Faktablad/Komplex multiplikation med reella tal

Denna sida är ett faktablad för Komplex multiplikation med reella tal.

---

Komplex multiplikation med reella tal

En multiplikation med komplexa tal är detsamma som en vektorrotation i två dimensioner. Därför kan man betrakta det som en operation på en punkt i ett tvådimensionellt koordinatsystem. Antag att du har det komplexa talet z, det består av en realdel, Re z = x, och en imaginärdel, Im z = y :

$\ {z=[x,y]}$

Nu vill vi multiplicera z med ett annat komplext tal, c, och då skapa det nya komplexa talet z´. Det uttrycks med komplexa tal på samma sätt som all annan multiplikation:

$\ {z'=zc}$

Men det är inte till mycket hjälp om du vill göra beräkningen för hand med papper och penna. Vad som då måste göras är att bryta ned det komplexa talet z till de två rella talen x och y, och talet c till a och b. Nästa steg är att först beräkna den nya realdelen x´ och efter det den nya imaginärdelen y´. För att göra det brukas en formel i två led:

$\ {x'=xa-yb}$

$\ {y'=xb+ya}$

Resultaten x´ och y´ bildar sedan real- och imaginärdelarna i det nya komplexa talet z´:

$\ {z'=[x',y']}$

Vid kvadrering av komplexa tal, $\ {z\cdot z}$, kan formeln ovan med algebraiska metoder förenklas något:

$\ {z'=z^{2}}$

$\ {x'=x^{2}-y^{2}}$

$\ {y'=2xy}$

Ett exempel:

$\ {x=1,2}$

$\ {y=1,9}$

$\ {a=-1,7}$

$\ {b=1,2}$

$\ {x'=-4,32}$

$\ {y'=-1,79}$

Övningar:

1, Beräkna:

[ 1.0, 0.0 ] · [ 0.0, 1.0 ]

2, Beräkna:

[ 3.0, 4.0 ] · [ 12.0, 16.0 ]

Absolutbeloppet

Ett komplext tals absolutbelopp motsvaras av längden på pilarna i bilden ovan. Absolutbeloppet noteras med en vertikal linje på var sida om variabeln:

$\ |z|$

För att beräkna absolutbeloppet så dras roten ur summan av real och imginärdelarnas kvadrater:

$\ |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

Övningar:

3, Beräkna:

Absolutbeloppen för $z$, $c$ och $z$´ i dom två räkneexemplen ovan.

4, Beräkna:

Absolutbeloppen för $z$, $c$ och $z$´ i bildexemplet ovan och avrunda till tre decimaler.

Facit