Fria matteboken: matematik 2b/Procedurer/Köpenhamn: Hitta max-/minvärden för andragradsfunktioner

Avsnitt Korrelation, samband, funktioner och funktionsanpassning Linjära funktioner och ekvationer Linjära ekvationssystem Andragradsfunktioner och -ekvationer Logaritmer och exponentialekvationer Geometri och logik Statistik Budgetering Annat Begrepp Procedurer Förkunskaper Blandade uppgifter Hjälp Ladda upp fil

Notera att det finns en skillnad mellan extremvärde och extrempunkt. Med extremvärde avses endast funktionsvärdet, medan extrempunkt kräver att du svarar med både x- och y-värde (eftersom punkter har två koordinater).

Hitta max-/minvärden med hjälp av kvadratkomplettering

1. Skriv om funktionsuttrycket till formen a(x+d)² + e. (Se Sarajevo: Kvadratkomplettera andragradsuttryck.)
2. Om a är positiv har funktionen en minimumpunkt. Negativt värde betyder att funktionen har en maximumpunkt.
3. Extremvärdet är e.
4. x-koordinaten för extrempunkten ges av -d.

Hitta max-/minvärden med hjälp av ändringstakt/derivata

Ändringstakt (derivata) är en generell metod för att hitta extrempunkter för funktioner. Begreppet ingår inte i matematik 2b, men är minst lika enkelt som den metod som vanligtvis ingår i kursen. Det som gör ändringstakt användbart är att man i allmänhet hittar extrempunkter där ändringstakten är noll.

1. Skriv om funktionsuttrycket till ax² + bx + c, om det inte redan är skrivet på den formen.
2. Undersök om funktionen har en maximum- eller minimumpunkt. (Se Helsingfors: Avgöra om andragradsfunktioner har max- eller min-värde.)
3. Ändringstakten för en andragradsfunktion ges av 2ax + b. Skriv ner ändringstakten för din funktion.
4. Undersök vilket x-värde som ger ändringstakten noll. Här finns funktionens extrempunkt.
5. Sätt in det x-värdet i funktionen, för att hitta y-värdet (det vill säga max- eller min-värdet).

Med extremvärde avses endast funktionsvärdet, medan extrempunkt kräver att du svarar med både x- och y-värde (eftersom punkter har två koordinater).

Hitta max-/minvärden genom symmetrilinjen

Man kan utnyttja att andragradsfunktioner är symmetriska för att hitta deras extremvärden, eftersom extrempunkten ligger på funktionens symmetrilinje. Det är den metod som vanligtvis lärs ut i matematik 2b.

1. Ställ upp en ekvation för att hitta funktionens nollställen, utan att lösa ekvationen helt. (Se Oslo: Lösa andragradsekvationer algebraiskt.)
2. I lösningen x = A ± B kan du läsa ut symmetrilinjen som x = A.
   • För pq-formeln betyder det att symmetrilinjen ligger vid x = -p/2.
   • För diskriminantmetoden betyder det att symmetrilinjen ligger vid x = -b/2a.
3. Sätt in x-värdet för symmetrilinjen i funktionen, för att hitta y-värdet (det vill säga max- eller min-värdet).