Flervariabelanalys/Kurvor på parameterform

Parameterform

Två olika parameterformer för samma linje

Ekvationen $y=2x-3$ beskriver en rät linje i xy-planet. Samma linje kan skrivas på parameterform. Då inför man en parameter, t.ex. t, och låter x och y vara funktioner av denna, d.v.s. $x=x(t)$ och $y=y(t)$. Linjen ovan kan skrivas på parameterform om vi t.ex. sätter $x(t)=t$:

$x=t,\quad y=2t-3,\quad -\infty <t<\infty$

Men den kan också skrivas på en annan parameterform genom att sätta $y(t)=t$. Då får vi $x(t)$ genom att lösa ut x ur ekvationen $t=2x-3$, vilket ger $x(t)=(t+3)/2$. Linjen kan då beskrivas såhär:

$x={\frac {t+3}{2}},\quad y=t,\quad -\infty <t<\infty$

Varje värde på t ger alltså en punkt på xy-planet. Man kan tänka sig att det är ett objekt som rör sig över xy-planet och koordinaterna vid en viss tidpunkt t är beroende av just t. Linjen är då den väg som objektet rör sig på. Riktningen för denna rörelse motsvaras av växande värden på t.

Parametriska kurvor

Parabeln $x^{2}-6x+7$

Följande ekvationer beskriver en kurva där alla punkter ligger på en parabel:

$x=t+3,\quad y=t^{2}-2,\quad -\infty <t<\infty$

Kurvan har en riktning som motsvaras av växande värden på parametern t. Parabeln erhålls genom att eliminera t:

$t=x-3,\quad y=t^{2}-2=(x-3)^{2}-2=x^{2}-6x+7$

Kurvans punkter ligger alltså på parabeln $y=x^{2}-6x+7$. Här är det viktigt att notera skillnaden mellan parameterform och icke-parameterform. När vi eliminerar t förlorar vi informationen om kurvans riktning. Det som återstår är endast mängden av alla punkter på kurvan, d.v.s. kurvans "väg".

Definition: Parametrisk kurva