Definition:
är det linjära rummet av styckvis kontinuerliga funktioner definierade på
med värden i
.
Definition (Skalärprodukt i
):
.
Sats:
bildar en ortonormerad bas i
.
Bevis:
![{\displaystyle \langle \sin(mx),\cos(nx)\rangle =\ldots =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5485560f775307e5c0f3278f5e504db79e774987)
![{\displaystyle \langle \sin(mx),\sin(nx)\rangle =\ldots =\left\{{\begin{array}{c}1\Leftarrow m==n\\0\Leftarrow m\neq n\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cfac6d5ba6f72dd572c4c1682293db542ee692)
![{\displaystyle \langle \cos(mx),\cos(nx)\rangle =\ldots =\left\{{\begin{array}{c}1\Leftarrow m==n\\0\Leftarrow m\neq n\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70d6c55d770d0eed6e6bc9333c4cd919b778b85a)
![{\displaystyle \langle {\frac {1}{\sqrt {2}}},\sin(mx)\rangle =\ldots =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c29895944b1b2b90916c771604aad1dd0140196)
![{\displaystyle \langle {\frac {1}{\sqrt {2}}},\cos(mx)\rangle =\ldots =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00259973ae33f67e283f9b98944b77eaf39c9ace)
.
slut av bevis.
Den ortogonala projektionen
av
på det ortonormerade systemet ovan är
, där
![{\displaystyle a_{k}=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}f(t)\cos(kt)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6fcb64f31df07c77f7aa1a1951d89e587475191)
.
kallas fourierserieutvecklingen av
.