jag tror att ovan är en uträkningsformel som inte har nån praktisk betydelse annat än att om man har Eb så kan man räkna ut massan hos kärnan eller om man har kärnans massa så kan man räkna ut Eb, min litteratur säger nämligen att nettoprocessen frigör närmare bindningsenergin hos Helium men hur ska det gå till? När man fusionerar de ingående partiklarna så måste ju rimligen Helium suga åt sig den bindningsenergi den behöver, eller? Så hur kan hela bindningsenergin bli över att nyttja för "värmeväxlaren"?

Vi har ju att bindningsenergin är den energi som krävs för att hålla ihop neutroner och protoner för att neutroner är laddningsmässigt neutrala och protoner är positiva så hur ska man annars kunna hålla ihop en sån kärna utan bindningsenergi?

Men i en fusionsprocess där man i princip försöker fusionera protoner till Deuterium så anser jag att det inte genereras nån energi alls för vad som händer är väl att differensen mellan den högre energin som nukleonerna i sig har jämfört med vad Deuterium-kärnan i sig har den går åt som bindningsenergi för Deuterium-kärnan det vill säga det blir ingen nettovinst av energi. Så ser jag det i alla fall och nån får gärna rätta mig.

ELLER blir det trots allt en masskillnad här?

Men jag har ju räknat på att den enda masskillnad som blir är 4m_e och samtidigt är den masskillnaden just bindningsenergin.

Det blir alltså ingenting över till att koka vattnet, som jag ser det men jag har naturligtvis fel.

Nästa steg i Bethe-cykeln stavas sen

$2X:H_{1}^{1}+H_{1}^{2}->He_{2}^{3}+Q2...65.28$

Här är det regelrätt fusion av proton och Deuterium till Helium_3

slutligen

$He_{2}^{3}+He_{2}^{3}->He_{2}^{4}+2H_{1}^{1}+Q3...65.29$

Där två Helium_3 alltså fusionerar och man "får tillbaka" två protoner.

Nettoprocessen är alltså:

$4H_{1}^{1}->He_{2}^{4}+2\beta ^{+}+2v+Q...65.30$

Energivinsten är sedan pga Einstein

$Q=[begynnelsemassan-slutmassan]c^{2}...65.31$

vilket är lika med

$Q=[4m_{p}-m_{\alpha }]c^{2}...65.32$

I min kurslitteratur innehåller alfa-partikeln även två elektroner men om den innehåller det, varför innehåller inte protonen/vätet det? Så jag skiter i den biten samtidigt som det väl ändå är rätt tveksamt att elektronerna orkar sitta fast på kärnorna när vi uppenbarligen snackar mycket höga temperaturer, ett plasma är således mer troligt.

I vilket fall som helst har vi den numeriska energiekvationen:

Som jag dock måste lämna till en annan dag för jag har lite dålig koll på den "sprängda" massan och kärnans massa fast det verkar som om protonen i alla fall har samma sprängda massa som kärnans massa (vilket ju inte är så konstigt för den behöver ingen bindningsenergi för att hålla ihop kärnan ty den består ju bara av en enda proton), sen när det gäller helium händer dock något, i det här fallet vill jag nog mest betrakta He++ (dvs ren alfa-partikel utan elektroner) men i det fallet är den "sprängda" massan väldigt nära 4st protoner (ska väl formellt sett vara 2st protoner och 2st neutroner men neutronerna skiljer bara två ynka elektronmassor i massa) fast här händer nåt viktigt, kärnans massa är MINDRE än den sprängda massan så när vi subtraherar He från 4H så får vi inte noll som man kan tro utan en skillnad som beror på bindningsenergin dvs att Helium är lättare när den hänger ihop än när den är sprängd.

Kom precis på en sak, elektronmassorna i formeln är INTE pga Helium's elektroner utan pga de två positronerna (samma massa som elektronen) så det skall faktiskt stå

$Q=[4m_{p}-(m_{\alpha }+2m_{e})]c^{2}...65.33$

Fast samtidigt vet jag inte om jag tror på positroner :D

Nu gillar inte jag begreppet u så jag skall avveckla det från diskussionen MEN jag behöver ett massvärde när det gäller alfa-partikeln och jag har den bara på formen u.

Vi börjar således med att skapa en konverteringsfaktor

$k={\frac {u}{m_{e}}}={\frac {1,660540E-27}{9,109390E-31}}=1822,88825\approx 1823...65.34$

där jag kommer nyttja elektronens massa som den fundamentala massan istället (dom flesta partiklar är nämligen större än elektronens massa vilket gör att alla "massor" blir större än ett, smidigt att räkna på liksom.

Enligt min litteratur har vi sedan

$Q=[4*1,007276-4,001506-2*0,000549]*uc^{2}=[4,029104-4,001506-0,001098]*931,48MeV=24,68MeV...65.35$

Men nu ändrar vi på det här så att vi istället nyttjar elektronmassor och får då

$Q=[4*1836-7295-2]*m_{e}c^{2}\approx [4*1836-4*1823-2]*m_{e}c^{2}=50m_{e}c^{2}=50*0,51MeV\approx 25MeV...65.36$

Var inte det smidigare?

Idag tror jag mig ha insett en sak, även om följande formel gäller

$m_{k}+E_{b}=\sum nukleoner...65.37$

som alltså implikerar att kärnans massa är mindre än den sprängda massan så tror jag att Eb är masslös, alla vet ju att solen lyser och dom flesta är överens om att det är pga en fusionsprocess modell protoner som fusionerar till Helium, jag tänker nämligen att kanske det är så att massa ALLTID innehåller energi men att energi INTE alltid innebär massa.

För om det är på det sättet kan man se ekvationen som sådan att den mindre kärnmassan beror på en ekvivalent Eb-massa så att kärna egentligen väger lika mycket som den sprängda massan MEN på vågen gör den det inte, den håller ihop sig mha av Eb men Eb väger inget och först då kan vi få ut Eb som en vinst när vi fusionerar.

Lite konstigt det här för jag har i alla fall trott att energi och massa alltid är intimt knutna till varandra pga Einstein, Men om vi ska få ovanstående energiöverskott som faktiskt tom är mycket nära Eb-differensen hos dom ingående kärnorna så kan inte Eb vara strikt bundet till kärnan (enligt formeln).

Jag har sedan noterat några intressanta saker när det gäller fusion/fission-processer där jag inte har nåt numeriskt bevis på det första exemplet men jag tar det ändå, i princip går alla exempel ut på att man inte behöver jämföra begynnelsemassa med slutmassa utan man kan jämföra skillnaden i Eb istället:

$H_{1}^{1}+n=D_{1}^{2}...65.38$

som har värmevinsteffekten

$Q=[slutbindningsenergi-begynnelsebindningsenergi]...65.39$

dvs

$Q=2MeV-0MeV=2MeV...65.40$

sen har vi

$2D_{1}^{2}=He_{2}^{4}...65.41$

dvs

$Q=28MeV-4MeV=24MeV...65.42$

där mitt kompendium räknat ut 24,68MeV men vem bryr sig om den lilla skillnaden?

Om man sedan tittar på fission så har vi den inducerade fissionen enligt kompendiet som ungefär

$U_{92}^{235}=Ba_{56}^{144}+Kr_{36}^{89}...65.43$

bindningsenergierna efter minus före blir här

$Q=1200MeV+800MeV-1800eV=200MeV...65.44$

och det är EXAKT vad kompendiet anger som energivinst!

Så att krångla till det med att använda massan före minus massan efter är direkt onödigt för let' face it, hur intresserade är vi av decimaler?

Det intressanta verkar alltså vara att det är skillnaden i bindningsenergi man får ut som energivinst vilket onekligen är lite knepigt för om man "bundit ihop" en kärna som har högre bindningsenergi så borde ju den energin per dess definition tillhöra kärnan och inte friges men så har jag efter möda klurat ut att det inte kan vara för då skulle man inte få nån energivinst alls, greppar inte det här riktigt.

Numeriskt exempel

Energivinsten vid nettoprocecessen 65.30 med protonens massa som 1836m_e (m_p) och alfa-kärnans massa (m_a) som 7295m_e är (4m_p-m_a)c^2J=49m_ec^2J=25MeV

Fritänkande, skapandet av Deuterium

Jag kopierar ner denna formel från ovan

$H_{1}^{1}+H_{1}^{1}->D_{1}^{2}+\beta ^{+}+v+Q1...65.45$

om man partikelstyckar denna får man

$(p+e)+(p+e)->(p+n+e)+(\beta ^{+})+v+Q1...65.46$

vilket är lite konstigt för som jag ser det ihileras en elektron med en proton för att bilda en laddningsneutral neutron MEN dels blir det en elektron över som visserligen cirklar kring D dels har vi samtidigt att masskillnaden neutron-proton är TVÅ elektronmassor dvs en neutron kan inte skapas av en proton plus en elektron ty massan stämmer inte.

Annars tycker jag formeln stämmer för den överblivna elektronen kommer cirkulera kring D.

Samtidigt är detta en process som sker vid mycket hög temperatur där vi förmodligen inte ens har "riktiga" (läs laddningsneutrala) atomer utan vi har ett plasma där elektroner och protoner är separerade.

Så formeln är akademisk och borde nog mer stavas

$p+p=D_{k}...65.47$

där Dk är deuteriumkärnan och den ena protonen på nåt sätt görs om till en neutron så att man istället kan skriva

$p+n=D_{k}...65.48$

men hur gör man om en proton till en neutron för rent formellt kan man skriva

$n=p+2e...65.49$

vad gäller massa i alla fall, detta kan dock ha med att bindningsenergi kan göras om till ekvivalent massa så om man tar lite av bindningsenergin så kan kanske ytterligare en elektron skapas och ekvationen ovan går ihop, men varför skulle energin ge just ge en elektronmassa till?

Dessutom, om det tillkommer två elektroner i formeln så blir inte neutronen laddningsneutral...

Tycker det finns brister i det här resonemanget.

Fritänkande, hur man kanske kan bygga en fusionsreaktor

Jag går lite grann händelserna i förväg här för jag studerar elektromagnetisk fältteori också men har inte kommit så långt, dock finns det nåt som kallas spegling och jag har fått en idé.

Mha spegling och fixerad di (avståndet mellan spegelladdningen och centrum hos en laddad stång) så kan man eventuellt modulera ekvivalent radie hos den speglade stången.

I fallet laddad stång har man sedan en potential i/på stången (som inte är noll), genom att fixera di kan man eventuellt mekaniskt modulera med den "styrande" laddningen så att man får olika ekvivalenta radier hos den virtuella potentialen.

Genom att göra det med relativt hög frekvens kommer laddningarna stå still.

På kortsidan av "stångens" pinch sätter man sedan två kondensatorplattor och gör samma sak, på det sättet kommer plasmat inte röra sig axiellt utan mest vibrera samtidigt som den första moduleringen håller plasmat "still" radiellt.

Man kan alltså kanske köra in en högströmskabel vid di, få partiklarna att girera kring denna kabel samt innesluta allt mha "kondensatorplattorna" modulerade med relativt hög frekvens.

Eventuellt kan "speglingskonfinement" hålla ihop plasmat förutom den höga strömmen som behövs.

Jag bara spånar :)

Kapiltel LXVI, Bohrs atommodell

Atommodell för väte

"Låt det genast vara sagt: denna Bohr'ska atomteori är idag, bland annat genom Bohrs egen intensiva medverkan, passe' i väsentliga avseenden. Men den utgör inte enbart en fysikhistorisk höjdpunkt, den inbjuder ständigt till jämförelser av resultat och tjänstgör i mångt och mycket som "referensram". Vidare är den baserad på några revolutionerande ide'er som i huvudsak oförändrade övertagits av modernare atomteorier som med fördel presenteras i sin ursprungliga tankemiljö".

Bohr uppställer tre postulat för elektronerna:

1) Kvantiserade tillstånd:

Elektronen är tillåten endast i omloppsbanor för vilka banimpulsmomentet [pr=mvr] är en heltalsmultipel av $\hbar$

2) Stationära tillstånd

Elektronen i ett tillstånd emitterar ingen energi

3) Emission-Absorbtion

Elektromagnetisk strålning sker vid elektronernas diskontinuerliga hopp mellan tillåtna banor varvid den emitterade/absorberade energin svarar mot differensen i tillståndets energi modell

$E_{2}-E_{1}=\Delta E=hf...66.1$

Vid tillämpningen av postulaten på väteatomen gör vi dels en specialisering till cirkelbana dels en approximation till oändligt tung kärna (denna approximation gör att elektronen cirklar kring kärnan istället för den gemensamma tyngdpunkten), sen har vi alltså jämviktsvillkoret i cirkelbanan där centrifugalkraften (Fc) är lika stor som den Coulombska kraften (Fq):

${\frac {mv^{2}}{r}}={\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}...66.2$

vilket ger

$E_{k}={\frac {mv^{2}}{2}}={\frac {1}{2}}{\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}...66.3$

den potentiella energin är sedan

$E_{pot}={\frac {[-q]q}{4\pi \epsilon _{0}r}}=-{\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}...66.4$

liknande Coulombs lag där det bara finns två laddningar med olika tecken.

Elektronens totala energi kan man alltså skriva

$E=E_{k}+E_{p}=-{\frac {1}{2}}{\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}...66.5$

Det Bohrska villkoret 1) ovan ger sedan mha

$p{\frac {2\pi r}{n}}=mv{\frac {2\pi r}{n}}=h...66.6$

där alltså elektronbanan har en omloppslängd/våglängd (lambda) på max 2pir, denna våglängd kan dock delas med godtyckliga heltal (n) ty fler än en våglängd får plats i omloppsbanan samtidig som elektronen måste bita sig själn i svansen och mha 79,2 har vi således

$v^{2}={\frac {n^{2}\hbar ^{2}}{m^{2}r^{2}}}...66.7$

vilket insatt i Fc=Fq ovan ger

${\frac {m{\frac {n^{2}\hbar ^{2}}{m^{2}r^{2}}}}{r}}={\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}...66.8$

dvs

${\frac {1}{r}}={\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}n^{2}\hbar ^{2}}}*m...66.9$

som insatt i energiekvationen ovan ger

$E=-{\frac {1}{n^{2}}}{\frac {m}{2\hbar ^{2}}}[{\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}]^{2}...66.10$

Med insatta värden blir detta

$E_{n}=-{\frac {1}{n^{2}}}*13,6eV...66.11$

Allmänt kan vi för emission och absorbption i väteatomen skriva

$\Delta E=hf=13,6[{\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}]...66.12$

som anger hur skillnaden i energi är beroende av elektronernas nivåer/skal där m och n är heltal som ej behöver skilja med ett, Lyman-serien till exempel utgår från E1 och "alla" energinivåer bortanför ett, Balmer-serien utgår från E2 och alla energinivåer bortanför två, Paschen-serien utgår från E3 och alla energinivåer bortanför tre, vad som händer här är alltså att Väte kan exciteras av en foton mellan två av dess skal, när den har gjort det så kan den också återgå till sitt "vilotillstånd" genom att hoppa tillbaka till sitt yttre skal men när de gör det så gör den sig av med sin extraenergi medels strålning så den strålar alltså ut mellanskillnaden i energi modell hf.

Ur ovanstående ekvationer kan man räkna ut ett par roliga saker och det är elektronens hastighet och elektronens radie, om vi börjar med radien kan man räkna ut den från

${\frac {1}{r}}={\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}n^{2}\hbar ^{2}}}*m...66.13$

som med insatta värden ger en banradie på ungefär 10^-10m eller 1Å (0,529Å om man skall vara pedant, som också kallas Bohrradien) där man bör observera att en protons radie i runda slängar är 10^-15m vilket ju talar om för oss att elektronen cirklar omkring kärnan på ett "ofantligt" avstånd från kärnan dvs på typ 100000 gånger större avstånd, resten är alltså tomrum :)

Elektronens hastighet kan vi också räkna ut från

$v^{2}={\frac {n^{2}\hbar ^{2}}{m^{2}r^{2}}}...66.14$

och den blir i runda slängar 10^6 m/s som ju faktiskt är en hiskelig hastighet för den är nära 1% av ljusets hastighet.

När det gäller energinivåerna ovan för väte så har min litteratur talat om för mig att man måste parallella elektronens massa med kärnans massa för att energinivådiagrammen för väte skall bli rätt och när jag gör det stämmer det klockrent sånär som på tredje decimalen.

Denna kompensation tycker jag dock är skum men den sägs ha att göra med att elektronen kommer kretsa kring kärnan istället för masscentrum (tror jag) såhär går den

$m_{eff}={\frac {m_{e}m_{p}}{m_{e}+m_{p}}}...66.15$

Fattar inte alls varför det blir så men utan den kompensationen blir det inte helt riktigt med energinivåerna (jämfört med uppmätta energinivåer).

Nåväl, vi ska inte snöa in oss på detaljer, min plan nu är att skapa en interpolerande formel för He+ jonens energinivåer, det är nämligen såhär att den mycket enkla och galanta Bohrska formeln bara tycks gälla för Väte, alla andra grundämnens energinivåer fallerar den tydligen för, inte ens nästa grundämne dvs för enkeljoniserat Helium så fungerar det tydligen.

Fast jag gillar Occams Razor så inga flummiga vågfunktioner eller ännu flummigare kvanfysikaliska förklaringar här inte, här ska vi lösa saker på så enkelt sätt som möjligt.

Jag ska alltså försöka hitta en eneginivå-interpolerande funktion som träffar enkel-joniserat Heilum's energinivåer, jag har lite lekt med detta redan men fick då bara de två första energinivåerna att stämma (naturligtvis, för det blev ju tvånget på interpolationen), den tredje stämde dock inte alls.

Jag har hittat ett energinivådiagram för enkeljonserat Helium på nätet och jag har fyra energinivåer att leka med, tänker nu såhär att om man skall lyckas skapa en interpolerande funktion som funkar så tror jag att man måste involvera kärnans storlek för vitsen är ju att det inte bara skall stämma för Helium, det skall stämma för alla grundämnen (men nånstans måste man ju börja).

Den kärnstorleksberoende interpolationskonstanten kommer inte bli linjär.

Numeriskt exempel

Om ett hopp sker från n=1 till m=2 sänds mellanskillnaden i energi ut med en foton på hf=10,2eV som innebär en våglängd på 122nm.

Kapitel LXVII, Partikelvåg-de Broglie-våglängd

Visar olika tänkta lambda hos elektronbanan

Bohr tillät sig, då behovet kändes trängande, kvantisera även banimpulsmomentet enligt

$mvr=n\hbar ...67.1$

En legalisering i efterhand av Bohrs (något ur luften gripna) kvantvillkor och samtidigt en fundamental sammanlänkning av partikel och vågbegreppen åstadkom Louis de Broglie.

Om vågor kunde uppvisa partikelegenskaper borde man ej förvånas över en omvändning dvs att partiklar har vågenskaper.

Ja, antag att en elektron uppträder som en våg med någon låglängd $\lambda$, om den i en cirkelbana inte skall utsläcka sig själv genom destruktiv interferens krävs att den varv efter varv är i fas med sig själv.

Ovanstående i detta kapitel är alltså citerat från min litteratur men när det gäller det där sista uttalandet så är det fullkomligt skitsnack!

Det finns INGET som kräver att elektronen i sin cirkelbana måste "bita sig själv i svansen", den kan naturligtvis ha vilken våglängd som helst, det enda som händer är att "fasfelet" förskjuts för varje varv, nån destruktiv interferens existerar inte, det är bara akademiskt skitsnack!

Men om vi kör på så kan man teckna den kvantiserade omkretsen som

$2\pi r=n\lambda ...67.2$

och alltså enligt det jag inte tror på, sen har vi dock de Broglie-våglängden enligt

$\lambda ={\frac {h}{p}}...67.3$

och om sätter in den kvantiserade omkretsen så får man

$2\pi r=n{\frac {h}{p}}=n{\frac {h}{mv}}...67.4$

dvs

$mvr=n{\frac {h}{2\pi }}=n\hbar ...67.5$

som är det Bohrska villkoret ovan, observera dock att det alltså grundar sig på att elekronen löper ett varv på ett jämt antal våglängder, detta tycker jag definitivt inte är nödvändigt, tyvärr kommer jag inte åt de Broglie vilket hade varit ännu häftigare för han stökar till det när det gäller min vision om att en neutron består av en proton plus en elektron (och den andra elektronen kan få vara bindningsenegi alternativt felmätning för känt är i alla fall K-elektroninfångning och där sönderfaller en proton och en elektron i en neutron), men iom att jag tror stenhårt på att elekronbanan INTE behöver var en heltalsmultipel av nån våglängd så finns det en möjlighet att den Bohrska atommodellen kan fungera för andra grundämnen.

Partikelns, här elektronens, impuls p kan vi således skriva som funktion av partikelvåglängden $\lambda$ eller vågvektorn alias utbredningskonstanten

$k={\frac {2\pi }{\lambda }}...67.6$

dvs

$p={\frac {h}{\lambda }}={\frac {h}{2\pi }}{\frac {2\pi }{\lambda }}=\hbar k...67.7$

På detta sätt påstås man kunna skriva

$E=pc=\hbar kc=\hbar 2\pi {\frac {c}{\lambda }}=\hbar w=hf...67.8$

där jag personligen tror att pc är en partikelegenskap hos energin medans hf är en fotonegenskap men detta är tydligen samma sak så därför kan man också skriva

$E=pc=hf...67.9$

och iom att

$pc=mvc...67.10$

så kan man skriva detta som

$v={\frac {hf}{mc}}={\frac {h}{m\lambda }}...67.11$

där $\lambda$ kan minimeras till (v=c):

$\lambda >{\frac {h}{mc}}...67.12$

Enligt tänket kring vågfunktioner inom fysiken så tycks det vara ganska rätt att tolka våglängden $\lambda$ som den stående våg som bildas mellan två (potentiella) avstånd.

Denna våglängd tycks minimum kunna vara enligt ovan vilket, om man sätter in massan för en elektron, tycks det innebära att våglängden, och därmed ungefär avståndet, är minst 1pm (samtidigt som en protons radie är av storleksordningen 1fm).

Så min vision om att en elektron hela tiden skall kunna befinna sig inom en protons radie stämmer inte, enligt ovanstående formler kan den inte det.

Men jag ger mig inte, om K-elektroninfångning är nåt som erkänt fungerar (dvs en proton plus en elektron sönderfaller i en neutron då MÅSTE en neutron kunna bestå av en proton plus en elektron, enligt mig).

Så nånstans räknar "vi" fel.

Jag har sagt det förut men gillar att säga det igen, Einstein säger alltså att energin hos en foton (och enligt vetenskapen även en partikel) har energin hf, detta kan man skriva om som

$E=hf=h{\frac {c}{\lambda }}...67.13$

där vi ju anammat att partiklar även kan vara vågor så att $\lambda$ egentligen bara är ett avstånd, enklast ser man detta när man studerar typ en gitarrsträng.

Om man med andra ord inför protonens radie som lambda så får man

$E=-34+8+15+19=100MeV...67.14$

Den Coulombska kraften/energin hos p+e är ungefär

$E_{q}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}r}}[eV]...67.15$

vilket för en elektron på randen av protonen innebär 1MeV.

Så man har en attraktiv "kraft" som kan tänkas vilja dra in elektronen inuti protonens skal så att det kan bildas en neutron MEN denna kraft är 100 gånger svagare än den kraft som krävs för att elektronen HELA TIDEN skall kunna befinna sig inom protonen, undrar hur stark Yukawa-kraften är för en sak är säker den har en förmåga att hålla ihop "mängder" med protoner av LIKA laddning och det är inte helt säkert att enbart neutroner "förmedlar" Yukawa.

Det slår mig här att jag ju ovan redan "räknat" ut att det maximala antalet protoner i en kärna är ungefär 100st, Eq=100*1MeV=100MeV, en notering bara.

Min litteratur går nu in på vågfunktioner men jag slutar här för det intresserar mig inte annat än att jag för rätt länge sedan listat ut att det svänger modell en gitarrsträng och efter en massa onödigt avancerad "algebra" så kommer min kurslitteratur fram till precis samma sak.

Numeriskt exempel

Om energin är pc även för en proton (alltså en partikel med massa) och den rör sig med hastigheten 3 miljoner meter per sekund (0,01c) så är de Broglie-våglängden (pga E=pc=mvc=hc/lambda) 1,3 Ångström (1Å=10^-10). Detta är egentligen samma som vid den fotoelektriska effekten där Ek=hf där alltså en foton överlämnar all sin energi till en elektron men Ek är i det här fallet mv^2/2 vilket är långt ifrån mvc så jag är skeptisk till om partiklar med massa verkligen kan betraktas på samma sätt som masslösa fotoner.

Kapitel LXVIII, Plasma i naturen

Saha-ekvationen stipulerar

${\frac {n_{i}}{n_{n}}}=2.4*10^{21}{\frac {T^{3/2}}{n_{i}}}\exp -({\frac {U_{i}}{kT}})...68.1$,

där n_i är jontätheten och n_n är tätheten av neutrala atomer och U_i är joniseringsenergin för gasen.

För vanlig luft blir detta

$n_{n}=3*10^{25}m^{-3}...68.2$

$T=300K$

$U_{i}=14,5eV(nitrogen)...68.3$

som ger

${\frac {n_{i}}{n_{n}}}=10^{-122}...68.4$

som är löjligt liten

Joniseringen fortsätter att vara låg tills U_i är bara några få kT

så det finns inga plasma naturligt här på jorden, bara i astronomiska kroppar med temperaturer på miljoner grader.

Numeriskt exempel

Nedan skattar jag tätheten (n_i) i solen till E28, joniseringsenergin (U_i) för väte är 13,6eV, temperaturen i solen är sedan skattat till 50kK (läs 50000 grader), med dessa data får vi ett ni/nn (dvs proportionen av joniserade atomer jämfört med neutrala atomer), på 11%, plasmat är alltså "färdigutvecklat" för jämför med rumstemperatur och luft, ni/nn är då på E-122! Min upptäckt att jag skattat jordmassan hela 6ggr fel gör sedan att densiteten hos solen är runt 1400kg/m^3 vilket är tätare än vatten trots att det i princip är en gas! Trycket får jag sedan till hiskeliga 2,5 miljoner kg/cm^2!

Fritänkande, trycket i solen

Intensiteten (I) hos nåt som är rundstrålande kan skrivas

$I={\frac {P}{4\pi R^{2}}}...68.5$

där P är utstrålad effekt och R är avståndet, detta kan eventuellt ge upphov till en densitet motsvarande

$\rho =\rho _{0}(1-{\frac {4\pi R^{2}}{4\pi b^{2}}})=\rho _{0}(1-{\frac {R^{2}}{b^{2}}})...68.6$

sen är massan (m)

$m=\int \rho dv=\int _{0}^{b}\rho 4\pi R^{2}dR...68.7$

där b är solens radie och R nån radie i solen, detta ger

$m=4\pi \rho _{0}[{\frac {R^{3}}{3}}-{\frac {R^{5}}{5b^{2}}}]=4\pi \rho _{0}R^{3}[{\frac {1}{3}}-{\frac {R^{2}}{5b^{2}}}]...68.8$

trycket (p) är sedan

$p=\rho gh=\rho gR=\rho {\frac {Gm}{R^{2}}}R=\rho {\frac {Gm}{R}}...68.9$

dvs

$p=\rho _{0}(1-{\frac {R^{2}}{b^{2}}})G4\pi \rho _{0}R^{2}({\frac {1}{3}}-{\frac {R^{2}}{5b^{2}}})...68.10$

medelvärdet av rho är sedan

${\tilde {\rho }}={\frac {M}{V}}...68.11$

och

$\rho =\rho _{0}(1-{\frac {R^{2}}{b^{2}}})...68.12$

dvs

${\tilde {\rho }}={\frac {1}{b}}\int _{0}^{b}\rho _{0}(1-{\frac {R^{2}}{b^{2}}})dR...68.13$

som ger

${\tilde {\rho }}=2/3\rho _{0}...68.14$

vilket innebär att

$\rho _{0}={\frac {3}{2}}{\tilde {\rho }}={\frac {3M}{2V}}...68.15$

trycket blir då

$p=({\frac {3M}{2V}})^{2}(1-{\frac {R^{2}}{b^{2}}})G4\pi \rho _{0}R^{2}({\frac {1}{3}}-{\frac {R^{2}}{5b^{2}}})...68.16$

nu behöver vi kolla vad vi ska sätta R till, för att gå händelserna lite i förväg kan jag tala om att funktionen har en "platå" vid ett visst R som motsvarar ett min om man rör sig mot centrum och ett max om man rör sig utåt, denna platå kan man hitta genom sedvanlig derivering som man sätter till noll, derivatan av tryckformeln ger alltså uttrycket

${\frac {2}{3}}-{\frac {32}{15}}({\frac {R}{b}})^{2}+{\frac {6}{5}}({\frac {R}{b}})^{4}=0...68.17$

där vi gör ett variabelbyte och sätter

$x=({\frac {R}{b}})^{2}...68.18$

och får

$x^{2}-{\frac {160}{90}}x+{\frac {10}{18}}=0...68.19$

sen löser vi denna andragradsekvation och får

$x={\frac {16}{18}}-{\sqrt {({\frac {16}{18}})^{2}-{\frac {10}{18}}}}...68.20$

där bara minus av rotenuttrycket kan vara möjlig för annars blir R>b (där rho är noll), numeriskt svar är

$x=0,89-0,48=0,40...68.21$

dvs

${\frac {R}{b}}=0,63\approx {\frac {2}{\pi }}...68.22$

där jag bara kände igen värdet från DC-värdet hos en helvågslikriktad signal :), b(sol) är sedan 700Mm vilket gör att vid radien (R) 446Mm så finns det en platå, Physics Handbook (PH) levererar sedan också följande fakta

$M(sol)=333000M(jord)...68.23$

och

$V(sol)={\frac {4\pi b_{s}^{3}}{3}}=1,4\cdot 10^{27}...68.24$

data på jordmassan finns tyvärr inte i PH så jag har lite tafatt skattat den genom att anse att genomsnittsdensiteten för jordklotet motsvarar densiteten för vatten, tror dock att denna skattning är lite låg även om ("ytan") på jordklotet mest består av vatten, i vilket fall får jag då med b(jord)=6370km (eller 6,4Mm dvs typiskt 100ggr mindre än solen)

$m(jord)\approx \rho _{H_{2}O}\cdot {\frac {4\pi b_{j}^{3}}{3}}=10^{24}...68.25$

och pga denna skattning och PH-data får jag solens massa till

$M=3,3\cdot 10^{29}...68.26$

vilket ger medeldensiteten hos solen som

${\tilde {\rho }}={\frac {M}{V}}=238kg/m^{3}...68.27$

som jag tycker känns låg men samtidigt ska vi komma ihåg att vi snackar gas/plasma här och jämför man med densiteten för luft på lite drygt 1kg/m^3 så är plasmat minst 200ggr tätare, järn har sen en densitet runt 8000kg/m^3 och förutom haven som som mest sträcker sig en mil ner vilket trots allt bara är runt 1 promille av jordens radie, så under haven bör det husera tätare ämnen och de består då jorden av mest så att säga, gravitationskonstanten (G) är sedan ungefär

$G=6,62\cdot 10^{-}{11}...68.28$

där jag avrundat ner konstanten en notch för den får då samma mantissa som Plank's konstant (h) vilket gör det lättare att komma ihåg samtidigt som jag egentligen aldrig kör ovan noggranhet, med G kan vi nu räkna ut vårt tryck medels vår tryckformel, det är bara att sätta in och jag får trycket till att bli

$p=7\cdot 10^{9}Pa=70000atm=70ton/cm^{2}...68.29$

det är ett rätt saftigt tryck för kom ihåg att normalt lufttryck är 1kg/cm^2 som jag faktiskt tycker är mycket för peka med fingret på ett bord med "kraften" 1kg, det är en del samtidigt som jag faktiskt inte kan relatera till det för vadå 1k/cm^2 precis överallt?

Man kan göra en skattning av solens yttemperatur (obs) genom att nyttja formeln för intensiteten som jag inledde med, pga Wiens strålningslag går sedan intensiteten som temperaturen upphöjt till fyra varvid man kan skriva

${\frac {T_{s}^{4}}{4\pi (AU)^{2}}}={\frac {T_{j}^{4}}{4\pi R_{j}^{2}}}...68.30$

som man nog kan se som att solen strålar ut en viss effekt, denna effekt fördelar sig på en "intensitetsvåg" där alltså intensiteten sjunker medels 1/R^2, på avståndet en astronomisk enhet (AU), som ju är avståndet från solen till jorden, så har intensiteten alltså sjunkit med 1/AU^2, vi får

$T_{s}=({\frac {AU}{R_{j}}})^{\frac {1}{2}}T_{j}...68.31$

som med Tj=300K, Rj=6370km och AU=1,5E11 ger

$T_{s}=46000K\approx 50000K...68.32$

när vi nu har trycket och temperaturen kan vi räkna ut tätheten enligt

$p=nkT...68.33$

som ger att tätheten n_i är

$n_{i}=10^{28}...68.34$

som skall jämföras med tätheten hos luft som är i runda slängar E25, tätheten i solen är alltså typiskt 1000ggr större, här ska man dock komma ihåg att jag började med mina kalkyleringar för trycket i centrum av solen, sen räknade jag ut yttamperaturen men det är rimligt att temperaturen är högre längre in samtidigt har vi sett att densiteten bara ökar med 50% längst in, om densiteten ökar ökar sedan jontätheten (för det är bara att dela densiteten med partikelmassan), enligt min tryckformel ovan kan sedan även trycket öka nästan en faktor 7 vid centrum.

Jag hittade förresten jordmassan på Wikipedia, det visar sig att den är 6ggr högre än min uppskattning vilket är rimligt för som jag sa så nyttjade jag densiteten för vatten (1000kg/m^2) samtidigt som det under haven börjar tätare ämnen där en referens är densiteten för järn (8000kg/m^3) men jordskorpan består naturligtvis inte bara av järn så 6000kg/m^3 är rimligt samtidigt som denna "nya" jordmassa alltså ger en solmassa som är 6ggr större också och detta innebär, hör och häpna, att trycket i solen går upp med kvadraten på vår nya massa dvs hela 36ggr och vi är då uppe i ett tryck på 2,5 miljoner atmosfärer, dvs 2,5 miljoner kilo per kvadratcentimeter, det ni!

Kapitel LXIX, Basala hänsyn

När en laddad partikel rör sig i ett magnetfält gäller följande ekvation

$m{\frac {dv}{dt}}=qvXB...69.1$

ett enkelt sätt att lösa denna ekvation är att ansätta

$v=v_{0}e^{jwt}...69.2$

ekvationen blir då

$mjwv_{0}e^{jwt}=qvXB=mjwv...69.3$

om vi sen bara tittar på beloppet (dvs amplituden) så får vi

$w_{c}={\frac {|q|B}{m}}...69.4$

och pga att v=wr får vi sen

$r_{L}={\frac {mv}{|q|B}}...69.5$

där w_c kallas för cyklotronfrekvensen och r_L kallas för Larmor-radien.

Detta betyder att en partikel kommer gyrera runt magnetfältet med cyklotron-frekvensen och Larmor-radien.

Detta är sedan den fundamentala anledningen varför ett plasma eventuellt kan inneslutas mha ett magnetfält.

Numeriskt exempel

Om vi tittar på elektroner och den flödestäthet på 5T som jag tror ITER kör (informationen har tyvärr tagits bort) så har vi en cyklotronfrekvens på 8E11 rad/s och iom att jag fått veta (och kommer ihåg) att ITER kör 10keV så får man med nedan energiformel att hastigheten hos elektronerna är 5,6E7 m/s vilket innebär en Larmor-radie på 70um, om vi istället tittar på protoner så blir cyktronfrekvensen (åt andra hållet) 4,8E8 rad/s vilket med samma temperatur innebär en hastighet på 1,4E6 m/s som ger en Larmor-radie på 2,9mm, läs att gyrerings-radierna (aka Larmor-radierna) ungefär är 0,1mm repektive 1mm.

Kapitel LXX, Energi och elektromagnetiska fält i ett plasma

Den kinetiska energin kan skrivas

$E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}\approx kT...70.1$

detta ger

$v={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}...70.2$

ovanstående energiformel kan sedan identifieras med den Maxwellska distributionsfunktionen

$f(v)=A\exp {(-{\frac {mv^{2}/2}{kT}})}...70.3$

där sannolikheten att partiklarna befinner sig inom alla hastigheter är ett enligt

$1=\int _{-\infty }^{\infty }f(v)dv...70.4$

vilket innebär

$A={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}...70.5$

vad detta ger oss är att även om den mest sannolika temperaturen är

$kT={\frac {mv^{2}}{2}}...70.6$

så finns det partiklar med både lägre och högre temperatur.

Numeriskt exempel

E-delen i fördelningsfunktionen är alltså max 1 och då vid hastigheten 0 men det är arean under kurvan (dvs Gaussklockan) som motsvarar sannolikheten 1 när man tar hänsyn till alla hastigheter dvs man måste integrera upp fördelningsfunktionen över alla hastigheter och bestämma konstanten A genom att sätta integralen till 1, A vid 300K och elektroner är sedan 6,2E-6.

B-fält från en ström-loop

Denna bild visar härledningen av B-fältet från en ström-loop

Från Maxwell's ekvationer har vi

$\nabla \cdot B=0...70.7$

som kan skrivas om enligt

$B=\nabla XA...70.8$

där A kan få vara en godtycklig vektor, med användande av vektorpotentialen A får vi

$A={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{v}{{\frac {J}{R}}dv}...70.9$

där vi inser att

$Jdv=JSdl=Idl...70.10$

vilket gör att vi pga Biot-Savat's lag får

$B={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\oint _{c}{\frac {dlXa_{R}}{R^{2}}}...70.11$

om vi sedan definierar

$dl=bd\phi a_{\phi }...70.12$

och

$R=a_{z}z-a_{r}b...70.13$

och

$dlXR=a_{\phi }bd\phi X(a_{z}z-a_{r}b)=a_{r}bzd\phi +a_{z}b^{2}d\phi ...70.14$

och inser att r-delen cacelleras, så får vi

$B={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int _{0}^{2\pi }a_{z}{\frac {b^{2}d\phi }{(z^{2}+b^{2})^{3/2}}}...70.15$

eller

$B={\frac {\mu _{0}I}{2}}{\frac {b^{2}}{(z^{2}+b^{2})^{3/2}}}={\frac {\mu _{0}I}{2}}{\frac {b^{2}}{R^{3}}}...70.16$

där dimensionen för B uppenbarligen är

$B\propto {\frac {1}{R}}...70.17$

Jag har manuellt lagt tillbaka detta avsnitt då jag först ansåg det vara lite irrelevant men faktum kan vara att det har mer betydelse än man tror, visst strömmen i loopen snurrar bara och vi får ett Bz-fält från strömmen MEN ström är laddningar i rörelse där jag bara spånar att t.ex protoner har samma Larmor-radie varför dom inte nödvändigtvis måste "snurra" bredvid varandra för varför kan dom inte snurra likt ett pärlband i samma slinga när dom ändå har samma radie? I princip kanske man då kan se det som att hela "omloppet" är knökat med t.ex protoner, kanske det tom maximeras med de antalet protoner som får plats i loopen för dom snurrar/gyrerar ju bara och ger därmed en ström.

E-fält från en laddad loop

E-fält från en laddad loop

Man kan teckna E-fältet såhär

$E={\frac {\rho _{L}}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {dl'}{R^{2}}}={\frac {\rho _{L}}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {dl'R}{R^{3}}}...70.18$

där R i täljaren är en vektor som bestämmer riktningen dvs

$R=-b{\hat {r}}+z{\hat {z}}...70.19$

och

$dl'=bd\phi ...70.20$

av symmetriskäl går dock r-komponenterna bort vilket ger oss

$R=z{\hat {z}}...70.21$

vilket vi kan skriva som

$E={\frac {\rho _{L}}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {bd\phi }{z^{2}}}{\hat {z}}...70.22$

eller

$E={\frac {\rho _{L}}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {bd\phi }{R^{2}}}{\hat {z}}...70.23$

detta ger alltså

$E={\frac {\rho _{L}}{4\pi \epsilon _{0}R^{2}}}2\pi b{\hat {z}}...70.24$

där det egentligen står Q/R^2 typ som alltså har dimensionen E, observera att riktningen är i z-led (för positiva laddningar), rho_L kan sedan ses som

$\rho _{L}={\frac {\sum q}{2\pi b}}...70.25$

Kapitel LXXI, Drifter i ett plasma

This picture shows how an E-field would interact with a B-field to change the particle orbit.

This picture describes what happens to a particle when the magnetic field is non uniform.

This graph describes the centrifugal drift in a plasma.

Med användande av

$m{\frac {dv}{dt}}=q(E+vXB)...71.1$

och sättande av vänstra ledet till noll (ty vi avser ingen rörelse) samtidigt som vi tar kryssprodukten med B så får vi först

$0=q(E+vXB)...71.2$

som kan skrivas om enligt

$E=-vXB...71.3$

och kryssar vi sen med B från höger får vi

$EXB=BX(vXB)...71.4$

sen kan man använda "BAC-CAB"-regeln som innebär att

$AXBXC=B(A\cdot C)-C(A\cdot B)...71.5$

beviset är dock lite lurigt så jag avstår från det här, detta ger dock

$EXB=BX(vXB)=vB^{2}-B(B\cdot v)...71.6$

de transversella komponenterna hos denna ekvation är, pga att v är ortogonal mot B för vi avser drifter, således gäller

$v_{gc}={\frac {EXB}{B^{2}}}...71.7$

som kan skrivas om som

$v_{gc}={\frac {EX{\hat {B}}}{|B|}}...71.8$

och magnituden hos denna "guiding center drift" är tydligen

$v_{gc}={\frac {E}{B}}...71.9$

erkännande av

$F=qE...71.10$

så kan man få

$v_{force}={\frac {1}{q}}{\frac {FXB}{B^{2}}}...71.11$

där F kan vara

$F_{E}=qE...71.12$

pga ett E-fält eller

$F_{g}=mg...71.13$

pga gravitation, sen gäller

$F_{cf}={\frac {mv_{//}^{2}}{R_{c}}}{\hat {R}}_{c}...71.14$

som är centrifugalkraften medans partikeln rör sig utmed B, då är driften pga E

$v_{E}={\frac {EXB}{B^{2}}}...71.15$

och driften pga gravitation blir

$v_{g}={\frac {m}{q}}{\frac {gXB}{B^{2}}}...71.16$

samtidigt som driften pga det böjda B-fältet blir

$v_{R}={\frac {1}{q}}{\frac {F_{cf}XB}{B^{2}}}={\frac {mv_{//}^{2}}{qB^{2}}}{\frac {R_{c}XB}{R_{c}^{2}}}...71.17$

Det är sedan intressant att notera att

$|v_{E}|=|v_{gc}|=|{\frac {E}{B}}|...71.18$

Det är svårare att härleda och förklara driften i ett icke uniformnt B-fält där kraften kan skrivas

$F=-/+{\frac {qv_{\perp }r_{L}}{2}}{\frac {dB}{dr}}{\hat {z}}...71.19$

där v_$\perp$ implikerar hastigheten vinkelrätt mot B-fältet, som insatt i kraftekvationen ovan ger driften av "guiding ceter" som

$v_{gc}={\frac {1}{q}}{\frac {FXB}{B^{2}}}={\frac {1}{q}}{\frac {F_{z}X{\hat {B}}_{\phi }}{|B|}}=-{\frac {1}{q}}{\frac {|F|}{|B|}}{\hat {r}}=-/+{\frac {v_{\perp }r_{L}}{2|B|}}{\frac {dB}{dr}}{\hat {r}}...71.20$

där index bara motsvarar tanken, de är fortfarande vektorer som kan generaliseras som

$v_{\nabla B}=-/+{\frac {v_{\perp }r_{L}}{2}}{\frac {BX\nabla B}{B^{2}}}...71.21$

eller

$v_{\nabla B}=-/+{\frac {v_{\perp }r_{L}}{2}}{\frac {{\hat {B}}X\nabla B}{|B|}}...71.22$

som är grad-B:driften eller driften orsakad av inhomogeniteter i B-fältet, mha en Taylor-utveckling av

$v_{x}=v_{\perp }e^{jwt}={\frac {dx}{dt}}...71.23$

kan man visa att

$B_{z}=B_{0}+y{\frac {dB}{dy}}...71.24$

där B_0 är en DC-komponent för gyreringen som tar ut sig själv, kvar har vi då att

$B_{z}=y{\frac {dB}{dy}}...71.25$

Sen nyttjas att

$B_{\phi }\propto {\frac {1}{r}}...71.26$

vilket gör att

$|B|\propto {\frac {1}{Rc}}...71.27$

där

$R_{c}>>r_{L}...71.28$

och egentligen bara radien ut till krökningen av B-fältet, detta ger att

${\frac {\nabla |B|}{|B|}}=-{\frac {R_{c}}{R_{c}^{2}}}...71.29$

så att

$v_{\nabla B}=-/+{\frac {v_{\perp }r_{L}}{2}}{\frac {\nabla BXB}{B^{2}}}=+/-{\frac {1}{2}}{\frac {v_{\perp }^{2}}{w_{c}}}{\frac {R_{c}XB}{R_{c}^{2}B}}={\frac {1}{2}}{\frac {m}{q}}v_{\perp }^{2}{\frac {R_{c}XB}{R_{c}B^{2}}}...71.30$

vilket gör att man kan visa att den totala driften hos ett krökt B-fält i vakuum är

$v_{cv}=v_{R}+v_{\nabla B}={\frac {m}{qB^{2}}}{\frac {RcXB}{Rc^{2}}}(v_{//}^{2}+{\frac {1}{2}}v_{\perp }^{2})...71.31$

"Det är oturligt att dessa drifter adderar för detta innebär att om man böjer ett magnetfält i en toroid för att försöka innesluta ett plasma, så kommer partiklarna driva ut från toroiden oavsett hur man jiddrar med temperatur och magnetisk fältstyrka" Francis F. Chen

Numeriskt exempel

Om vi tittar på den gravitationella driften (v_g) och kör vårt B på 5T så har vi för elektroner att drifthastigheten är 1,2E-11, för protoner är den gravitationella driften 2E-8, inga snabba drifter men med tiden kommer partiklarna driva ur plasmat hur mycket man än jiddrar med flödestätheten, är dock förvånad över den låga hastigheten.

Fritänkande, de sista ekvationerna ovan går inte ihop

Gradienten av en vektor (B) existerar inte och den sista formeln passar inte, jag köper dock

$v_{R}={\frac {1}{q}}{\frac {F_{cf}XB}{B^{2}}}={\frac {mv_{//}^{2}}{qB^{2}}}{\frac {R_{c}XB}{R_{c}^{2}}}...71.32$

men

$v_{\nabla B}=-/+{\frac {v_{\perp }r_{L}}{2}}{\frac {\nabla BXB}{B^{2}}}...71.33$

passar inte i formeln

$v_{cv}=v_{R}+v_{\nabla B}={\frac {m}{qB^{2}}}{\frac {RcXB}{Rc^{2}}}(v_{//}^{2}+{\frac {1}{2}}v_{\perp }^{2})...71.34$

men vi har

$v_{force}={\frac {1}{q}}{\frac {FXB}{B^{2}}}...71.35$

som faktiskt enklare kan skrivas

$v_{force}={\frac {1}{q}}{\frac {FX{\hat {B}}}{|B|}}...71.36$

där man tydligt ser att hastighetsriktingen är skild från riktningen hos B som kan visas mha

$B=(0;0;1)...71.37$

om nu F kan tecknas

$F=(1;1;1)...71.38$

så blir kryssprodukten

${\hat {r}}(0-1)-{\hat {\phi }}(0-1)+{\hat {z}}(0-0)...71.39$

dvs vi har inga z-komponenter kvar alls vilket samtidigt var riktiningen på B-fältet, istället har vi

${\hat {F}}X{\hat {B}}=-{\hat {r}}+{\hat {\phi }}...71.40$

dvs vi har hastighetskomponenter i r-led (-v_R) och phi-led (v_gc).

Om vi kopierar ner och försöker analysera

$v_{gc}={\frac {1}{q}}{\frac {FXB}{B^{2}}}={\frac {1}{q}}{\frac {FX{\hat {B}}}{|B|}}={\frac {1}{q}}{\frac {F_{y}}{|B|}}{\hat {y}}=-/+{\frac {v_{\perp }r_{L}}{2|B|}}{\frac {dB}{dy}}{\hat {y}}...71.41$

samt sätter att B=(0;0;1) dvs endast i z-led, då försvinner resutatet vad gäller z-led men i r-led och phi-led finns dom kvar, vi kan titta på fallet

$F=(0;1;0)...71.42$

och

$B=(0;0;1)...71.43$

varvid vi får kryssprodukten (FXB)

${\hat {r}}(1-0)-{\hat {\phi }}(0-0)+{\hat {z}}(0-0)...71.44$

om alltså kraften endast är i phi-led och B-fältet endast är i z-led så blir det bara en r-komponent kvar, jag har valt att använda cylindriska koordinater här för om man tittar in i ett plasma (modell Tokamak) blir det mest naturligt då utsträckningen av plasmat är i (böjd) z-led och kryssprodukten i r-led (för vi avser vinkelrät drifthastighet) fast kraften blir alltså i phi-led, kryssprodukten kommer alltså visa oss en drift som är vinkelrät mot B-fältet

Jag vill alltså skriva om denna ekvation

$v_{gc}={\frac {1}{q}}{\frac {FXB}{B^{2}}}={\frac {1}{q}}{\frac {FX{\hat {B}}}{|B|}}={\frac {1}{q}}{\frac {F_{y}}{|B|}}{\hat {y}}=-/+{\frac {v_{\perp }r_{L}}{2|B|}}{\frac {dB}{dy}}{\hat {y}}...71.45$

enligt

$v_{gc}={\frac {1}{q}}{\frac {FXB}{B^{2}}}={\frac {1}{q}}{\frac {F_{\phi }X{\hat {B}}_{z}}{|B|}}={\frac {1}{q}}{\frac {F_{r}}{|B|}}{\hat {r}}=-/+{\frac {v_{\perp }r_{L}}{2|B|}}{\frac {dB}{dr}}{\hat {r}}...71.46$

där

$F_{\phi }...71.47$

bara innebär att vektorn har en phi-komponent, själva komponenten avses inte, detsamma gäller

${\hat {B}}_{z}...71.48$

Det påstås alltså att

${\frac {1}{q}}{\frac {F_{r}}{|B|}}{\hat {r}}=-/+{\frac {v_{\perp }r_{L}}{2|B|}}{\frac {dB}{dr}}{\hat {r}}...71.49$

som vi kan mappa till

$F_{r}={\frac {qv_{\perp }r_{L}}{2}}{\frac {dB}{dr}}...71.50$

eller

$F={\frac {qv_{\perp }r_{L}}{2}}{\frac {dB}{dr}}{\hat {r}}...71.51$

som man eventuellt skulle kunna skriva om som

$F={\frac {qv_{\perp }r_{L}}{2}}\nabla B...71.52$

problemet är bara att gradienten av en vektor finns inte, bara gradienten av skalärer finns så vad betyder detta? Det ser ut som om gradienten av B existerar men B är väl en vektor som har riktning och magnitud? Är kanske B plötsligt en skalär här? Dvs den har ingen riktning utan är bara en funktion/skalär?

Gradienten för en skalär/potential/funktion kan skrivas i cartesiska koordinater

${\frac {dV}{dx}}{\hat {x}}+{\frac {dV}{dy}}{\hat {y}}+{\frac {dV}{dz}}{\hat {z}}...71.53$

om sen V är av typen vektor dvs i vårt fall

$B_{x}{\hat {x}}+B_{y}{\hat {y}}+B_{z}{\hat {z}}...71.54$

och vi tar gradienten för B, då får vi

${\frac {dB_{x}}{dx}}{\hat {x}}{\hat {x}}+{\frac {dB_{y}}{dy}}{\hat {y}}{\hat {y}}+{\frac {dB_{z}}{dz}}{\hat {z}}{\hat {z}}...71.55$

som är rappakalja för t.ex

${\hat {x}}{\hat {x}}...71.56$

existerar inte då dom bara kan kyssas (vilket ger noll) eller tas skalärprudukten på som (som ger 1), så vadå gradienten av en vektor?

Slutligen tycker jag att själva tanken med att det finns en gradient i B är lockande för om fältet är svagare eller starkare kring nåt snitt så finns det ju onekligen nån slags gradient där men strikt matematiskt går det inte ihop vad jag lärt mig, det är f.ö Chengs fel att jag är så strikt men jag köper det han säger om gradienter dvs det återspeglar en potentials "maximum rate of change"

Å andra sidan existerar inte en vektor i kvadrat heller, jag anser dock att man kan nyttja t.ex B^2 som ett mellanled i uträkningarna men

$(B_{x}{\hat {x}}+B_{y}{\hat {y}}+B_{z}{\hat {z}})^{2}...71.57$

existerar inte heller av samma anledning som ovan, dock existerar beloppet av B i kvadrat, formellt kan även B^2 existera men då får man vara vaksam med vad man gör för man har i praktiken två likadana vektorer där man i ovanstående fall kan förkorta bort den ena om man vill, resten blir då |B| för detta sker i nämnaren och man kan heller inte dela med en vektor.

Fritänkade, får inte att grad-B driften går ihop

Om vi har

$F=-/+{\frac {qv_{\perp }r_{L}}{2}}{\frac {dB}{dz}}{\hat {z}}...71.58$

så sägs vi få

$v_{gc}={\frac {1}{q}}{\frac {F_{z}X{\hat {B}}_{\phi }}{|B|}}=-{\frac {1}{q}}{\frac {F_{r}}{|B|}}{\hat {r}}...71.59$

Chen visar en trevlig liten bild där B-fältet är i phi-led, eftersom det är avstånd från det ledande plasmat (aka ledaren) i r-led så lär B-fältet inte vara samma på alla avstånd runt om ledaren, i z-led lär det dock inte finnas några inhomogeniter, runt om ledaren så bör fältet vara samma i phi-led (med samma avstånd, r), så

$dB_{z}=dB_{\phi }=0...71.60$

De enda variationerna i B-fältet kan vi ha i avstånd från ledaren dvs i r-led, detta gör att kryssprodukten mellan B och F måste ENBART ge en r-komponent, för att få en r-komponent så måste kraften ha en phi-komponent och flödestätheten en z-komponent (eller tvärtom).

Jag leker med tanken att kraften kan få vara i z-riktning, huvudsakliga flödestäten är sedan per definition i z-riktning som är in i plasmat som blir z-riktning i böjda polära koordinater.

Vi snackar variation av B, denna variation är i r-riktning ty flödestätheten går som 1/r, dvs B minskar när vi rör oss mot Tokamakens väggar.

Kapitel LXXII, Plasma som fluid

Om vi antar att ett plasma är en fluid, kan vi teckna

$mn[{\frac {dv}{dt}}+(v\cdot \nabla )v]=qn(E+vXB)-\nabla p...72.1$

där man kan visa att de två termerna till vänster kan försummas (ty vi avser ingen rörelse), om vi sedan tar kryssprodukten med B så får vi

$0=qn[EXB+(v_{p}XB)XB]-\nabla pXB...72.2$

eller

$0=qn[EXB-v_{p}B^{2}]-\nabla pXB...72.3$

där en term redan har försummats, arrangerar vi om ovanstående så får man den vinkelräta driften i ett plasma modell fluid som

$v_{p}={\frac {EXB}{B^{2}}}-{\frac {\nabla pXB}{qnB^{2}}}=v_{E}+v_{D}...72.4$

där den så kallade diamagnetiska driften är

$v_{D}=-{\frac {\nabla pXB}{qnB^{2}}}...72.5$

och kraften är

$F_{D}=-{\frac {\nabla p}{n}}...72.6$

där

$\nabla p={\frac {dp}{dx}}{\hat {x}}+{\frac {dp}{dy}}{\hat {y}}+{\frac {dp}{dz}}{\hat {z}}...72.7$

vilket ger trycket i en dimension som

$p=\int \nabla p\cdot dx=\int nF_{D}\cdot dx...72.8$

och enligt tidigare har vi

$p=nkT...72.9$

där n är volymtätheten hos partiklarna, för ett isotermt plasma har vi sedan

$\nabla p=kT\nabla n...72.30$

dvs gradienten av trycket är proportionerligt mot gradienten av tätheten där man kan läsa gradienten som den riktning en skalär (dvs eller n eller p i detta fallet) förändras som "snabbast" i samt storleken på den förändringen.

Numeriskt exempel

Vid 300K och en täthet av kväve i luft på ungefär E25 så blir trycket 41kPa, vilket diffar från det normala lufttrycket på 100kPa med nästan 60kPa därför är tätheten något större (tror 2,5E25 för då stämmer det).

Kapitel LXXIII, Standardmodellen

1. elektron och positron (anti-elektron, positivt laddad elektron med samma massa)
2. muon och anti-muon
3. tau och anti-tau

tillsammans med dessa kommer deras neutrinon och anti-neutrinon som ger oss sex distinkta typer av partiklar eller

1. elektron
2. elektron-neutrino
3. muon
4. muon-neutrino
5. tau
6. tau-neutrino

Neutrinos är preliminärt utan massa och därför svåra att detektera

De dominerande tre av dessa partiklar är fundamentala partiklar som består av kvarkar, för vårat scenario är det tillräckligt att känna igen två typer av kvarkar dvs upp-kvark och ner-kvark. Detta är för att en neutron består av två ner-kvarkar och en upp-kvark medans en proton består av två upp-kvarkar och en ner-kvark

Som mentorer på PF förklarat så kan en neutron genomgå svag växelverkan (transmutation) och bli konverterad till en proton under utsläpp av en elektron och en anti-netrino. Detta har att göra med att en kvark kan ändra sin typ/smak. Vid detta tillfället behöver en ner-kvark "bara" ändra till en upp-kvark för att ändra typ.

Det har också förklarats hur en proton kan ändras till en neutron på liknande sätt.

Detta är den basala anledningen till att de protoner vid födelsen av en en stjärna som vår sol kan generera neutroner och därmed Deuterium för att faktiskt starta fusionsprocessen mot Helium.

Jag tror numera inte ett skit på detta, massa "fancy particles" bara.

Numeriskt exempel

Muonen har en massa på 106MeV/c^2 och ett spinn på 1/2 (vad nu det innebär men elektronen tycks ha samma spinn), taounen har sedan en massa på 1807MeV/c^2 och även den har ett spinn på 1/2. 1MeV innebär en energi i Joule på 1,6E-13J så egentligen har partiklarna massorna 1,7E-11J/c^2 respektive 2,9E-19J/c^2, de verkliga massorna är således 1,9E-30kg respektive 3,2E-29kg, den minsta partikel jag känner till är elektronen, den har en massa på nära 1E-30kg så muonen väger alltså ungefär 2 elektronmassor och tauonen väger 32 elektronmassor.

Kapitel LXXIV, Strålningspartiklar

1) Beta-partikel (elektron)

2) Alpha-partikel (vanlig Helium_4-kärna)

3) Gamma-strålning (högenergi-fotoner som sänds ut från kärnan)

4) X-strålning (lite mindre energirika fotoner som sänds ut när elektroner retarderar eller accelererar)

Numeriskt exempel

Gammastrålaning börjar vid en energi på 10000eV, detta innebär en våglängd på 1Å, vanligt ljus ligger ungefär mellan 1nm (10Å) och 1000nm.

Kapitel LXXV, Proton-proton fusion

Dessa uttalanden är citerade från

1) Två protoner fuserar.

2) En proton muterar till en netron som ger Deuterium samtidigt som det frigörs en positron och en neutrino vilket ger

$H_{1}^{2}...75.1$

3) Deuterium fuserar med en till proton som också frigör X-strålning vilket ger

$He_{2}^{3}...75.2$

4) Två av de resulterande Helium_3 fuserar vilket ger

$2xHe_{2}^{3}=He_{2}^{4}+2p...75.3$

5) En alfa-partikel (Helium_4) skapas alltså med energirikt frigörande av två protoner för att komplettera processen.

Ett roligt citat av Arthur Eddington är

"I am aware that many critics consider the stars are not hot enough. The critics lay themselves open to an obvious retort; we tell them to go and find a hotter place."

Numeriskt exempel

Om man provar min ide´om att Eb(efter)-Eb(före) vinns i energi så får man vid bildandet av He3 Eb(He3)-Eb(H)=7,7-2,2=5,5MeV

Fritänkande, tankar kring proton-proton fusion

Jag tror att proton-proton fusion borde skrivas

$p+p+e+e->p+n^{-}+\Delta E_{b}...75.4$

här har vi i princip mass-konservering pga n>~p+2e men vi har en negativt laddad neutron, så att säga, vi skulle dock kunna skriva om detta som

$H_{1}^{1}+H_{1}^{1}=H_{1}^{2-}+\Delta E_{b}...75.5$

men av definitionsskäl så kan det inte finnas några neutrala atomer i ett (hett) plasma, två protoner skulle dock i teorin kunna fusera till

$He_{2}^{2}...75.6$

men denna isotop existerar inte (enligt Physics Handbook), den enklaste Helium-isotopen är

$He_{2}^{3}...75.7$

som återigen nyttjar en neutron, jag tror således att neutroner är en typ av kärn-klister, det finns dock vetenskapliga teorier om nåt som kallas Yukawa-kraften (eller potentialen) men det låter mest som en lämplig fabrikation.

Å andra sidan har vi att kvoten mellan gravitationell kraft och Coulumbsk kraft för protoner är runt

$10^{-36}...75.8$

så de gravitationella krafterna är inte till mycket nytta för att hålla ihop ett par protoner, men hemligheten kanske ligger i neutronerna?

Alla grundämnen har sedan isotoper men de kan sällan avvara mer än några få neutroner innan de blir instabila.

Physics Handbook säger

$p=1,67.2623\cdot 10^{-27}kg...75.9$

$n=1,67.4929\cdot 10^{-27}kg...75.10$

$e=9,10.9390\cdot 10^{-31}kg...75.11$

som ger oss

$n-p-e=1,53m_{e}...75.12$

detta är sedan den enklaste processen för att skapa en neutron från en proton och en elektron, här har vi åtminstonen neutral laddning hos neutronen men massan diffar 1,53m_e.

Kanske kan vi dock skriva denna process som

$n-p-e=1,53m_{e}c^{2}...75.13$

eller

$n-p-e=780keV...75.14$

enligt Einstein.

Om nu energi och massa är ekvivalent, hur kan vi sno 780keV från en process som inte ens har startat?

Termisk energi är nära besläktat med hastigheten hos partikeln men hur kan vi konvertera denna hastighet till massa?

Jag tror att detta inte är möjligt, Einsteins relation mellan massa och energi är bara teoretisk, med andra ord är vi fast med faktumet att processen diffar med 1,53m_e i massa.

Jag tror sedan att nyckeln är att få skapat en neutron, som jag nu tror kan bli gjort genom p+e men masskillnaden förvirrar mig samtidigt som Physics Handbook anger massan hos elementarpartiklarna intil sex decimaler

En undran är hur lätt det är att precist få mätt massan hos elementärpartiklarna när dom bara är av storleksordningen E-27kg

Och proton-proton fusioneringen ovan som inkluderar specialpartiklar såsom positroner och neutrinos, har detta verifierats?

En anna fråga som man kan ställa sig är, hur?

Neutrinos går ju till exempel inte ens att mäta för de saknar massa, sägs det.

Vad är sedan bindningsenergi?

Jag tror att det är den potentiella energin som en partikel har men jag vet inte, om jag å andra sidan har rätt kan man skriva

$E_{b}(p)=V(p)=V(n)[eV]...75.15$

och

$R(p)=R(n)\approx 10^{-15}m...75.16$

R(e) kan uppskattas enligt

$({\frac {1}{1880}})^{1/3}\cdot R(p)\approx 10^{-16}m...75.17$

och pga att densiteten hos elementarpartiklar är samma så får man för protonen ungefär

${\frac {-27}{3\cdot -15}}=10^{18}kg/m^{3}...75.18$

vilket är en minst sagt enorm densitet!

Om vi sedan tittar på bindningsenergin hos en proton kan vi eventuellt skriva

$V(p)={\frac {-19}{-10-15}}=1MeV=10^{-13}J...75.19$

som kommer från formeln

$V={\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}R}}...75.20$

hämtad från , om denna energi sedan är lika med kT för att möjliggöra för en elektron att penetrera den potentiella barriären hos en proton, så får vi

$T=10^{10}K...75.21$

som också är minst sagt enorm, pga att elektroner sedan är ungefär 10ggr mindre än protoner/neutroner så är elektroners potentiella energi ungefär 10ggr högre vilket ger

$1+1+10+10=1+1+\Delta E_{b}...75.22$

som ger en gain i energi på 20MeV för ett par protoner som fusionerar, en rolig analogi är

$20MeV\cdot 10^{-19}J=20\cdot 10^{-13}Ws\approx 20\cdot 10^{-16}Wh\approx 10^{-15}Wh/particle...75.23$

Tätheten hos ordinärt luft vid 1atm är ungefär

$n_{air}\approx 10^{25}/m^{3}...75.24$

så om alla partiklar inom en kubikmeter fusionerar så har vi +25 fusioner eller +25-15=+10Wh, detta transformeras som

$E=10^{10}Wh=10GWh...75.25$

Men detta är vid 1atm...

Slutligen kan vi uppskatta partiklarnas hastigheter för +10K som

$mv^{2}=10^{-13}J...75.26$

som ger

$v_{e}={\sqrt {\frac {-13}{-31}}}=9...75.27$

dvs för att en elektron ska kunna penetrera en proton så måste hastigheten vara runt 1E9m/s, om vi kollar hastighetskravet för protonen så får vi

$v_{p}={\sqrt {\frac {-13}{-27}}}=7...75.28$

dvs hastighetskravet för protonen för att fusionera med en annan proton är runt 1E7m/s.

Elektronens hastighet verkar omöjlig för högre än ljusets hastighet, men det verkar finnas en tweak som kallas den Maxwelliska distrubutionsfunktionen som stipulerar att kT är ett medelvärde jämfört med den kinetiska energin Ek (som jag dock alltid trott är ett medelvärde i sig) som innebär att temperaturen kan vara högre än Ek, om man säger.

Detta är förmodligen det enda hopp som finns för att få kontrollerad fusion att funka på planeten.

Ett sista ramblande, jag tror att neutron-skapandet måste ske i två steg, det första är

$p+e+625keV=pe=H_{1}^{F}...75.29$

där 625keV är den uppskattade energin för att möjliggöra att en elektron penetrerar en proton samtidigt som allt då blir laddningsneutralt modell neutron, jag har kallat resultatet "Fused Hydrogen", det andra steget är

$H_{1}^{F}+780keV=n...75.30$

där 780keV är den ekvivalenta Einsteinska vilomassan för skapandet av ytterligare 1,53m_e och därmed en "sann" neutron.

Jag tror att detta måste hända i steg för vi människor kan inte öka temperaturen för kontrollerad fusion så snabbt vilket innebär att den första processen kommer att hända först, sen behöver processen ungefär 10^10K till för att avslutas.

Dvs, det kanske finns en pe-partikel som jag dock aldrig hört talas om, denna partikel är dock neutral i laddning med skiljer sig i massa som eventuellt kan fixas av deacceration av elektronen så att elektronen måste ha 780keV mer i rörelseenergi än vad som behövs för penetration.

Sen undrar jag hur en neutron blir till en neutron för vi människor kan inte injicera den rätta massan/energin för att exakt träffa neutronens massa, den måste liksom "veta" detta på nåt sätt, därför tror jag att partikelfysik lite är som genetik.

Alla neutroner väger liksomm lika mycket...

Fritänkande, reflektion över hur kapacitans kanske spelar roll

Ovan har vi formeln för potentialen hos en proton och jag repterar

$V={\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}R}}...75.31$

kapacitans är sedan

$C={\frac {Q}{V}}...75.32$

så att kapacitansen faller ut som nämnaren i potentialen, man kan också skriva detta som

$Q=CV...75.32$

detta kan man differentiera som

$dQ=CdV+VdC...75.34$

dvs förändringen av laddningen (dQ) är beroende BÅDE av förändringen i potential (dV) OCH förändringen i kapacitans (dC), i ett slutet system med mängder av (laddade) partiklar så varierar C (dvs dC är skillt från noll), en annan sak är att ALLT har kapacitans för när man beräknar kapacitans kan man "lägga" en laddning på kroppen och utnyttja ovan formel, dvs netronen, som är oladdad, har också kapacitans (typiskt ungefär samma som protonen dvs E-25F nånstans).

Samtidigt har vi att dQ är noll för netto antal laddningar är samma (även om vissa fusionerar) för laddning är oförstörbar dvs mängden + tar ut mängden - oavsett hur många som fusionerar, då kan vi skriva formeln som

$0=CdV+VdC...75.35$

potentialen kan man sedan tycka är kostant för den är enligt ovan bara beroende av radien hos den enskilda partikeln men i ett system med laddningar tror jag inte att det är så enkelt dvs potentialändringen (dV) kan t.ex öka vilket för med sig att kapacitansändringen (dC) minskar.

Ett system med laddningar har kapacitiv koppling till varandra och kapacitans innebär en ovilja att öka sin potential, eftersom det är tillförelse av Q som får potentialen att öka så är lite frågan hur Q tillförs.

Q har enheten C (eller As) dvs är produkten av ström och tid, denna "dirac-puls" kan se väldigt olika ut för hög ström under kort tid är samma som låg ström under lång tid, stora strömförändringar innebär således att kort tid behövs för att ladda upp kapacitansen, små strömfärändringar kräver alltså en längre tid.

Ström är laddningar i rörelse, när man hettar upp ett plasma på ett kontrollerat sätt är nog ändå strömförändringen relativ långsam så det krävs eventuell en lite längre tid för att kapacitanserna skall laddas upp.

Men för att protonens kapacitans på runt 1E-25F skall laddas upp ordentligt till sin potential på 1,6MV så krävs en laddning (Q) motsvarande elektronens laddning (naturligtvis), eller 1,6E-19As.

Så om uppladdningen går på 1,6E-19s så behöver vi 1A.

Om uppladdningen går på 1,6E-13s så behöver vi 1uA

Bara en reflektion.

Kapitel LXXVI, Tryck i praktiken

Normalt lufttryck är

$1atm=10^{5}Pa=10^{5}N/m^{2}=10^{4}kg/m^{2}=1kg/cm^{2}...76.1$

detta betyder bara att vi människor har anpassat oss till 1kg/cm² atmosfärstryck och inget annat, förutom att allt kräver en faktisk atmosfär, vattendjup åsidosatt så kan vi också skapa ett skillnadstryck genom att flytta ett objekt i en fluid (som man kallar allt som kan flöda inklusive gaser)

$p_{k}=1/2\rho v^{2}...76.2$

denna ekvation säger att så fort vi har en fluid så kan vi skapa tryck genom att bara röra objektet i fluiden.

Vi känner sen en tryckökning motsvarandes 1m under vattenytan (+1hg/cm²) och vi behöver bara dyka 10m under vattenytan för att bli fulla på kväveförgiftning som är anledningen till att dykare andas Helium istället för syre vid stora djup.

Trycket vid de djupaste delarna av vårt hav är 1000 atm nånstans men detta känns bara när man besöker platsen som vissa har gjort ändå, farkostens skrov måste då tåla ovanstående tryck vilket motsvarar en elefant som står på en enkrona.

Barometerformeln lyder

$p=p_{0}-\rho gh...76.3$

som anger lufttrycket vid olika höjd (p₀ betyder 1 atm), denna formel ar approximativt giltig till 10km (där den faktiskt blir noll), i vilket fall är luftdensiteten inte linjär över typ 5km där

$p=p_{0}e^{-{\frac {mgh}{kT}}}...76.4$

bör användas istället (m är den molekylära vikten)

Atmosfären är inte homogen, det existerar fyra distinkta lager (definierade av temperaturen):

4) Termosfären (80km, Karman-linjen)

3) Mesospfären (50-80km)

2) Stratosfären (10-50km)

1) Troposfären (<10km)

Där Karman-linjen på upp till 100km och är specificerad som den höjd en farkost behöver flyga så fort som omloppshastigheten för att behålla höjd där omloppshastigheten är specificerad som den hastighet där centrifugalkraften är lika med gravitationskraften.

Numeriskt exempel

Atmosfären är således så hög som runt 10 mil, man får sedan ett trycktillskott på 1atm vart 10:e meter i vatten, på 1000m djup har man alltså 100 atmosfärers övertryck motsvarande 100kg/cm^2 eller 10ton/dm^2 där 1dm^2 kan liknas vid en elefants fot.

Kapitel LXXVII, Tryck i ett plasma

Från ideala gaslagen har vi

$p={\frac {N_{mol}}{V}}RT={\frac {N}{V}}kT=nkT...77.1$

där n är partikeltätheten.

Arbete mot gasen kan definieras som ökningen av PV-produkten på grund av att temperaturen och därmed Ek då ökar

Arbete utfört av gasen kan definieras som minskningen av PV-produkten för då minskar temperaturen och Ek minskar.

Arbetet delat med antalet partiklar (N) ger arbetet gjort mot, eller gjort av, en enskild partikel som i sin tur ger temperaturen och hastigheten

Termodynamikens första lag stavas

$dQ=dU+dW=dU+pdV=N{\frac {3}{2}}kdT+pdV...77.2$

där Q är den totala energin, U den interna energin och W är arbetet som är positivt om arbetet utförs av gasen eller negativt om arbete utförs på gasen.

Den interna energin är definierad av

$U=NEk_{p}=N{\frac {3}{2}}kT...77.3$

där N är antalet partiklar och Ekp är varje partikel kinetiska energi, i ett slutet system måste sedan dQ=0 för det kommer varken ut eller in nån värmeenergi, om sedan dV är positiv för att gasen utför arbete då måste den interna energin (U) sjunka.

Numeriskt exempel

Om vi har ett tryck på 1atm i en låda med luft på 1dm^3 då har vi 3E25 stycken partiklar per kubikmeter (3E22 stycken partiklar i lådan pga 1dm^3), om nu temperaturen (T) ökar från 300K till 400K och vi har dV=0 så blir dQ 62kJ som alltså är den värmemängd som måste tillföras.

Se även

• Fysiksvammel del II (Cheng)

Källor

1. Åke Fäldt, Bengt Stebler, Fysik del 1 E2, Fysiska institutionen CTH, 1988
2. Jan Petersson, Matematisk Analys del 2, 1990 c,a