Flervariabelanalys/Kurvor på parameterform


Parameterform redigera

 
Två olika parameterformer för samma linje

Ekvationen   beskriver en rät linje i xy-planet. Samma linje kan skrivas på parameterform. Då inför man en parameter, t.ex. t, och låter x och y vara funktioner av denna, d.v.s.   och  . Linjen ovan kan skrivas på parameterform om vi t.ex. sätter  :

 

Men den kan också skrivas på en annan parameterform genom att sätta  . Då får vi   genom att lösa ut x ur ekvationen  , vilket ger  . Linjen kan då beskrivas såhär:

 

Varje värde på t ger alltså en punkt på xy-planet. Man kan tänka sig att det är ett objekt som rör sig över xy-planet och koordinaterna vid en viss tidpunkt t är beroende av just t. Linjen är då den väg som objektet rör sig på. Riktningen för denna rörelse motsvaras av växande värden på t.

Parametriska kurvor redigera

 
Parabeln  

Följande ekvationer beskriver en kurva där alla punkter ligger på en parabel:

 

Kurvan har en riktning som motsvaras av växande värden på parametern t. Parabeln erhålls genom att eliminera t:

 

Kurvans punkter ligger alltså på parabeln  . Här är det viktigt att notera skillnaden mellan parameterform och icke-parameterform. När vi eliminerar t förlorar vi informationen om kurvans riktning. Det som återstår är endast mängden av alla punkter på kurvan, d.v.s. kurvans "väg".

Definition: Parametrisk kurva