Terminologi och notation

redigera

  innebär att   definieras vara lika med  . En sådan 'likhet' behöver alltså inte bevisas. Notationen används ofta för att slippa repetera långa uttryck.

Uttrycket   betyder att det finns ('existerar') ett värde   sådant att uttrycket   är sant.

Summa- och produktsymbolen

redigera

Summa- och produktsymbolerna används i första hand för att kunna skriva summor respektive produkter med många termer respektive faktorer kortare.   innebär summan av alla värden   för sådana heltal   för vilka påståendet   är sant.   är en funktion från heltalen till  .   betyder detsamma som  . Notera att   däremot betyder något helt annat.

Exempel

redigera
 .
 .

Motsvarande notation gäller för  , där summan ersatts med en produkt.

Exempel

redigera

Fakultetsfunktionen kan definieras genom föreskriften  .

Mängdlära

redigera

  är en mängd objekt
om   identifieras som ett av objekten i   skrivs detta som  ,   tillhör  
skulle   bestå av flera objekt ur   tecknas detta som  ,   är en delmängd till  

Uttrycket  , där   är en mängd, innebär att uttrycket   är sant för alla värden på x som tillhör A. Ofta är mängden   underförstådd och då kan ' ' förekomma även i följande uttryck: ' '.   är mängden som består av alla   sådana att påståendet   är sant. Kolon används även i andra sammanhang för att beteckna 'sådan att', 'så att', et.c.


 , där   är en funktion och   är en mängd, betecknar mängden  . Denna form av mängdefiniton kan överföras på den tidigare definitionen enligt  .

  betecknar en funktion som avbildar värden i   på värden i  . Det är inte nödvändigtvis sant att  .

En motsvarighet till summanotationen finns i mängdläran och betecknas som  , och  , där notationen syftar på en Union respektive ett snitt. Här är   mängder.

Talmängder

redigera

De naturliga talen

redigera

Den mest grundläggande talmängden är de naturliga talen,  .

 

De naturliga talen åtföljer Peanos axiom:

Låt   beteckna efterföljaren till  .

  •  .
  •  .
  •  .
  •  .
  •  .
  •  .
  •  .
  •  .
  • Om K är en mängd sådan att:

 , och   så innehåller   alla naturliga tal.

Heltalen

redigera

Från de naturliga talen kan heltalen,  , definieras

 

I   kan addition, subtraktion, och multiplikation definieras. Notera att  .

De rationella talen

redigera

De rationella talen definieras som

 .

För att entydighet ska råda låter man ofta   i definitionen ovan. Notera att  .

De rationella talen är de tal som har en decimalutveckling som antingen

1) upphör (dvs. slutar med ett oändligt antal nollor)

 

Detta gäller om och endast om varje primfaktor till   delar  , dvs   är på formen  , där talet man önskar utveckla i det decimala systemet är  .

2) upprepas (dvs. slutar med en sifferföljd som upprepas ett oändligt antal gånger)

 

(om decimalutvecklingen upprepas betecknas detta genom ett streck ovanför perioden som i exemplet ovan.)

Decimalutvecklingar är ej entydiga; exempelvis gäller  . Om man kräver att utvecklingen aldrig består av endast nior tillräckligt långt bort, är dock utvecklingen entydig.

Kardinalitet

redigera

Samtliga talmängder definierade hittills har ett uppräkneligt antal element.

Definition: En mängd   säges vara uppräknelig om   har ett ändligt antal element eller om   bijektion  .

Talmängden som ska definieras härnäst, mängden av reella tal, är ej uppräknelig; den säges vara överuppräknelig.

De reella talen

redigera

Längden av diagonalen i en kvadrat med sidan   kan ej beskrivas med något tal ur  . Detta tal   måste enligt Pythagoras sats uppfylla  .

Sats:  
Bevis: Antag att   är rationellt, så att  . Välj heltalen   och   så att   och  . Detta är inte en inskränkning av det ursprungliga antagandet.

 
 
 
 

Kvadraten av ett jämnt tal är jämn och kvadraten av ett udda tal är udda. Man ser att   är ett jämnt tal, så   är ett jämnt tal. Då kan   skrivas  , för något tal  .

 
 

På samma sätt framgår nu att   är ett jämnt tal. Därför delar   såväl   som  , vilket motsäger  . Antagandet   är därför falskt, så  .

För att kunna beskriva detta avstånd  , kan reella tal användas. De reella talen uppfyller samma räkneregler som  , samt supremumaxiomet, som ej gäller i  .


De reella talen,  , är alla tal som kan beskrivas med en oändlig decimalutveckling, exempelvis,

 
 
 
 
 
 

... i exemplen ovan betyder att decimalerna fortsäter i oändligheten. I de fyra första talen i exemplen ovan är fortsättningen på decimalutvecklingen uppenbar men för   och   finns ingen uppenbar fortsättning utan de tillhör de irrationella talen. De irrationella talen är alla reella tal som inte är rationella tal.

De reella talen består alltså av alla de tidigare nämnda talmängderna, de naturliga talen,  , heltalen,   och de rationella talen,   plus de nyss nämnda irrationella talen.

Supremumaxiomet

redigera

Om   är en icke-tom delmängd av   med en övre begränsning, så existerar en minsta övre begränsning av  , kallat supremum av  . Detta betecknas  . Varje element i mängden av övre begränsningar av   kallas majoranter till  .

Nu kan   definieras som  . Supremum existerar eftersom mängden   är icke-tom ( ) och har en övre begränsning ( ).

Supremumaxiomet är ett av många sätt att karakterisera och definiera de reella talen. Notera att  . Man kan visa att   ligger tätt i  , dvs att det finns ett rationellt tal i varje omgivning till varje reellt tal.

Komplexa tal

redigera

Ekvationen   saknar lösningar för  , på samma sätt som   saknar lösningar för  . Detta motiverar att införa en ytterligare utvidgning av begreppet 'tal'. Definition: Ett komplext tal är ett talpar  , och följande operationer definieras:

  •   (addition)
  •   (multiplikation)

Man brukar beteckna   som  . Talen som betecknas  , och   motsvarar talparet  , respektive  

Relationer

redigera

En relation   från   till   är per definition en mängd av element ur  .   betecknas ofta  .

Särskilt viktiga är relationer från en mängd till samma mängd.

Namngivna egenskaper

redigera

En relation från   till   säges vara  

  • reflexiv om  .
  • symmetrisk om  .
  • transitiv om   och  .

Exempel:  ,  . R är ej reflexiv, ty  . R är ej transitiv, ty  ,  , men  . Däremot är   symmetrisk.

Funktioner

redigera

En funktion   är per definition en relation   från   till   sådan att   för exakt ett   för varje  . Detta unika   betecknas  .   kallas för funktionens definitionsmängd, och betecknas  .   kallas för funktionens värdemängd och betecknas  .

Elementära funktioner

redigera

 ,  .

Talföljder

redigera

Definition: En talföljd är en funktion  . Ett funktionsvärde   skrives  . Talföljden som helhet skrives  ,  , eller helt enkelt  . Definition: En talföljd   säges vara växande omm  . Definition: En talföljd   säges vara avtagande omm  . Definition: En talföljd säges vara monoton omm den är växande eller avtagande. Notera att en talföljd är växande och avtagande om och endast om den är konstant. Definition: En talföljd   säges vara begränsad omm  .

Definition:   är per definiton ekvivalent med  .

Definition:   säges vara konvergent omm  .

Sats: Om följden   är växande och begränsad, så konvergerar  . Bevis:   är tydligen icke-tom och har en övre begränsning, betecknad  . Därför  . Det ska visas att  . Antag, för att uppnå motsägelse,  . Då är   en majorant till  , mindre än  , vilket är en motsägelse.

Definition:  . Definition:   säges vara konvergent omm   är konvergent (sedd som en talföljd med index  ).

Rotkriteriet

redigera

Antag att   existerar. Om  , så är   absolutkonvergent. Om   så divergerar  . Bevis (A < 1): Eftersom  , kan ett   väljas så att   väljas. Det gäller att   konvergerar omm   konvergerar (summan från   till   har ett ändligt antal termer). Antag att  .  . Nu gäller uppskattningen   där hl är en geometrisk summa, som är konvergent eftersom  . Därför konvergerar även   och därför även  , vilket man ville visa.

Topologi

redigera

Det finns en allmän teori för vad som menas med en topologi på en mängd. Här inför vi bara topologin på  . Topologin fångar upp vissa av de geometriska egenskaperna hos mängden, i detta fall  . Vi tänker oss här de reella talen som "punkter".

Öppna omgivningar

redigera

Definition: Den öppna omgivningen centrerad på   med radie  , betecknad   är per definition mängden  .

Öppna och slutna mängder

redigera

Låt   vara en delmängd av  .

Definition: En punkt   säges vara en inre punkt till M omm

 .

Definition: En punkt   säges vara en hopningspunkt till M omm

 .

Definition: Mängden   säges vara öppen omm

 ,   är en inre punkt till  .

Definition: Mängden   säges vara sluten omm   innehåller alla hopningspunkter till  .

Observationer: Enligt definitionen är   både en öppen och en sluten mängd. Detsamma gäller den tomma mängden  , därför att definitionerna i det fallet inte innebär något faktiskt krav. De vore ju bara tillämpbara för element  ; men det finns inte något sådant  .

Gränsvärden

redigera

Gränsvärdesdefinitionen

redigera

 . Definition:   är per definition ekvivalent med  . Då  . Definition:   är per definition ekvivalent med  . Då  . Definition:   är per definition ekvivalent med  .

Kontinuitet

redigera

Funktionen   säges vara kontinuerlig i punkten   omm  . Antag att   är ett intervall. Funktionen   säges vara kontinuerlig på I om   är kontinuerlig i punkten  . Motsvarande definition gäller för öppna, halvöppna och obegränsade intervall.

Integraler

redigera

Låt   vara definierad på det kompakta intervallet  . Låt en partition vara en ändlig mängd   innehållande  ,  , samt (eventuellt) fler punkter ur  . Låt  .   kallas indelningens finhet. En summa   säges vara en översumma omm  ; summan kallas för en undersumma omm  .   säges vara Riemannintegrerbar  omm   en översumma   och en undersumma  . Om   är integrerbar, kallas   för integralen av   över   och betecknas  .

Exempel. Beräkna  :
Sätt  ,  ·  , vilket tydligen kan göras godtyckligt litet om partitionen   väljs lämpligt. Därför är   integrerbar över  . Integralen ges av   för stort  :  , där det utnyttjats att   för   och speciellt  .

Derivata

redigera

Definition: Derivatan   av   i punkten   definieras som

 , förutsatt att gränsvärdet existerar.

Exempel: Visa att  , där  , är deriverbar och finn  . Lösning:   =  .

Medelvärdessatsen

redigera

Sats: Om   är kontinuerlig på intervallet   och deriverbar på intervallet  , så

 .

Bevis: behöver Rolles sats

Deriveringsmetoder

redigera

Logaritmisk derivering

redigera

En metod som ibland underlättar derivering, särskilt av produkter och kvoter, är logaritmisk derivering. Denna presenteras bäst med ett exempel: Exempel: Derivera  .

Lösning: Logaritmera båda led,

 

och utnyttja därefter logaritmlagarna,

 .

Derivera med avseende på x:

 .

Lös ut  :

 .

Detta bör jämföras med att successivt tillämpa produkt- och kvotlagarna för derivering för stora värden på   och  .

Logaritmisk derivering ger också en minnesregel för produkt- och kvotlagarna för derivering. För derivatan av en kvot ger en logaritmering av   att

 

och en efterföljande derivering av båda led med avseende på x ger att

 .

Primitiva funktioner

redigera

Definition: En deriverbar funktion   säges vara en primitiv funktion till en funktion   på intervallet I omm

 ,

detta betecknas  . Intervallet   är ofta underförstått.

Det är lätt att se att exempelvis   är den primitiva funktionen till  .

Egenskaper

redigera

Följande egenskaper följer direkt ur egenskaper för derivator.   och   är funktioner.   är en konstant.

  •  
  •  
  •  

Att finna en primitiv funktion till en given funktion är i allmänhet svårt; däremot finns många metoder som bildar en primitiv funktion till funktioner som hör till en viss klass av funktioner.

Polynom

redigera

En primitiv funktion till ett polynom   finner man enligt   =  .

Rationella funktioner

redigera

En rationell funktion är en kvot mellan två polynom.

Alla integraler av rationella funktioner kan, efter vissa omskrivningar, överföras till en linjärkombination av integraler på nedanstående form.

 .
 .

Partialbråksuppdelning

redigera